劉德金

（德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 德州　253023）

關(guān)于子基的連通性的注記

劉德金

（德州學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 德州253023）

在粗糙集理論研究中，覆蓋方法的應(yīng)用越來(lái)越受重視，其中最重要的概念是最近引進(jìn)的拓?fù)淇臻g的子集關(guān)于子基的內(nèi)部和閉包以及由它們導(dǎo)入的關(guān)于子基的開(kāi)集、閉集.對(duì)由它們導(dǎo)入的拓?fù)淇臻g關(guān)于子基的隔離子集、連通性作進(jìn)一步研究，所得性質(zhì)是一般拓?fù)淇臻g中隔離子集和連通性相應(yīng)結(jié)果的推廣.

子基；關(guān)于子基的開(kāi)集；關(guān)于子基的閉集；關(guān)于子基的隔離子集；關(guān)于子基的連通性

1　引言

在粗糙集理論的研究中，粗糙集與拓?fù)淇臻g關(guān)系的研究是一個(gè)重要內(nèi)容.繼文獻(xiàn)［1-3］研究粗糙集與拓?fù)淇臻g的關(guān)系之后，文獻(xiàn)［4］將粗糙集理論推廣到覆蓋廣義粗糙集理論，隨后不少學(xué)者對(duì)覆蓋廣義粗糙集理論進(jìn)行了深入的研究［5-8］.為了使粗糙集理論和覆蓋廣義粗糙集理論中的下近似集和上近似集都能分別地對(duì)應(yīng)于某一拓?fù)淇臻g的子集的某種內(nèi)部和閉包，文獻(xiàn)［9］定義了拓?fù)淇臻g的子集關(guān)于子基的內(nèi)部和閉包，在此基礎(chǔ)上文獻(xiàn)［10］研究了拓?fù)淇臻g的子集關(guān)于子基的連通性概念，得到許多重要結(jié)果.本文對(duì)文獻(xiàn)［10］給出的關(guān)于子基的隔離子集和關(guān)于子基的連通性的概念作進(jìn)一步研究，得到一些重要的結(jié)論，是對(duì)拓?fù)淇臻g關(guān)于子基的連通性的重要補(bǔ)充，也是一般拓?fù)淇臻g中隔離子集、連通性相應(yīng)結(jié)論的推廣.文中關(guān)于子基的內(nèi)部、閉包、開(kāi)集、閉集、隔離子集、連通空間、連通子集等概念均見(jiàn)文獻(xiàn)［9-10］，在此不再贅述.

2　預(yù)備知識(shí)

設(shè)X為非空集合，給定X上的拓?fù)銽，若β是T的子基，則該拓?fù)淇臻g記為（X，T，β）.X的子集A的補(bǔ)集記為～A.

引理2.1設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，Y為X的子集，則T|Y是Y的拓?fù)洌聕Y是Y的子基，并且對(duì)Y的任何子集A，有

證明若T為X的拓?fù)?，β為T的子基，由文獻(xiàn)［11］知T|Y是Y的拓?fù)洌聕Y是Y的子基.

引理2.2設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，則對(duì)任意X的子集A，iβ（A）是β開(kāi)集，Cβ（A）是β閉集.

證明由文獻(xiàn)［9］中命題2.1（9）、定義3.1和定理3.6可證.

引理2.3設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，（Y，T|Y，β|Y）是其子空間，A1?Y.則A1是Y的β|Y開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)存在X的β開(kāi)集A，使得A1=A∩Y.

證明由引理2.1和引理2.2可知，命題成立.

引理2.4設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，（Y，T|Y，β|Y）是其子空間.則Y的子集A、B是Y 的β|Y隔離子集當(dāng)且僅當(dāng)A、B是X的隔離子集.

證明由文獻(xiàn)［9］中定理1.8的證明可知，結(jié)論成立.

引理2.5［10］設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g.則下列條件等價(jià)：

（1）X是β不連通空間；

（2）X中存在兩個(gè)非空的β開(kāi)集A與B，使得X=A∪B，A∩B=?；

（3）X中存在兩個(gè)非空的β閉集A與B，使得X=A∪B，A∩B=?；

（4）X中存在一個(gè)既是β開(kāi)集又是β閉集的非空真子集.

引理2.6［10］設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，C為X的β連通分支.則

（1）若Y為X的β連通子集，且Y∩C≠?，則Y?C；

（2）C是X的β連通子集；

（3）C是X的β閉集.

引理2.7［10］設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，且Y?Z?X，則Y為X的β連通子集當(dāng)且僅當(dāng)Y為X的子空間Z的β|Z連通子集.

3　主要結(jié)果

定理3.1設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，A與B是X的β隔離子集，如果A1?A，B1?B，則A1與B1也是X的β隔離子集.

定理3.2設(shè)A與B是拓?fù)淇臻g（X，T，β）的β隔離子集.如果A∪B是X的β開(kāi)集（β閉集），則A與B也都是X的β開(kāi)集（β閉集）.

設(shè)A∪B是X的β閉集，由引理2.2得Cβ（A∪B）=A∪B，則Cβ（A）?Cβ（A∪B）=A∪B，因?yàn)锳與B是X的β隔離子集，所以Cβ（A）∩B=?，所以Cβ（A）?A，于是得Cβ（A）=A，由引理2.2知A是X的β閉集.同理可知B是X的β閉集.

定理3.3設(shè)A是拓?fù)淇臻g（X，T，β）的β連通子集.B既是X的一個(gè)β開(kāi)集，又是X的一個(gè)β閉集.如果則A?B.

證明設(shè)C=～B，則C也是既β開(kāi)又β閉的子集，且B和C是X的β隔離子集.因?yàn)锳?B∪C=X，所以由文獻(xiàn)［10］中定理1.10知，A?B或A?C.因?yàn)樗訟?B.

定理3.4設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，T，β）的β連通子集.如果A與B是X的兩個(gè)不交的β開(kāi)集（β閉集），使得Y?A∪B，則或者Y?A，或者Y?B.

證明設(shè)A與B是X的兩個(gè)不交的β開(kāi)集，即A與B是β開(kāi)集，且A∩B=?，這說(shuō)明A∩Cβ（B）=?，Cβ（A）∩B=?.所以A與B是X的兩個(gè)β隔離子集.因?yàn)閅?A∪B，Y 是β連通子集，所以由文獻(xiàn)［10］中定理1.10知，或者Y?A，或者Y?B.

定理3.5設(shè)A是β連通空間（X，T，β）的一個(gè)非空真子集，則

定理3.6設(shè)C是β連通空間（X，T，β）的一個(gè)β連通子集.若C是β開(kāi)集，又是β閉集，則C是X的β連通分支.

證明設(shè)Y是包含C的β連通分支，則C?Y，且C是Y的β|Y開(kāi)集，也是Y的β|Y閉集，由引理2.6知Y是X的β連通子集，即Y是β|Y連通的，因此Y沒(méi)有既β|Y開(kāi)又β|Y閉的真子集，所以C=Y，即C是X的β連通分支.

定理3.7 設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，E?G?X，E是X的β開(kāi)集，且E是G的β|G連通分支.則bβ（E）?bβ（G）.

注3.1由引理2.7可知，定理3.7中的條件“E是G的β|G連通分支”換為“E是X 的β連通分支”命題仍然成立.

定理3.8設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，G?X，G是X的β連通的子集且是β開(kāi)集，則G 是X-bβ（G）中的一個(gè)β連通分支.

定理 3.9設(shè)X是拓?fù)淇臻g，β1、β是X的兩個(gè)子基，β1?β.如果（X，T，β）是β連通的，則（X，T1，β1）是β1連通的.

證明反證法.假設(shè)（X，T1，β1）不是β1連通空間，則由引理2.5知，存在兩個(gè)非空β1開(kāi)集A，B使得X=A∪B，A∩B=?.因?yàn)棣??β，所以A，B也是兩個(gè)非空的β開(kāi)集，使得X=A∪B，A∩B=?，又由引理2.5知，（X，T，β）不是β連通的，與條件矛盾.所以（X，T1，β1）是β1連通的.

定理3.10設(shè)（X，T，β）是拓?fù)淇臻g，Y是X的一個(gè)子集.則Y是X的不連通子集的充分必要條件是存在X的β開(kāi)集（β閉集）A和B，使得Y?A∪B，A∩B?X-Y ，和

“?”設(shè)存在X的β開(kāi)集（β閉集）A和B使得Y?A∪B，A∩B?X-Y，和則Y=（A∩Y）∪（B∩Y），記A1=A∩Y，B1=B∩Y，則A1和B1是Y的非空的β|Y開(kāi)集（β|Y閉集），且Y=A1∪B1，A1∩B1=（A∩B）∩Y=?.所以Y是X的β不連通子集.

定理3.11設(shè)Y和Z是拓?fù)淇臻g（X，T，β）的子集.若Y和Z同時(shí)為X的β閉集（β開(kāi)集），則Y-Z和Z-Y是X的β隔離子集.

定理3.12設(shè)Y是拓?fù)淇臻g（X，T，β）的子集.Cβ（Y）是X的一個(gè)不連通子集，則X中存在兩個(gè)非空集合A和B使得Y?A∪B，Cβ（A）∩Cβ（B）=?，Y∩A≠?和Y∩B≠?成立.

證明設(shè)Cβ（Y）是X的一個(gè)不連通子集，由文獻(xiàn)［10］中定理1.8知，存在X的非空β隔離子集A和B使得Cβ（Y）=A∩B.由引理2.2知，A∩B是β閉集，又由定理3.2知，A 和B是X的β閉集，所以Cβ（A）=A，Cβ（B）=B，因?yàn)锳和B是X的β隔離子集，所以A∩B=?，從而Cβ（A）∩Cβ（B）=?.顯然Cβ（Y）∩A≠?和Cβ（Y）∩B≠?.若Y∩A=?，則由Y?Cβ（Y）=A∪B得Y?B，故Cβ（Y）?Cβ（B），這與Cβ（Y）∩A≠?，A∩Cβ（B）=?矛盾，所以Y∩A≠?.同理Y∩B≠?.

由于當(dāng)β是一個(gè)拓?fù)淇臻g的基時(shí)，β開(kāi)集與開(kāi)集等價(jià)；β閉集與閉集等價(jià)，β隔離子集與隔離子集等價(jià)，β連通與連通等價(jià)，β不連通與不連通等價(jià).因此上面所得的若干結(jié)果是文獻(xiàn)［11-12］中相應(yīng)結(jié)果的推廣.例如：拓?fù)浔旧硎亲踊?，所以特別地取β=T，這時(shí)定理3.11就可表述為：“設(shè)Y和Z是拓?fù)淇臻g（X，T）的子集.若Y和Z同時(shí)為X的閉集（開(kāi)集），則Y-Z和Z-Y是X的隔離子集.”這正是文獻(xiàn)［11］中48頁(yè)上的重要定理.

［1］Yao Y Y.Relationl interpretations of neighborhood operators and rough set approximation operators［J］.Information Science，1988，111（1/4）：239-259.

［2］陳德剛，張文修.粗糙集與拓?fù)淇臻g［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，35：1314-1315.

［3］李進(jìn)金.覆蓋廣義粗糙集理論中的拓?fù)浞椒ǎ跩］.模式識(shí)別與人工智能，2004，17（1）：7-10.

［4］Zakowski W.Approximations in the space（U，R）［J］.Demonstratio Matheznatica，1983，16：761-769.

［5］Bryniaski E.A calculus of rough sets of the first order［J］.Bulletin of the Polish Academy of Sciences，1989，37（16）：71-77.

［6］Bonikowski Z，Bryniarski E，Wybraniec-Skardowska U.Extensions and intentions in the rough set theory［J］.Information Science，1998，107：149-167.

［7］Pomykala J A.Approximation operations in approximation space［J］.Bulletion of the Polish Academy of Science，1987，35（9/10）：653-662.

［8］祝峰，王飛躍.關(guān)于覆蓋廣義粗集的一些基本結(jié)果［J］.模式識(shí)別與人工智能，2002，15（1）：6-12.

［9］李進(jìn)金.由子基生成的內(nèi)部算子和閉包算子［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2006，35（4）：478-484.

［10］李進(jìn)金.關(guān)于子基的連通性［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2007，36（4）：421-428.

［11］熊金誠(chéng).點(diǎn)集拓?fù)渲v義［M］.4版.北京：高等教育出版社，2011.

［12］凱萊J L.一般拓?fù)鋵W(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，1982.

Note on connectedness relative to a subbase

Liu Dejin
（Department of Mathematics，Dezhou University，Dezhou253023，China）

Covering methods are widely used in rough set theory.The interior and the closure of a subset relative to a subbase for the topology are introduced to study the relationships between the rough sets and the topological space.This paper makes a further research on the separated subset and the connectedness relative to a subbase，and obtains some properties which generalize separated subset and the connectedness in a general topology.

subbase，the open set relative to a subbase，the close set relative to a subbase，the separated subset relative to a subbase，the connectedness relative to a subbase

O189.1；TP18

A

1008-5513（2015）03-0231-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.002

2014-11-16.

劉德金（1957-），教授，研究方向：幾何與一般拓?fù)鋵W(xué).

2000 MSC：56A10，68T01