陳奎孚 蔡 春

（1中國農(nóng)業(yè)大學理學院，北京 100083；2北京聯(lián)合大學應用文理學院，北京 100191）

《物理與工程》2010年第20卷第1期發(fā)表了《對物理教材中兩個概念的討論》一文（以下簡稱《對》文）[1].《對》文談了兩個問題，對其中第二個問題“關于勢能的計算”的“加減平衡力系”的說法，筆者有不同觀點.

問題的背景是關于圖1所示懸掛彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的勢能表達式.圖1中：m表示物塊的質(zhì)量；k和l分別為彈簧的勁度系數(shù)和彈簧原長；δst＝mg／k為靜平衡時的彈簧靜伸長（g為重力加速度）.選擇靜平衡位置O為坐標原點，并選定該點為系統(tǒng)的零勢能點后，則系統(tǒng)勢能為

考慮到靜平衡的kδst＝mg，上式就變成十分簡潔的形式

圖1 懸掛彈簧質(zhì)量系統(tǒng)示意圖

《對》文認為從式（1）到式（2）的深層物理本質(zhì)是“重力和彈簧靜伸長的彈性力構成了一個平衡力系，由力學中的加減平衡力系公理可知，對于任意一個剛體，對其加上或減去一個平衡力系不影響原力系對剛體的作用效果”.該文還指出使用加減平衡力系公理要“同時滿足下列兩個條件：一是在靜平衡時系統(tǒng)所受平衡力系中是否存在由彈簧靜變形而產(chǎn)生的彈性力；二是在靜平衡時彈簧的靜變形是否是由振動物體的重力所引起”.

筆者認為彈簧是變形體，而且對所感興趣的物理現(xiàn)象——振動，也必須考慮彈簧的變形效應（有彈性勢能），因而不能使用“加減平衡力系公理”.該公理適用的對象是剛體.筆者認為能將式（1）變成式（2）是因為：①坐標x軸的原點選得好——正好在靜平衡處；②系統(tǒng)零勢能點選得好——也正好在靜平衡處.力學規(guī)律應該與坐標無關，也就是說如果“加減平衡力系公理”能用，并且能夠得到式（2）的結果，則改變坐標原點或系統(tǒng)零勢能點，也應該得到同樣的結果.但事實顯然不是這樣.

下面再給一個反例，說明使用“加減平衡力系公理”的不合理性.

圖2也是一個單自由度系統(tǒng)，彈簧的一端懸掛在A點，另一端B系有質(zhì)量塊m，m在鉛直的光滑滑道內(nèi)運動.彈簧原長為l，勁度系數(shù)為k，AO距離為d.假定圖中的實線對應靜平衡位置（位置B處）.該系統(tǒng)顯然滿足《對》文所申明的兩個條件.

依《對》文的說法，使用“加減平衡力系公理”后，系統(tǒng)勢能為

圖2 單自由度彈簧系統(tǒng)示意圖

這里的Δ是質(zhì)量偏離平衡的位移x所造成的彈簧變形，也就是系統(tǒng)在圖2中點線狀態(tài)下（圖2中C處）的彈簧相對平靜位置（不是原長）的伸長量，它與重力無關.由圖中幾何關系有

但對微幅的線性振動，上式展開到x的泰勒級數(shù)一次項即可，記

將式（4）代入式（3）得到

從頭算起的算法為

這里的Δ為圖2中點線示意狀態(tài)的彈簧相對于彈簧原長的伸長量（不是平衡狀態(tài)）.根據(jù)圖2中的三角形關系有

將式（7）代入式（6），并近似到泰勒級數(shù)二次項有

根據(jù)圖2中幾何關系，知道上式第一項為零.在平衡位置，隔離質(zhì)量塊m作受力分析，可以得到靜平衡時有如下關系

這樣式（8）的第二式也為零（這是必然的，因為我們選擇了平衡位置為坐標原點）.

綜上，式（8）變?yōu)?/p>

它顯然不同于式（5）的U1.前者也無法退化為后者（除非δst＝0）.而式（9）中的δst正是彈簧變形不能忽略的體現(xiàn).

教學實踐中，往往強調(diào)式（4）解題的方便性，但不得不遺憾地指出它的適用范圍非常有限，工程問題大多是像圖2那樣的模型.

目前的教學往往強調(diào)解題速度.為了提高速度，學生不得不針對特殊的題型，訓練和記住不同解題方法.這不僅大量地占用學習資源，更導致學生無暇理解科學的本質(zhì)和科學的美.真正的科學教育應該強調(diào)通用解法和基本思路，具體公式推導和計算細節(jié)交給計算機去完成.比如上述的泰勒級數(shù)展開，就是用Mathematica軟件完成的.

[1]樊麗儉，馮振宇.對物理教材中兩個概念的討論[J].物理與工程，2010，20（1）：49-52.