龐 通，黃藝榮，徐依斕，陳 乾?，戴玉蓉

（1.東南大學(xué)，江蘇 南京 211189；2.倫斯勒理工學(xué)院，紐約州 特洛伊 12180）

三線擺實驗中擺角偏大產(chǎn)生的誤差及修正方法

龐 通1，黃藝榮1，徐依斕2，陳 乾1?，戴玉蓉1

（1.東南大學(xué)，江蘇 南京 211189；2.倫斯勒理工學(xué)院，紐約州 特洛伊 12180）

研究了三線擺實驗中擺角偏大（5°＜θ＜20°）時對測量轉(zhuǎn)動慣量產(chǎn)生的誤差和修正辦法。實驗發(fā)現(xiàn)隨著擺角的增大，測得的圓盤轉(zhuǎn)動慣量也會相應(yīng)偏大，從而導(dǎo)致測量誤差增大。文章通過進(jìn)一步的理論分析解釋了這一現(xiàn)象，并對測量結(jié)果進(jìn)行了系統(tǒng)誤差修正。

三線擺；轉(zhuǎn)動慣量；系統(tǒng)誤差

測定剛體轉(zhuǎn)動慣量的方法有多種，如落體法、復(fù)擺法和扭振法等［1］。三線擺法是扭振法的一種，因其結(jié)構(gòu)簡單、操作簡便、受阻尼影響小等優(yōu)點而常見于理工科大學(xué)物理實驗課程［2，3］。在實驗過程中，為了滿足振動系統(tǒng)的線性要求，須使擺角θ≤5°。然而，由于教學(xué)儀器精度較低，學(xué)生在實驗過程中易出

現(xiàn)擺角偏大的情況。在已有文獻(xiàn)中，對這一問題產(chǎn)生的誤差研究甚少，少數(shù)文獻(xiàn)只是理論估計了誤差大小，并沒有給出詳細(xì)的驗證分析［4-6］。本文針對這一問題做了系統(tǒng)的實驗研究和理論分析，并給出了一種大角度擺動時對測得轉(zhuǎn)動慣量結(jié)果的簡易修正方法，希望能通過這一工作加深學(xué)生對該實驗相關(guān)操作要求和誤差分析的理解和掌握。

1 實驗方法與結(jié)果

本文實驗所用的儀器為南京培中科技開發(fā)研究所開發(fā)的TWP-2型三線擺實驗儀，如圖1（a）所示。忽略摩擦力的影響，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，可以得到:

在懸盤做小角度轉(zhuǎn)動時可得到圓盤轉(zhuǎn)動

圖1 （a）三線擺實驗儀器示意圖；（b）三線擺實驗原理圖

為了圖示清楚，圖中長度和角度的比例與實際相比有所調(diào)整。

慣量的表達(dá)式［3］:

其中相關(guān)的物理量如圖1（b）所示，T為測得的轉(zhuǎn)動周期。筆者分別測量了不同初始擺角θ0≈5°，10°，15°，20°時的轉(zhuǎn)動周期，帶入（2）式直接計算得到的實驗結(jié)果和圓盤轉(zhuǎn)動慣量的理論計算結(jié)果JT比較，得誤差如圖2方點所示。從圖中可以看到，隨著擺角的增加，J0的值不斷偏大，當(dāng)擺角接近20°時，相對誤差已超過5%，這類系統(tǒng)誤差在實際應(yīng)用中已經(jīng)不可忽略。

圖2 轉(zhuǎn)動慣量誤差與擺角的關(guān)系

圖2測量得到的圓盤轉(zhuǎn)動慣量與理論值相比的誤差和擺角關(guān)系（方點），圖中給出了4次測量結(jié)果的平均值和置信區(qū)間，每次測量50個周期取平均值進(jìn)行計算。采用本文所述方法修正后的誤差平均值與擺角的關(guān)系（圓點）。測量過程中保持R/H=0.28，儀器的r/R=0.29。

2 誤差分析與討論

我們認(rèn)為，上述誤差產(chǎn)生的主要原因是由于擺角偏大，三角函數(shù)的一階近似不再適用。為了修正這一誤差，對三角函數(shù)采用二階近似后，有:

和式（2）相比，上式等號右邊，在J0的基礎(chǔ)上需要再減去J1和J2兩項:

由式（5）、（6）可知其均為正值，因此在擺角較大時，若未考慮這兩項的作用，將使測量結(jié)果偏大，這與圖2中的實驗結(jié)果相符，也與相關(guān)文獻(xiàn)結(jié)論一致［7］。在用式（4）對測量結(jié)果修正后，可以發(fā)現(xiàn)實驗誤差得到了明顯的改善（如圖2圓點示）。這里需要說明的是，實驗過程中還會存在阻尼以及橫向擺動等其它因素的影響，因此修正后的結(jié)果與理論值相比還會存在誤差，特別是當(dāng)擺角增加過大時，本文所用的有效值近似帶來的系統(tǒng)誤差也會突顯出來。

同時，根據(jù)式（4）還能預(yù)測當(dāng)H值減小時，由式（2）得到的實驗結(jié)果也會增加。為了驗證這一點，筆者在固定擺角約為10°時測量了不同擺長下的相關(guān)數(shù)據(jù)。如圖3所示，修正前的誤差隨著R/H值的增加而增加，這也和已有的文獻(xiàn)結(jié)果相一致［8］。從圖中還能看到，采用式（4）修正后的結(jié)果與理論值符合得很好。

圖3 轉(zhuǎn)動慣量誤差與R/H的關(guān)系

圖3固定擺角約為10°時，測量得到的圓盤轉(zhuǎn)動慣量的誤差和R/H的對應(yīng)關(guān)系（方點）以及采用本文所述方法修正后的誤差平均值與R/H的關(guān)系（圓點）。

3 結(jié) 論

本文將實驗和理論相結(jié)合，系統(tǒng)研究了擺角偏大時三線擺法測量轉(zhuǎn)動慣量的誤差變化規(guī)律和修正方法。研究發(fā)現(xiàn)采用簡單的有效值近似，可以在擺角小于20°時較好的修正擺角偏大而帶來的測量誤差。作為一個研究性小課題，本工作可讓學(xué)生在已有的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)上，加深三線擺教學(xué)實驗中強(qiáng)調(diào)對擺角大小要求的理解，并鍛煉其分析誤差來源和修正系統(tǒng)誤差的實驗基本能力。

［1］ 陳春澄，莊表中，沈德先.關(guān)于測試物體轉(zhuǎn)動慣量方法的探討［J］.力學(xué)與實踐，1992，6（14）:48-49.

［2］ 夏雪芹.“比較測量法”在三線擺實驗中的應(yīng)用［J］.大學(xué)物理實驗，2013，26（2）.

［3］ 錢鋒，潘人培.大學(xué)物理實驗（修訂版）［M］.北京:高等教育出版社，2005:52-64.

［4］ 趙佳明，劉峰.“三線擺”實驗中擺角限值的討論［J］.大連大學(xué)學(xué)報，2000，21（2）:54-57.

［5］ 盛忠志，易德文，楊惡惡.三線擺法測剛體的轉(zhuǎn)動慣量所用近似方法對測量結(jié)果的影響［J］.大學(xué)物理，2004，23（2）:44-46.

［6］ 張將良，王吉有，郭子豪，等.三線擺實驗現(xiàn)象的分析［J］.大學(xué)物理實驗，2014，27（3）.

［7］ 昝會萍，張引科.也談擺角對三線扭擺周期的影響［J］.物理實驗，1998，19（6）:44-45.

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Error Caused by Swing Angle and the Correction Method in Three-wire Pendulum Experiment

PANG Tong1，HUANG Yi-rong1，XU Yi-lan2，CHEN Qian1?，DAI Yu-rong1
（1.Southeast University，Jiangsu Nanjing 211189；2.Rensselaer Polytechnic Institute，Troy，NY，USA，12180）

Error caused by swing angle（5°＜θ＜20°）in measuring the rotational inertia via three-wire pendulum is studied，the method to correct the systematic errors is also presented.The measured inertia of disc increases with the increasing of swing angle.And，based on theoretical analysis，this phenomenon is explained and the systematic errors are corrected.

three-wire pendulum；rotational inertia；systematic errors

P207+.1

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.01.031

1007-2934（2015）01-0096-03

2014-09-07

?通訊聯(lián)系人