朱樂(lè)平

六、兩種教材各是如何引導(dǎo)師生研究直徑屬性的

香港的小學(xué)數(shù)學(xué)教材與大陸一樣，也是通過(guò)研究直徑與半徑的屬性及關(guān)系來(lái)闡述圓的特征。由于2003年的教材關(guān)于直徑與半徑的屬性及關(guān)系的內(nèi)容很豐富，所以，筆者把直徑與半徑屬性的研究分成兩個(gè)問(wèn)題來(lái)闡述。我們先來(lái)看關(guān)于直徑的屬性，兩種教材分別是如何編寫(xiě)的。

兩種教材對(duì)直徑的研究各有自己的特點(diǎn)。

1985年的教材在給出圓的各部分名稱(chēng)后，出示了一個(gè)練習(xí)，用于鞏固圓的各部分名稱(chēng)，并用度量明確了直徑與半徑的關(guān)系后，開(kāi)始研究直徑的屬性，要求學(xué)生度量并研究直徑的特性。

2003年的教材也是在給出了圓的各部分名稱(chēng)后，研究直徑的屬性，主要分成以下幾個(gè)階段來(lái)研究。

第一階段：教材專(zhuān)門(mén)列出小標(biāo)題，明確指出這一段教材是研究“圓形的直徑”，先出示下圖，要求學(xué)生觀察：

在觀察上圖的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生完成下面的“填填、量量與畫(huà)畫(huà)”。

從上面的過(guò)程中，我們可以看到學(xué)生的活動(dòng)比較充分。通過(guò)觀察、度量、畫(huà)圖、比較、交流等活動(dòng)，讓學(xué)生對(duì)直徑的概念得到進(jìn)一步鞏固，對(duì)直徑的屬性有了明確認(rèn)識(shí)。

第二階段：這一階段是在研究了半徑的屬性后，知道了半徑與直徑的關(guān)系，然后要求畫(huà)畫(huà)、量量，進(jìn)一步研究直徑的屬性，并明確直徑是圓周內(nèi)最長(zhǎng)的直線。

第三階段：在這一階段中，教材首先出示了“弦”的概念。

然后，讓學(xué)生通過(guò)著色與畫(huà)平行于直徑的弦，觀察比較這些弦的長(zhǎng)短關(guān)系，形成判斷后，用填空的形式表達(dá)出來(lái)。即要求上半個(gè)圓中的弦從長(zhǎng)到短排列，下半個(gè)圓中的弦從短到長(zhǎng)排列。

在觀察、比較、排列的基礎(chǔ)上，再要求學(xué)生進(jìn)行度量，用度量得到的數(shù)據(jù)，對(duì)上面的弦的長(zhǎng)短排列的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。最后研究直徑與弦的關(guān)系。

從上面的兩種教材介紹中，我們可以看到，1985年的教材對(duì)于直徑屬性的研究比較簡(jiǎn)單，而2003年的教材內(nèi)容十分豐富。

七、兩種教材各是如何引導(dǎo)師生研究半徑的屬性以及半徑與直徑關(guān)系的

1985年的教材在給出了圓的各部分名稱(chēng)后，要求學(xué)生看圖并填空，再通過(guò)度量明確直徑與半徑的關(guān)系。教材如下：

2003年的教材在研究半徑的屬性時(shí)，也與研究直徑一樣專(zhuān)門(mén)單列一節(jié)“圓的半徑”。整個(gè)半徑屬性的研究過(guò)程可以分成兩個(gè)階段。

第一階段：先出示一個(gè)畫(huà)有兩條直徑的圓，要求學(xué)生觀察。

然后出示下面的填空題，要求學(xué)生通過(guò)度量、比較、交流等活動(dòng)研究半徑的屬性和它與直徑的關(guān)系。

第二階段：教材安排在圓的認(rèn)識(shí)（二）中，在學(xué)習(xí)了畫(huà)圓以后，研究相切（外切）的三個(gè)圓，圓心的連線組成什么三角形時(shí)，進(jìn)一步用到半徑的屬性。這是在應(yīng)用過(guò)程中，進(jìn)一步掌握半徑的屬性。教材如下：

很顯然，學(xué)生通過(guò)度量、畫(huà)圖可以進(jìn)一步明確圓的大小是由什么決定的。下面的問(wèn)題，更可以使學(xué)生感受到半徑?jīng)Q定圓的大小。

從上面的兩種教材介紹中我們同樣可以看到，在研究與應(yīng)用半徑的屬性時(shí)，1985年的教材很簡(jiǎn)單，而2003年的教材就比較豐富。兩種教材在編寫(xiě)畫(huà)圓方面，既有相同的地方，又有著明顯的差異。它們主要有以下幾個(gè)方面的相同與不同：

（1）兩種教材關(guān)于畫(huà)圓的教學(xué)內(nèi)容基本相同，內(nèi)容編寫(xiě)的前后順序也基本一致。教材都涉及以下三個(gè)方面的教學(xué)內(nèi)容，并根據(jù)以下順序進(jìn)行編排：①用其他工具畫(huà)圓；②用圓規(guī)畫(huà)圓；③運(yùn)用圓規(guī)與直尺設(shè)計(jì)圖案。

（2）2003年的教材比1985年的教材教學(xué)思路更清晰，解決問(wèn)題的思路表述更具體、更明白。

從上面的教材介紹中，我們可以看到，從總體上說(shuō)，2003年的教材對(duì)教師與學(xué)生的教學(xué)過(guò)程提示更清晰。也就是說(shuō)，2003年的教材編者更強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的過(guò)程。兩種教材主要有以下幾個(gè)方面的差異：

①2003年的教材在給出用不同的工具畫(huà)圓前，創(chuàng)設(shè)了一個(gè)“野馬情境”，讓學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)到圓的動(dòng)態(tài)形成過(guò)程。學(xué)生積累的這些感性認(rèn)識(shí)，不但可以使他們進(jìn)一步理解圓的特征，而且也為他們進(jìn)一步學(xué)習(xí)畫(huà)圓、理解畫(huà)圓的原理奠定了基礎(chǔ)。而1985年的教材就沒(méi)有設(shè)計(jì)這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程。

②1985年的教材先給出了三種工具畫(huà)圓的圖示，再給出了一個(gè)思考題：“想一想：用這些方法畫(huà)圓，有什么限制與不便？”而2003年的教材給出了四種工具作圓的圖示，讓學(xué)生觀察后給出了六個(gè)思考題。

兩種教材不僅在畫(huà)圓的方法上不同，提出的思考性問(wèn)題的數(shù)量不同，更為重要的是1985年的教材提出的思考題比較籠統(tǒng)，所涉及的范圍比較大；2003年的教材提出了六個(gè)思考題，這樣的問(wèn)題串對(duì)引導(dǎo)學(xué)生思考圓的特征、理解畫(huà)圓的方法及畫(huà)圓的原理，有著十分積極的意義。比如，教材給出了問(wèn)題：“哪些畫(huà)圓的方法或原理與上頁(yè)野馬在圍欄內(nèi)奔跑的情境相似？為什么？”這是一個(gè)很有啟發(fā)性的問(wèn)題，要求學(xué)生與“野馬情境”相比較，思考每一種畫(huà)圓方法的原理是什么，并說(shuō)一說(shuō)理由。解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程要求學(xué)生觀察（不同工具畫(huà)圓的過(guò)程），比較（與野馬情境是否相似），思考與表達(dá)（為什么相似或不相似）。這是一個(gè)學(xué)生在數(shù)學(xué)能力上的發(fā)展過(guò)程。又如，與1985年的教材的這個(gè)思考題相關(guān)的內(nèi)容，2003年的教材出示了4個(gè)問(wèn)題：“根據(jù)上題，哪些幫助畫(huà)圓形的工具，會(huì)影響所畫(huà)圓形的半徑或直徑的長(zhǎng)度？用哪些方法畫(huà)出的圓形會(huì)比較工整？用哪些方法可以調(diào)節(jié)半徑的長(zhǎng)度？有哪些方法不可以調(diào)節(jié)半徑的長(zhǎng)度？”可見(jiàn)，2003年的教材給出的思考題，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了階梯，有利于讓學(xué)生展開(kāi)獨(dú)立思考與小組交流，并從這個(gè)過(guò)程中獲得發(fā)展。

③2003年的教材在用圓規(guī)畫(huà)圓時(shí)給出了具體的操作步驟，而1985年的教材只有一個(gè)用圓規(guī)畫(huà)圓的圖示，沒(méi)有在方法上給出更具體的指導(dǎo)。用圓規(guī)畫(huà)圓看上去是一個(gè)簡(jiǎn)單的過(guò)程，其實(shí)學(xué)生畫(huà)時(shí)常常畫(huà)不工整。分步給出操作步驟能為學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握這種技能起到積極的作用。

④2003年的教材在教學(xué)如何用圓規(guī)畫(huà)圓的基礎(chǔ)上，還安排了運(yùn)用圓規(guī)作圖解決問(wèn)題的內(nèi)容，主要是兩個(gè)方面：一方面是畫(huà)三個(gè)兩兩外切的圓，并連接三個(gè)圓心，判斷形成的三角形是什么類(lèi)型的，如是否是等邊三角形等。（詳見(jiàn)上文中的第7個(gè)問(wèn)題：關(guān)于半徑屬性的研究比較）另一方面是專(zhuān)門(mén)設(shè)立了一節(jié)“探究與發(fā)現(xiàn)”，主要是利用正方形與圓形的關(guān)系作圓。