付宗志,劉 濤
(1.長沙有色冶金設(shè)計研究院有限公司,湖南長沙 410011;2.西北礦冶研究院礦山工程研究所,甘肅白銀 730900)
傳統(tǒng)的巖土邊坡穩(wěn)定性分析是以邊坡安全系數(shù)Fs來判別邊坡的穩(wěn)定性。該方法具有一定的局限性,它通過數(shù)值模擬的方法得出邊坡的安全系數(shù)Fs。大量的工程實踐[1-5]表明,并非Fs>1邊坡就是穩(wěn)定的,也不是Fs<1邊坡就會破壞。一些學(xué)者通過研究[6-9]發(fā)現(xiàn),影響邊坡穩(wěn)定性的因素往往是隨機變化的,用確定性的方法很難充分考慮巖土參數(shù)變化對邊坡穩(wěn)定性造成的影響。因此,有必要應(yīng)用數(shù)學(xué)的方法,在考慮巖土參數(shù)隨機性和模糊性的同時,對邊坡的穩(wěn)定性進行研究。
Logistic函數(shù)是一種常見的S形函數(shù)。Logistic映射是研究動力系統(tǒng)、混沌及分形等復(fù)雜系統(tǒng)行為的一個經(jīng)典模型。Logistic映射又叫Logistic迭代,是一個時間離散的動力系統(tǒng)。
重整化群是一種用于解決多體問題的有力工具。該方法基于統(tǒng)計分形的原理,將小標(biāo)尺下系統(tǒng)簡單特性擴展到大標(biāo)尺下系統(tǒng)復(fù)雜特性的計算,并取得了巨大的成功。重整化群已應(yīng)用于地震預(yù)測、礦柱穩(wěn)定性[10]、采空區(qū)安全評價[11]及采空區(qū)突水預(yù)測[12]等多個領(lǐng)域。
重整化群最早是應(yīng)用于量子場論當(dāng)中而得到公認(rèn)。該方法通過研究系統(tǒng)內(nèi)部組成單元之間的聯(lián)系和系統(tǒng)單元之間的自相似變換,從宏觀上對系統(tǒng)的一些規(guī)律進行描述,該方法是解決臨界問題的有效工具。
重整化群是通過改變系統(tǒng)中觀測尺度來獲取系統(tǒng)參數(shù)變化規(guī)律的方法。假設(shè)系統(tǒng)在某個觀測尺度下所獲的物理參數(shù)為p,將觀測尺度放大n倍,這時獲得的物理參數(shù)記為p′。如果將尺寸變換函數(shù)記為fn,那么p與p′的關(guān)系為:
如果觀測尺度再放大n倍,有:
如果將式(2)變成一般情況下的關(guān)系式,那么其變換函數(shù)f具有的性質(zhì)為:
傳統(tǒng)的重整化群方法在研究巖石破裂時,假設(shè)一級原包由2個基本單元組成,那么一級原包中有1個及1個以上的單元破裂,則一級原包就破壞了。一級原包所有可能的情況如圖1所示。一級原包發(fā)生破壞的概率為:
式中:p0為基本單元的破壞概率為2個單元都破壞的概率;pab為1個單元破壞后向鄰近單元應(yīng)力轉(zhuǎn)移的條件概率,且應(yīng)力向鄰近為破壞的單元轉(zhuǎn)移概率是相等的。
應(yīng)力轉(zhuǎn)移的條件概率為:
式中:pa為單元破壞前鄰近單元的破壞概率;pb為單元破壞后鄰近單元的破壞概率。
假設(shè)基本單元的破壞概率由Weibull分布給出,其破壞概率函數(shù)為:
式中:F0為基本單元的強度;m為表征一級原包強度相似性的相關(guān)參數(shù)。
單元破壞后鄰近單元的破壞概率為:
當(dāng)m=2時,一級原包發(fā)生破壞的概率為:
根據(jù)logistic一維映射遞推關(guān)系,可得到n級原包的破壞失穩(wěn)概率為:
式(9)即為一維重整化群方程,將式(9)寫成函數(shù)形式:
在0≤x≤1的范圍內(nèi)求解式(10),可得方程(10)存在3個不動點,即x=0,0.206,1。根據(jù)判斷準(zhǔn)則,當(dāng)|(df(x)/dx)|x>1時,x為不穩(wěn)定不動點;反之,當(dāng)|(df(x)/dx)|x<1時,x為穩(wěn)定不動點。分別將x=0,0.206,1帶入判據(jù)df(x)/dx,得到的結(jié)果分別為:0,1.62,0。這說明0和1為穩(wěn)定不動點,0.206為不穩(wěn)定不動點。當(dāng)x=0時,表示沒有單元破壞,系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài);當(dāng)x=1時,表示系統(tǒng)中全部單元破壞,系統(tǒng)處于極限不穩(wěn)定狀態(tài)。故x=0.206是系統(tǒng)兩種狀態(tài)的分界點。即:當(dāng)x>0.206時,系統(tǒng)向不穩(wěn)定的方向發(fā)展;當(dāng)x<0.206時,系統(tǒng)向穩(wěn)定的方向發(fā)展。
圖1 2個單元組成一級原包的所有可能情況Fig.1 All the possibilities of two units composed of original package
二維情況下,1個一級原包由4個基本單元構(gòu)成,2個二級原包由4個一級原包構(gòu)成。與一維情況下的分析方法一致,假設(shè)p0為基本單元的破壞概率,根據(jù)式(8)可求出一級原包的破壞概率。同理,二級原包的破壞概率[12]為:
根據(jù)Logistic映射遞推關(guān)系,n級原包的破壞失穩(wěn)概率[13]為:
用Matlab軟件求解式(12),可得x=0.170 7為系統(tǒng)的臨界點。
三維情況下,1個一級原包由8個基本單元構(gòu)成,1個二級原包由8個一級原包構(gòu)成。假設(shè)p0為基本單元的破壞概率,根據(jù)基本單元的破壞概率,可算出一級原包的破壞概率。同理,根據(jù)一級原包的破壞概率,二級原包的破壞概率為:
據(jù)Logistic映射遞推關(guān)系,n級原包的破壞失穩(wěn)概率為:
用Matlab軟件求解式(14),可得x=0.159 9為系統(tǒng)的臨界點。
在邊坡穩(wěn)定性分析中,邊坡的安全性用功能函數(shù)Z來表示。
式中:xi(i=1,2,…,n)為基本隨機變量。
在模糊數(shù)學(xué)中,可將邊坡失穩(wěn)的概率定義為:
式中:pf為邊坡失穩(wěn)概率;μA(Z)為功能函數(shù)Z的隸屬函數(shù);f(Z)為Z的概率密度函數(shù)。
在邊坡穩(wěn)定分析中,安全系數(shù)為:
式中:R為邊坡的抗滑力矩;S為邊坡的滑動力矩。
功能函數(shù)為:
根據(jù)瑞典條分法,安全系數(shù)為:
式中:m為邊坡分條數(shù);Wi為分條的重力;bi為分條的寬度;αi為第i個分條底部與水平方向的夾角;c為巖土的內(nèi)聚力;φ為巖土的內(nèi)摩擦角。
對于巖土邊坡而言,當(dāng)隸屬函數(shù)越接近于1,表明邊坡破壞的可能性越大;反之,隸屬函數(shù)越接近于0,表明巖土邊坡的破壞可能性越小。假設(shè)
結(jié)合式(20),采用分段線性分布,其隸屬函數(shù)為:
假設(shè)功能函數(shù)Z為非正態(tài)分布,那么可通過中心點法,求得功能函數(shù)Z的均值μZ和方差σZ。
式中:μxi為xi(i=1,2,…,n)的均值為在中心點對功能函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。
則概率密度函數(shù)為:
將式(24)代入式(16),可計算出邊坡工程的失穩(wěn)概率。對于具體的邊坡工程,依據(jù)模糊概率法計算邊坡的失穩(wěn)概率,再與重整化群法計算出的邊坡系統(tǒng)臨界失穩(wěn)概率進行比較。若其結(jié)果大于失穩(wěn)概率且大于臨界概率,則邊坡失穩(wěn);反之,則邊坡不失穩(wěn)。
某巖土邊坡如圖2所示。該滑動面滑弧半徑為150m,分條數(shù)m=8,條寬b=10m,取內(nèi)聚力c、內(nèi)摩擦角φ的正切f=tanφ為基本隨機變量,隨機變量的取值:E(c)為18.36,D(c)為44.5,E(f)為0.419 4,D(f)為0.003 4。
圖2 邊坡剖面Fig.2 Sectional view of the slope
通過中心點法計算,μZ=0.235,σZ=0.085,將均值μZ和方差σZ代入式(24)和式(16),得:
1)根據(jù)重整化群法,建立了巖土邊坡穩(wěn)定性分析模型。考慮系統(tǒng)應(yīng)力重分布對邊坡穩(wěn)定性的影響,將露天邊坡失穩(wěn)破壞的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為邊坡失穩(wěn)概率與臨界失穩(wěn)概率之間比較的問題,并計算得出了一維、二維及三維情況下露天邊坡失穩(wěn)破壞的臨界概率,它們分別為0.206,0.170 7及0.159 9。
2)用模糊概率的方法對邊坡的穩(wěn)定性進行分析,得到了邊坡失穩(wěn)概率的計算方法。
3)將該方法應(yīng)用于某巖土邊坡穩(wěn)定性分析,通過計算,得出該邊坡的失穩(wěn)概率為0.246 1,大于三維情況下邊坡失穩(wěn)的臨界概率0.159 9。這說明該邊坡是不穩(wěn)定的,具有整體失穩(wěn)的可能性。
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