朱炎林

[摘 要] 猜想不只是一個空洞的概念，而是學(xué)生的已有經(jīng)驗與新的問題相互作用、相互碰撞的過程. 初中數(shù)學(xué)論證既需要關(guān)注學(xué)生經(jīng)驗基礎(chǔ)上的合情推理，也需要重視數(shù)學(xué)規(guī)律之上的嚴(yán)格論證. 無論是猜想還是論證，歸根到底都需要學(xué)生思維的完整參與.

[關(guān)鍵詞] 猜想；論證；初中數(shù)學(xué)；知識建構(gòu)；數(shù)學(xué)思維

初中數(shù)學(xué)知識教學(xué)至少有兩種途徑：一是傳統(tǒng)教學(xué)中教師的講授，學(xué)生在教師精心設(shè)計的思路引領(lǐng)之下，不斷地發(fā)現(xiàn)新的知識，直到構(gòu)成完整的知識系統(tǒng)；二是基于學(xué)生的實際并從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，讓學(xué)生在自身努力之下不斷地解決問題并且獲得新的認(rèn)知. 應(yīng)當(dāng)說這兩種途徑在實際教學(xué)中都有存在的價值，并沒有優(yōu)劣之分. 而具體采用哪一種途徑，關(guān)鍵在于對學(xué)生已有知識基礎(chǔ)的判斷. 就筆者的感覺而言，初中數(shù)學(xué)知識相對不那么復(fù)雜，且前后系統(tǒng)性比較強(qiáng)，如果學(xué)生對知識的掌握還算比較扎實，那后一種途徑則可以更為普遍地使用. 當(dāng)然，這里也不能忽視第一種途徑，因為至少對于部分“學(xué)困生”來說，必要的講授與重復(fù)還是必須存在的. 這里有一個相輔相成的關(guān)系. 下面，筆者僅從大部分學(xué)生的實際出發(fā)，以“等腰梯形的性質(zhì)與判定”教學(xué)為例，努力引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的過程中大膽猜想并嚴(yán)密論證，以求知識建構(gòu)的自主性和科學(xué)性.

大膽猜想是新舊知識的經(jīng)驗

性碰撞

在數(shù)學(xué)探究中，猜想是一個環(huán)節(jié)，盡管新課程改革至今已有十幾年，但筆者發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)數(shù)學(xué)探究中對猜想的理解還只停留在經(jīng)驗的角度. 其實，從猜想的心理機(jī)制來看，猜想是一個復(fù)雜的過程，真正的猜想是在新的信息輸入之后，學(xué)生在原有的知識系統(tǒng)中提取相應(yīng)的知識去嘗試性地進(jìn)行解釋，并且這會有一個短暫的自我判斷過程，即判斷自己的解釋是否合理. 一般情況下，如果學(xué)生感覺合理（不一定是真的合理），那學(xué)生就會表達(dá)出自己的猜想，而如果感覺不合理，學(xué)生就有可能不開口，這又意味著實際教學(xué)中的另一種情形：不開口不意味著學(xué)生沒猜想. 總的來說，猜想就是一個新舊知識進(jìn)行經(jīng)驗性碰撞的過程，在實際教學(xué)中只有重視這個過程，才能讓猜想真正發(fā)揮其對學(xué)習(xí)的推動力.

在“等腰梯形的性質(zhì)”教學(xué)中，“性質(zhì)”的發(fā)現(xiàn)緣于學(xué)生對等腰梯形特征的研究，而特征又來自生活中經(jīng)驗的積累與即時觀察——用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行觀察，這實際上也是一個猜想的過程. 筆者首先讓學(xué)生到生活中去尋找等腰梯形，學(xué)生一般可以舉出梯子、對稱的屋面、高壓線架子上的圖形等. 然后筆者用PPT向?qū)W生呈現(xiàn)出一個等腰梯形，并提問：等腰梯形有哪些特征？（如果學(xué)生不明白什么叫特征，則需要教師提醒從線與角的關(guān)系角度去描述，可以提前作出對角線和中位線）正常情況下，學(xué)生此時能夠基于兩個已知條件——上、下底平行且兩腰相等去分析、猜想.

經(jīng)驗表明，學(xué)生的猜想一般都是先從對稱的角度去進(jìn)行，進(jìn)而猜想出同一底邊上的兩個內(nèi)角相等、對角線相等等；在尋求等量關(guān)系時，學(xué)生的猜想帶有邏輯思維的特征，他們會通過心算去判斷對角互補(bǔ)的關(guān)系，而中位線的大小與底邊的關(guān)系則難以直接看出來，但教師可以引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)直覺去判斷可能存在的關(guān)系.

分析學(xué)生的這一猜想過程，可以獲得這樣幾點(diǎn)認(rèn)識：其一，學(xué)生根據(jù)等腰梯形的對稱性去猜想線與角的關(guān)系，實際上是將生活中形成的對稱認(rèn)識，以及之前學(xué)過的與對稱相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，與新呈現(xiàn)在面前的等腰梯形進(jìn)行對比，從而直覺地獲得一些等量關(guān)系. 其二，也存在另外一種可能，即部分學(xué)生的猜想實際上經(jīng)歷了一個直覺判斷的過程，他們會迅速地認(rèn)定由底邊、腰和對角線構(gòu)成的兩個三角形是全等關(guān)系，從而獲得猜想結(jié)果. 這一猜想過程不是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)證明，基本上就是一種直覺思維，而直覺思維原本就是生活和學(xué)習(xí)經(jīng)驗的結(jié)果，其是猜想的重要依據(jù)，對角互補(bǔ)關(guān)系的猜想也屬于這種過程；對于中位線與上、下底的關(guān)系，學(xué)生幾乎無法得出精確的關(guān)系，但其長度介于上下底之間，又因為前有三角形中位線知識，因此又容易讓學(xué)生直覺地猜想是上、下底之和的一半. 有了這樣的猜想之后，學(xué)生就會嘗試著證明（借助這一機(jī)會，可以將教學(xué)引向嚴(yán)密論證的階段）. 但無論是什么情形，都會發(fā)現(xiàn)新舊知識的碰撞是猜想的本質(zhì)所在，因此，在數(shù)學(xué)猜想中，要充分調(diào)動學(xué)生已有的經(jīng)驗和知識，要想方設(shè)法引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行新舊知識的碰撞.

嚴(yán)密論證是數(shù)學(xué)思維的精細(xì)

化應(yīng)用

在筆者看來，論證的過程是將猜想過程中尚不夠精細(xì)的思維精確化的過程，也是利用合情推理或嚴(yán)密的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行論證的過程. 這個過程需要花時間，但無論是合情推理還是數(shù)學(xué)論證，這個時間又是值得花的. 之所以在這里強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，是因為實際教學(xué)中常常會出現(xiàn)為了迅速得出結(jié)論而忽視論證過程的現(xiàn)象，這看起來為知識的獲得節(jié)省了時間，可以將更多的時間用到數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用當(dāng)中去. 可實際上這樣的速成思路，卻不利于學(xué)生數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

在“等腰三角形的判斷”教學(xué)中，筆者首先借助合情推理思想，用學(xué)生活動的方式進(jìn)行證明. 比如對于“同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形”，可以讓學(xué)生通過剪紙的方法去進(jìn)行：作出底角相等的梯形然后對折，看兩腰能否吻合；對于“一組對邊平行且不等，另一組對邊相等且不平行的四邊形是等腰梯形”這一判定方法，筆者則引導(dǎo)學(xué)生在大腦中建構(gòu)想象表象：一組對邊平行且不相等容易構(gòu)建，另一組對邊相等但不平行是什么樣子？用學(xué)生的話說，只能是呈“八”字形或倒八字形，于是等腰梯形的樣子也就出現(xiàn)在學(xué)生的思維當(dāng)中了. 其余判定定理的方式類似，此處不再贅述.

無論是合情推理思想下的學(xué)生活動，還是想象表象的建構(gòu)，距離嚴(yán)密還有一定的距離，其主要作用在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象力，在于為嚴(yán)密的論證奠定思維基礎(chǔ). 進(jìn)入嚴(yán)密論證的環(huán)節(jié)，關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)證明需要用到的數(shù)學(xué)工具，如全等三角形知識，兩直線平行內(nèi)錯角相等等. 這個過程也是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，此處也不再贅述.

但需要強(qiáng)調(diào)的是，等腰梯形判定定理的尋找與發(fā)現(xiàn)，需要強(qiáng)化或者說放大從文字語言到數(shù)學(xué)語言（數(shù)學(xué)符號與數(shù)學(xué)圖形）的過程，因為筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于這些判定定理的運(yùn)用，常常有一種“知其然，但不知其所以然”的現(xiàn)象，而這一現(xiàn)象的原因不是因為證明過程不科學(xué)，而是由文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言不充分引起的. 事實上，這也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中一個容易忽視的地方——文字語言的數(shù)學(xué)化. 嚴(yán)格來說，是用數(shù)學(xué)知識翻譯生活知識的過程，如“對角互補(bǔ)的梯形是等腰梯形”這一判斷是語言性的，在學(xué)生的思維中其不應(yīng)當(dāng)以文字的形式存在，而應(yīng)當(dāng)以圖形和數(shù)學(xué)關(guān)系的形式存在，“對角互補(bǔ)”必須是一個梯形中的對角之和為180°的情形，“等腰梯形”應(yīng)當(dāng)是一個具體的圖形而不是這四個字.

從某種程度上講，這種將判定語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的過程，是本知識教學(xué)中“精細(xì)化”的主要體現(xiàn)，因為從結(jié)論發(fā)現(xiàn)的角度來看，本課知識的學(xué)習(xí)中學(xué)生的思維不會遭遇太大的挑戰(zhàn)，而將等腰梯形的判定定理轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)圖形及因素關(guān)系，才能完成從語言向數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的過程. 如果說初中數(shù)學(xué)要追求“精”，要追求“細(xì)”，那這樣的轉(zhuǎn)換才是“精細(xì)”的真正體現(xiàn).

知識建構(gòu)是數(shù)學(xué)思維的完整

化體現(xiàn)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)所教者無非是三維目標(biāo)所描述的內(nèi)容，問題在于，無論是教師基于三維目標(biāo)對教學(xué)進(jìn)行描述，還是學(xué)生在課堂上沿著時間主線進(jìn)行知識構(gòu)建，總會經(jīng)歷一個遺忘的過程，這樣的遺忘會讓學(xué)生所獲得的知識變得碎片化，這是規(guī)律倒也不需要過于擔(dān)心，因為后續(xù)的復(fù)習(xí)，可以將知識補(bǔ)上. 但需要注意的是，在新的知識建構(gòu)過程中，要讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到一個完整的運(yùn)用與體現(xiàn).

眾所周知，數(shù)學(xué)是關(guān)于“數(shù)”與“形”的科學(xué)，數(shù)學(xué)就是將“數(shù)”與“形”的關(guān)系以邏輯關(guān)系連接起來. 數(shù)學(xué)知識是千變?nèi)f化的，但數(shù)學(xué)關(guān)系卻是相對不變的. 尤其是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)關(guān)系的運(yùn)用基本上是實數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)用、因果關(guān)系的運(yùn)用等，在一節(jié)數(shù)學(xué)知識建構(gòu)的過程中，教師要盡量將這種關(guān)系體現(xiàn)出來，從而實現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的完整化. 可以肯定地講，只要學(xué)生的數(shù)學(xué)思維處于活躍狀態(tài)，那數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)就不會出現(xiàn)太大的問題. 但需要注意的是，數(shù)學(xué)思維是不是活躍，不僅僅與學(xué)生的智力因素有關(guān)，更與學(xué)生的非智力因素有關(guān)，只有學(xué)生的動機(jī)明確、注意力集中時，數(shù)學(xué)思維才有可能被激活，而數(shù)學(xué)思維的完整性也才可能真正實現(xiàn).

以上借助等腰梯形的性質(zhì)與判定，闡述了筆者關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中猜想與論證的認(rèn)識，這些認(rèn)識有些是基于經(jīng)驗的，有些是基于思考的，由于能力所限，謬誤之處難免，懇請專家、同行批評指正.endprint