王丹峰（延邊第二中學(xué)，吉林 延吉 133000）

深入理解教材 靈活使用教材
——《雙曲線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)感悟

王丹峰
（延邊第二中學(xué)，吉林 延吉 133000）

本節(jié)課的重點(diǎn)是雙曲線的定義，在定義的探究過程中，采取了整體呈現(xiàn)的方式，幫助學(xué)生深刻全面的理解雙曲線的定義。在推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)采用了類比的策略，使學(xué)生既能輕松推導(dǎo)出方程，又能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看待研究對象。

雙曲線定義；標(biāo)準(zhǔn)方程；整體呈現(xiàn)；類比

數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，是教師進(jìn)行教學(xué)活動(dòng)的主要依據(jù)，是學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的主要工具。但是在實(shí)際教學(xué)中常常出現(xiàn)照本宣科和脫離教材的情況，教材的價(jià)值得不到體現(xiàn)，降低了課堂教學(xué)的有效性。如何有效使用教材成為一名教師的必修課，也是衡量一名教師是否成熟的一個(gè)重要標(biāo)志。

一、深入理解教材，整體把握內(nèi)容要求

有效使用教材，首先必須認(rèn)真研讀教材、分析教材、理解教材。只有在吃透教材的基礎(chǔ)上使用教材才能得心應(yīng)手，才能使教材更好地服務(wù)課堂教學(xué)，這樣課堂才更有活力。通過研讀教材，發(fā)現(xiàn)雙曲線與橢圓無論是定義方式，還是標(biāo)準(zhǔn)方程的形式都非常相類似，教材的處理辦法也相仿，在知識(shí)體系中兩者表現(xiàn)為平行關(guān)系.所以在教學(xué)中一方面要注意與以學(xué)習(xí)過的橢圓進(jìn)行類比，在類比遷移中找到知識(shí)與方法的相通處；另一方面也要注重其相異點(diǎn)，以建構(gòu)起新的數(shù)學(xué)認(rèn)知.學(xué)好本節(jié)課內(nèi)容是學(xué)好圓錐曲線關(guān)鍵之一，對后面能進(jìn)一步理解由曲線求方程和由方程討論曲線性質(zhì)打好基礎(chǔ)，從而借助形與數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究.把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形來討論，幫助學(xué)生進(jìn)一步感受坐標(biāo)法及數(shù)形結(jié)合的思想，為后面用代數(shù)方法研究拋物線提供必要的思維工具。

【教學(xué)片斷 1】類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

以F1F2所在直線為x軸，以F1F2的垂

直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系xoy.

設(shè)M（x，y）是雙曲線上任意一點(diǎn)，焦點(diǎn)F1

F2坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0）.

F2坐標(biāo)分別為（-c，0），（c，0）.

焦點(diǎn)在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

互換x，y得到

焦點(diǎn)在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

建 設(shè)

限制條件

代坐標(biāo)

化簡

焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：

焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：

這節(jié)課的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)就是推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，如果類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)志方程，不僅可以降低推導(dǎo)難度，而且還能夠觀察發(fā)現(xiàn)雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)，便于學(xué)生理解記憶雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)含義。另外通過這個(gè)推導(dǎo)過程，學(xué)生再次鞏固了含有兩個(gè)根式的方程的化簡方法，提高了計(jì)算能力，一舉多得。

二、靈活使用教材，揭示概念全貌

教師要想駕馭好課堂、把握好教材，就必須認(rèn)真專研教材，揣摩編寫意圖，

領(lǐng)悟精神實(shí)質(zhì)。教師每天不能照本宣科，要有批判精神，既要準(zhǔn)確全面地領(lǐng)悟編者意圖，有要靈活地使用好教材這個(gè)教學(xué)工具，同時(shí)對使用教材教師一定要有自己的理解，必要的時(shí)候還要根據(jù)本班學(xué)生情況和教學(xué)實(shí)際對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)母脑旒庸?，?chuàng)造性地使用教材。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué) 2-1》在本節(jié)課課前創(chuàng)設(shè)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)情景——拉鏈實(shí)驗(yàn)，想通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)幫助學(xué)生直觀感知雙曲線的圖形特點(diǎn)，然后觀察圖形類比橢圓定義歸納總結(jié)雙曲線定義。但筆者認(rèn)為教材中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果過于單一直白，沒有讓學(xué)生領(lǐng)略到概念的全貌，沒有完整回答地“平面內(nèi)到兩點(diǎn)距離之差的點(diǎn)的軌跡”，根據(jù)這種教學(xué)實(shí)際情況有必要對教材中教學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行改造，以達(dá)到更好的教學(xué)效果。

【教學(xué)片斷2】拉鏈實(shí)驗(yàn)探究雙曲線定義：

實(shí)驗(yàn)工具：一張白板（中央取兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2）、一條拉鏈、兩個(gè)圖釘；

實(shí)驗(yàn)方案：

方案 1：在拉鏈底端取兩個(gè)對稱點(diǎn)左 A右 B分別固定在F1、F2處，把筆尖放在結(jié)點(diǎn)M處，隨著拉鏈的拉開與閉合，筆尖就畫出一條曲線，記為曲線（1）；

方案2：左點(diǎn)A不動(dòng)，在右邊B點(diǎn)上面取一點(diǎn)C固定在F2處，同樣辦法畫出曲線（2）；

方案3：將拉鏈橫向固定在F1、F2處，筆尖從F2向右滑動(dòng)，畫出曲線（3）；

實(shí)驗(yàn)結(jié)果

【問題1】在運(yùn)動(dòng)中，三條曲線上的點(diǎn)M 到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2距離之差是多少？

【問題 3】左側(cè)曲線上的點(diǎn)滿足什么幾何特征？

【問題 4】剛才我們和同學(xué)們總結(jié)了這五種曲線上的點(diǎn)各自的幾何特征，那這五種曲線上的點(diǎn)有沒有共同的特征呢？

學(xué)生4：到兩定點(diǎn)距離之差都等于常數(shù)。

這五種曲線就回答了課前提出問題的答案，我們來認(rèn)識(shí)一下這五種曲線，曲線（1）是線段F1F2的中垂線，曲線（3）（4）是線段F1F2的延長線和反向延長線，而曲線（2）（5）就是雙曲線。

【問題 5】你能結(jié)合圖形及點(diǎn)的特征，并類比橢圓定義歸納雙曲線的定義嗎？

學(xué)生5：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1F2距離之差的絕對值是常數(shù)（小于F1F2距離）點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。其中兩個(gè)定點(diǎn) F1F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，F(xiàn)1F2的距離叫焦距用2c表示，每一條叫做雙曲線的一支。

通過以上對教材中拉鏈實(shí)驗(yàn)的二次改造，學(xué)生能夠全面準(zhǔn)確地掌握雙曲線的概念，加深理解其數(shù)學(xué)本質(zhì)，再配合上環(huán)環(huán)相扣的問題串，學(xué)生就能夠順理成章地理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)的幾何意義及其相互關(guān)系，是學(xué)生被動(dòng)式的接受知識(shí)變成主動(dòng)式的探究問題。結(jié)合教學(xué)實(shí)際對教材進(jìn)行有針對性的改造，既可以提高課堂教學(xué)效果，又可以鍛煉提高教師業(yè)務(wù)素養(yǎng)，尤其對于一名青年教師來說，要想盡快地成為一名成熟教師亦或一名優(yōu)秀教師，必須要學(xué)會(huì)如何號(hào)準(zhǔn)了教材的脈，只有號(hào)準(zhǔn)了教材的脈才能把握課堂教學(xué)的脈。

［1］華志遠(yuǎn).“超前嘗試、同伴成長”課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的案例研究［J］.數(shù)學(xué)通訊，2010（8）.

［2］張艷，薛紅霞.整體呈現(xiàn) 比較研究［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2013（4）.

G633.6

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2015—06—26