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      隨機(jī)自共形測(cè)度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)

      2015-07-18 12:09:49王春敏
      鎮(zhèn)江高專學(xué)報(bào) 2015年3期
      關(guān)鍵詞:維數(shù)分形測(cè)度

      王春敏

      (江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院 基礎(chǔ)部,江蘇 鎮(zhèn)江 212016)

      隨機(jī)自共形測(cè)度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)

      王春敏

      (江蘇聯(lián)合職業(yè)技術(shù)學(xué)院鎮(zhèn)江分院 基礎(chǔ)部,江蘇 鎮(zhèn)江 212016)

      主要證明強(qiáng)分離條件下,隨機(jī)自共形測(cè)度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)與其Hausdorff維數(shù)相等。

      隨機(jī)自共形測(cè)度;量子化維數(shù);強(qiáng)分離條件

      1 幾何均值誤差的量子化維數(shù)及主要結(jié)果

      量子化問(wèn)題起源于信號(hào)傳輸和數(shù)據(jù)壓縮的相關(guān)理論。從數(shù)學(xué)角度來(lái)講,量子化的主要意義在于用具有有限支撐的離散概率測(cè)度逼近給定的概率測(cè)度。用分形進(jìn)行量子化處理的噪聲趨向于0的速度明顯快于歐式空間中的普通子集。量子化維數(shù)的定義最先由Zador[1]給出,隨著人們對(duì)隨機(jī)分形集所支撐的測(cè)度產(chǎn)生興趣,許多研究者開(kāi)始探索隨機(jī)測(cè)度的多重分形性質(zhì)與維數(shù),Arbeiter與Patzschke[2]探討了隨機(jī)自相似測(cè)度的多重分形性質(zhì),給出了隨機(jī)自相似測(cè)度的Hausdorff維數(shù)公式。在隨機(jī)測(cè)度的量子化維數(shù)研究方面,Dai與Tan[3]探討了隨機(jī)自相似測(cè)度的量子化維數(shù),并證明了隨機(jī)自相似測(cè)度與其分布之間的關(guān)系。Zhu[4]研究了r→0時(shí)自共形測(cè)度的量子化維數(shù)的幾何誤差,即當(dāng)r→0時(shí),r階量子化誤差收斂于幾何均值誤差[1]。而與非隨機(jī)分形相比,隨機(jī)分形通常與自然現(xiàn)象更接近。研究隨機(jī)測(cè)度μ關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)及其與Hausdorff維數(shù)之間的關(guān)系非常有意義。

      |S′(x)-S′(y)|≤CS|x-y|γ,

      x,y∈U,其中S′(x)是S在x處的導(dǎo)數(shù),|S′(x)|是導(dǎo)數(shù)的算子范數(shù)。

      令N≥2且是整數(shù),給出N個(gè)共形微分同胚Si:U→Si(U),i=1,…,N,考慮積空間

      那么滿足上述3個(gè)條件的(Ω0,F0)上的概率測(cè)度P0叫做隨機(jī)共形函數(shù)系。

      對(duì)隨機(jī)變量(S1,…,SN;p1,…,pN),如果有

      那么這個(gè)唯一的緊致隨機(jī)集E?U稱為與P0相關(guān)的隨機(jī)自共形集,其中Ei(i=1,2,…,N)是E獨(dú)立于(S1,…,SN;p1,…,pN)的復(fù)制。類似地,存在使得supp(Φ)=E的與P0相關(guān)的有限隨機(jī)測(cè)度μ滿足

      其中μi(i=1,2,…,N)是μ獨(dú)立于(S1,…,SN;p1,…,pN)的復(fù)制。若Si是相似映射,則上述隨機(jī)集是自相似集,測(cè)度是隨機(jī)自相似測(cè)度。

      由文獻(xiàn)[5]可知,Rd上隨機(jī)測(cè)度μ關(guān)于幾何均值誤差的量子化誤差定義為

      (1)

      其中

      如果對(duì)某些 1≤card(α)≤n的集合α?Rd,式(1)中的最小值能夠取到,那么這個(gè)集合α叫做μ的n-最優(yōu)集。n-最優(yōu)集的全體用Cn(μ)表示。在某些約束條件下,當(dāng)n→∞時(shí),en(μ)→0。定義

      (2)

      如果

      則D(μ)稱為μ關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)。

      Graf與Luschgy[5]證明了開(kāi)集條件下,Rd上自相似測(cè)度的0階量子化維數(shù)等于其Hausdorff維數(shù),Zhu[4]證明了強(qiáng)分離條件下自共形測(cè)度有相同的結(jié)論。本文主要證明強(qiáng)分離條件下,支撐在隨機(jī)自共形集E上的隨機(jī)自共形測(cè)度關(guān)于幾何均值誤差的量子化維數(shù)與其Hausdorff維數(shù)相等。

      定理強(qiáng)分離條件下,與隨機(jī)變量(S1,…,SN;p1,…,pN)相關(guān)的隨機(jī)自共形測(cè)度μ有

      D(μ)=dimH(μ)

      以概率1成立。

      2 隨機(jī)自共形測(cè)度及相關(guān)性質(zhì)

      用[σ]={τ∈Σ:στ}表示以σ開(kāi)頭的序列的柱集,其中σ∈Σ*。令是Ω上的σ-代數(shù),P是Ω上每個(gè)部分都有P0的積測(cè)度,則稱P是隨機(jī)共形迭代函數(shù)系。

      dist(Ei,Ej)≥δmax{|Ei|,|Ej|}

      (1≤i≠j≤N)以概率1成立,其中|Ei|表示Ei的直徑。注意到Si(E)?E,i,j=1,2,…,N,歸納可知,對(duì)任意兩個(gè)互不相容的詞σ,τ∈Σ*,有

      dist(Eσ,Eτ)≥δmax{|Eσ|,|Eτ|}

      (3)

      以概率1成立。

      對(duì)每個(gè)τ∈Σ*,記

      由文獻(xiàn)[6]知,存在常數(shù)C≥1使對(duì)所有的x,y∈E,

      (4)

      以概率1成立。這意味著對(duì)所有的x,y∈E有

      (5)

      以概率1成立。

      顯然0

      (6)

      (7)

      以概率1成立。同時(shí),對(duì)τ∈Σ*有

      (8)

      以概率1成立,其中Eτ:=Sτ(E)。

      為了證明本文定理,還需要?jiǎng)e的記號(hào)。定義映射h:Ω×Σ→E為

      其中x0∈Rd是任意點(diǎn)。由式(7)知,對(duì)ω∈Ω,上述極限存在且不依賴于x0的選取以概率P成立。然后,定義隨機(jī)變量

      (9)

      對(duì)每個(gè)n∈Ν,令

      Γn:={τ∈Σ*:Εpτ-≥n-1pmin≥Εpτ},

      易知

      定義

      同時(shí),令

      由文獻(xiàn)[4]可知下面的性質(zhì)。

      3 定理的證明

      引理1存在常數(shù)M0,λ>0,使對(duì)x∈Rd以及ε>0,有

      μ(B(x,ε))≤M0ελ

      (10)

      以概率1成立。

      證明令

      ε0:=δmin{|Ei|:1≤i≤N}。

      由文獻(xiàn)[5]的引理12.3知,欲證引理1成立,只需證式(10)對(duì)x∈E及所有的ε∈(0,ε0)成立即可。

      對(duì)x∈E及ε∈(0,ε0),存在τ∈Σ*使x∈Eτ,δ|Eτ|≤ε<δ|Eτ-|。因此由式(2)知B(x,ε)∩E?Eτ-。從而有

      (11)

      以概率1成立。

      由式(8)及式(6)可知,

      以概率1成立。因此

      以概率1成立,由式(11)可得,

      可證引理1成立。

      用(A)ε表示A?Rd的閉ε鄰域。對(duì)有限集β?Rd及τ∈Σ*,定義

      χβ(τ):=card(β∩(Eτ)8-1δ|Eτ|),

      則可得引理2。

      引理2對(duì)任意有限集β?Rd,τ∈Σ*,存在常數(shù)M≥1,使

      (12)

      以概率1成立。特別地,如果β?(Eτ)8-1δ|Eτ|,那么

      以概率1成立。

      證明令M:=[(16δ-1+2)d]+1,則Eτ可以被M個(gè)中心在其內(nèi)部,半徑為8-1δ|Eτ|的閉球覆蓋??上瓤紤]由中心在Eτ內(nèi)、半徑為16-1δ|Eτ|的閉球組成的Eτ的一個(gè)最大覆蓋P,然后,把半徑擴(kuò)大2倍得到Eτ的覆蓋。通過(guò)體積估計(jì)知

      card(P)(16-1δ|Eτ|)d≤((1+8-1δ)|Eτ|)d。

      由式(7)得

      以概率1成立。如果β?(Eτ)8-1δ|Eτ|,那么

      以概率1成立。

      推論令α∈Cn(μ),τ∈Σ*,由式(7)可得

      以概率1成立。

      則有

      以概率1成立。

      證明參考文獻(xiàn)[7]中引理2的證明方法。

      引理4對(duì)n≥1及常數(shù)M0,λ>0,有

      證明參考文獻(xiàn)[5]中引理5.8的證明方法。

      綜合上面的引理可以得到定理的證明。

      證明定義

      N1:=[(16-1δ+6)d]+1,

      由引理4,存在最小整數(shù)N≥N1+N2,使對(duì)k≥N,有

      (13)

      以概率1成立。N,N1,N2是獨(dú)立于τ∈Σ*的。對(duì)h≤card(Γn),α∈Ch(μ),有

      χα(τ)≤N

      (τ∈Γn)以概率1成立。

      假設(shè)對(duì)某些τ∈Γn,有χα(τ)>N。事實(shí)上,由N1,N2的定義可知

      1) (Eτ)4-1δ|Eτ|能被N1個(gè)中心在此集合上、半徑為8-1δ|Eτ|的閉球覆蓋,若用γ1表示這個(gè)閉球的中心組成的集合,那么card(γ1)=N1。

      令γ3∈Cχα(τ)-N1-N2(μ),同時(shí)定義

      γ:=(α(Eτ)8-1δ|Eτ|)∪γ1∪γ2∪Sτ(γ3),

      則card(γ)≤card(α)。再由γ1的定義及度量d的三角不等式,易知3)(見(jiàn)下)。

      (14)

      以概率1成立。

      4) 對(duì)x∈Eτ,有

      (15)

      d(x,α)≥8-1δ|Eτ|

      (16)

      均以概率1成立。

      由式(15),式(16)及Γn的定義可得

      γ)dμ(x)≥Εpτlog (8-1δ|Eτ|)-

      (17)

      以概率1成立。

      由引理2,引理3和式(13)可得

      (18)

      以概率1成立。

      聯(lián)立式(14),式(17)和式(18)可得,

      以概率1成立。這顯然與α的最優(yōu)性矛盾。

      以概率1成立。因此,由引理4可推得

      (19)

      以概率1成立。類似地,易證

      (20)

      以概率1成立。

      顯然地,對(duì)任意x∈Eτ和所有的τ∈Γn,

      定義

      由式(9)及引理2知,對(duì)足夠大的n有

      (21)

      以概率1成立。類似地,可推得

      (22)

      以概率1成立。綜合式(19)至式(22),由性質(zhì)可證明定理成立。

      [1] ZADOR P L. Asymptotic quantization error of continuous signals and the quantization dimension[J].IEEE Trans. Inform. Theory,1982 (28): 139-149。

      [2] ARBEITER M,PATZSCHKE N. Random self-similar multifractals[J]. Math. Nachr.,1996 (181): 5-42.

      [3] DAI M,TAN X. Quantization dimension of randomself-similarmeasures[J]. Math. Anal. Appl.,2010(362):471-475.

      [4] ZHU S G. The quantization for self-conformal measures with respect to the geometric mean error[J]. Nonlinerarity,2010(23): 2849-2866.

      [5] GRAF S,LUSCHGY H. Quantization for probability measures with respect to the geometric mean error[J].Math. Proc. Camb. Phil. Soc.,2004 (136): 687-717.

      [6] PATZCHKE N. Self-conformal multifractal measure [J].Adv. Appl. Math.,1997 (19): 486-513.

      [7] ZHU S. Quantization dimension of probability measures supported on cantor-like sets[J]. Math. Anal. Appl.,2008 (338): 742-750.

      〔責(zé)任編輯:盧 蕊〕

      Quantizationdimensionofrandomself-conformalmeasureswithrespecttothegeometricmeanerror

      WANG Chun-min

      (Basic Courses Department,Zhenjiang Branch of Jiangsu Joint Vocational College,Zhenjiang 212016,China)

      In the strong separation condition,the thesis mainly studies and proves the quantization dimension of random self-conformal measures with respect to the geometric mean error and it coincedes with the Hausdorfl dimension.

      random self-conformal measures; Hausdorff dimension; strong separation condition

      2015-03-18

      王春敏(1982—),女,江蘇鎮(zhèn)江人,講師,碩士生,主要從事分形幾何研究。

      O211.9

      :C

      :1008-8148(2015)03-0061-05

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