徐俊峰
(1.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,長(zhǎng)沙湖南410082;2.五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,江門廣東529020)
一個(gè)與小函數(shù)有關(guān)的微分多項(xiàng)式不等式估計(jì)
徐俊峰1,2
(1.湖南大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院,長(zhǎng)沙湖南410082;2.五邑大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,江門廣東529020)
利用精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)證明了關(guān)于φf(shuō)2f(k)-1的定量估計(jì)不等式,這里f是一個(gè)超越亞純函數(shù),φ是關(guān)于f的小函數(shù).此不等式推廣了以往的結(jié)果.
亞純函數(shù);微分多項(xiàng)式;值分布;小函數(shù)
設(shè)f(z)是亞純函數(shù),如果a(z)是一個(gè)非恒為零亞純函數(shù)滿足T(r,a)=S(r,f),這里S(r,f)=o(T(r,f))(r→∞),除了關(guān)于r的一個(gè)可能存在的有限例外集,稱a(z)是f(z)的小函數(shù).假設(shè)讀者熟悉值分布的相關(guān)理論(參考文獻(xiàn)[1-6]).
定義1.1設(shè)k是一個(gè)正整數(shù),a是任意一個(gè)復(fù)數(shù).Nk)(r,1/(f-a))表示關(guān)于f-a的零點(diǎn)重?cái)?shù)小于等于k的計(jì)數(shù)函數(shù),N(k(r,1/(f-a))表示關(guān)于f-a的零點(diǎn)重?cái)?shù)大于等于k的計(jì)數(shù)函數(shù),Nk(r,1/(f-a))表示關(guān)于f-a的零點(diǎn)重?cái)?shù)等于k的計(jì)數(shù)函數(shù).另外,與分別表示上述函數(shù)相應(yīng)的精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù).
1982年,文獻(xiàn)[7]證明了下述結(jié)果.
自然地,當(dāng)n=2時(shí)上述定理對(duì)應(yīng)的情況怎么樣?最近,文獻(xiàn)[8]得到了一個(gè)關(guān)于f2f(k)-1的結(jié)果.
定理1.2設(shè)f是一個(gè)超越亞純函數(shù)及k是一個(gè)正整數(shù),那么
注1.1事實(shí)上,文獻(xiàn)[9]證明了k=1的情況.文獻(xiàn)[8]證明了k≥2的情況.文獻(xiàn)[10]利用精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)改進(jìn)了定理1.2得到了如下結(jié)果.
定理1.3設(shè)f是一個(gè)超越亞純函數(shù),k是一個(gè)正整數(shù).那么
當(dāng)k=1或k≥3時(shí),M=6;當(dāng)k=2時(shí),M=10.
對(duì)應(yīng)于定理1.1,自然地考慮f2f(k)-a(z)的值分布情況,這里a(z)是f(z)的一個(gè)小函數(shù).本文研究了這個(gè)問(wèn)題得到了下述結(jié)果.
為了證明主要的結(jié)果,引入下述引理.
假設(shè)z0是f的重?cái)?shù)為q的零點(diǎn)且是φ的重?cái)?shù)為t的極點(diǎn).
情況I假設(shè)t≤2q-1,如果q≤k,那么z0是(φf(shuō)2f(k))′的重?cái)?shù)至少為2q-1-t的零點(diǎn);如果q≥k+1,那么z0是(φf(shuō)2f(k))′的重?cái)?shù)至少為3q-(k+1)-t的零點(diǎn).
情況II假設(shè)t≥2q,z0至多是φ2的極點(diǎn).因而有
由(3)-(6)式,有
下面,首先構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)來(lái)去掉(1)中極點(diǎn)的限制.
證明(I)如果H(z)≡0.通過(guò)對(duì)等式(7)兩邊的積分,有
這里C是一個(gè)非零的復(fù)常數(shù).
由(8)式知道f(z)的零點(diǎn)來(lái)自于φ(z)的極點(diǎn).如果f(z)存在一個(gè)零點(diǎn)z1,設(shè)z1是f(z)的零點(diǎn)具有重?cái)?shù)p(≥3),且為φ(z)的極點(diǎn)具有重?cái)?shù)q(≥1).如果p>2q,那么z1是φf(shuō)2的零點(diǎn)具有重?cái)?shù)p-2q.因而C=0.這是一個(gè)矛盾,因而p≤2q,有
(8)式可以改寫為
也就是說(shuō)
設(shè)Er={θ||f(z)|≤1;z=reiθ,θ∈[0,2π]}.如果|f(z)|≤1,有
因而有
(II)設(shè)z2是f(z)的單極點(diǎn)而不是φ(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn),那么f(z)和φ(z)在z2的鄰域有下列展開(kāi)式:
由此容易得到
將(10)式-(13)式代人(7)式,得到
因而z2是H(z)的零點(diǎn).即f(z)的單極點(diǎn)若不是φ(z)的零點(diǎn)和極點(diǎn)必為H(z)的零點(diǎn).
引理2.3設(shè)f是一個(gè)超越亞純函數(shù),且k是一個(gè)正整數(shù).那么
引理2.4設(shè)f是一個(gè)超越亞純函數(shù),且k是一個(gè)正整數(shù).那么
分兩種情況證明:
情形1k=1.
情形2k≥2.
因而有
完成了定理1.4的證明.
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An inequality of differential polynomials related to small function
Xu Junfeng1,2
(1.Department of Mathematics,Hunan University,Changsha 410082,China;2.School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen529020,China)
In this paper,a quantitative estimate of the differential polynomials φf(shuō)2f(k)-1 is obtained,where f is a transcendental meromorphic function,φ is a small function and k is a positive integer,by the reduced counting function when f has few simple zeros.This result improves the existed theorems.
meromorphic functions,differential polynomials,value distribution,small functions
O174.52
A
1008-5513(2015)05-0441-08
10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.001
2015-03-10.
國(guó)家自然科學(xué)基金(11126327);廣東省自然科學(xué)基金(9452902001003278);廣東省高校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)對(duì)象項(xiàng)目(Yq2013159).
徐俊峰(1979-),博士后,教授.研究方向:主要從事復(fù)分析研究.
2010 MSC:30D35