楊仁剛

【摘要】 一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)模型是針對(duì)具體實(shí)物建立起來(lái)的，即可在現(xiàn)實(shí)生活中找到原型，其目的是為了解決實(shí)際問(wèn)題。它的應(yīng)用范圍非常廣泛，在許多領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。本文從生活問(wèn)題入手，分析如何建立其幾何模型，探求解決途徑，并研究所建模型的應(yīng)用領(lǐng)域，即還可利用此模型解決的類(lèi)似問(wèn)題有哪些。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)建模 數(shù)學(xué)模型 幾何模型 簡(jiǎn)化

【中圖分類(lèi)號(hào)】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1992-7711（2015）01-032-01

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所謂數(shù)學(xué)建模就是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐。即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。

在實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)學(xué)模型可按不同方式分類(lèi)。若按建立模型的數(shù)學(xué)方法分類(lèi)，則它可分為幾何模型、微分方程模型、圖論模型、規(guī)劃論模型、馬氏鏈模型等。這些模型彼此之間并非絕對(duì)孤立，而是互相滲透，互為工具。

在可用數(shù)學(xué)建模的方法解決的問(wèn)題中，有些比較簡(jiǎn)單，只使用其中的一種模型即可。例如，一把梯子斜靠在墻上，如何測(cè)得梯子和墻的夾角呢？首先建立梯子的幾何模型，即將其假設(shè)為一線段，忽略其余各部分。接下來(lái)，測(cè)量梯長(zhǎng)以及從梯子與墻的交點(diǎn)到地面的垂直距離。再利用三角函數(shù)，便可計(jì)算出夾角。但在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，僅使用幾何方面的知識(shí)或者其它某類(lèi)知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，往往是兩類(lèi)或多類(lèi)知識(shí)綜合起來(lái)使用，會(huì)達(dá)到事半功倍的效果?；蛘咴谠心Ｐ偷幕A(chǔ)上，使用幾何模型作為輔助手段，也會(huì)為問(wèn)題的解決帶來(lái)驚喜。

幾何模型不是原型，既簡(jiǎn)單于原型，又高于原型，它是對(duì)原物體簡(jiǎn)化后的產(chǎn)物。幾何模型有一定的適用條件，即在所要解決的問(wèn)題中需出現(xiàn)具體實(shí)物，因?yàn)橐⑺芯繂?wèn)題的幾何模型就一定脫離不了具體實(shí)物的存在。若問(wèn)題中沒(méi)有出現(xiàn)有具體形狀的物體，則幾何模型也無(wú)從談起。但是由于我們所要解決的實(shí)際問(wèn)題有許多都會(huì)涉及到具體實(shí)物，所以幾何模型的應(yīng)用范圍是很廣泛的，地位是舉足輕重的。下面舉例分析幾何模型的具體應(yīng)用。

問(wèn)題描述：人在行走時(shí)所做的功等于抬高人體重心所需的勢(shì)能與兩腿運(yùn)動(dòng)所需的動(dòng)能之和。在給定速度時(shí)，以動(dòng)作最小（即消耗能量最?。樵瓌t。問(wèn)走路步長(zhǎng)選擇多大為合適？

問(wèn)題分析：此問(wèn)題若陷入人體復(fù)雜的生理結(jié)構(gòu)之中，將會(huì)得出過(guò)于復(fù)雜的模型而失去使用價(jià)值。對(duì)人體進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化，是解決問(wèn)題的首要步驟。由于此例要解決的是步長(zhǎng)問(wèn)題，則人體的生理結(jié)構(gòu)這一復(fù)雜因素是可以忽略的。

另外，依靠平時(shí)生活經(jīng)驗(yàn)的積累，可判斷影響步長(zhǎng)的主要因素有：（1）身高（或腿長(zhǎng)h）；（2）體重M.

為簡(jiǎn)化問(wèn)題的研究，做以下假設(shè)：

（1）假設(shè)人體只由軀體和下肢兩部分組成，且下肢看作長(zhǎng)為、質(zhì)量為的均勻桿；

（2）設(shè)軀體以勻速前進(jìn)。

模型建立：如圖1所示，重心升高δ=h-hcosθ=h-h■■≈■（當(dāng)l/h較小時(shí)）。

腿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=■，角速度w=■，單位時(shí)間的步數(shù)為 ■.所以單位時(shí)間行走所需的動(dòng)能為wδ=■Iw2■=■.

單位時(shí)間內(nèi)使身體重心升高所做的功為Wδ=mgδ■=■ ，所以單位時(shí)間行走所需的總功W=We+ Wδ=■+■.代入n=■，得W=v2■.于是當(dāng)v一定時(shí)，n■ 可使W最小。由l= ■，得l=■v0.求解完畢。

小結(jié)

通過(guò)研究前面兩個(gè)問(wèn)題，我們作以下三點(diǎn)總結(jié)：

（1）在上述問(wèn)題中，我們用幾何模型結(jié)合物理知識(shí)，解決了人體行走中的步長(zhǎng)問(wèn)題。建立模型時(shí)，把人體只看作由軀干和下肢兩部分組成，是對(duì)人體的第一次簡(jiǎn)化；接著又將下肢看作長(zhǎng)為、質(zhì)量為的均勻桿，是對(duì)人體的第二次簡(jiǎn)化。兩次簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的解決起到了關(guān)鍵作用，既合理簡(jiǎn)化了問(wèn)題，又未因過(guò)分簡(jiǎn)化而使模型失去其使用價(jià)值。而在第二個(gè)問(wèn)題的模型建立中，將人體直接看成是一個(gè)長(zhǎng)方體的物體。通過(guò)對(duì)比我們可以看出，在解決不同的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，對(duì)同一物體可根據(jù)實(shí)際需要做出不同的模型假設(shè)。數(shù)學(xué)模型的建立是一個(gè)對(duì)模型反復(fù)推敲不斷完善的過(guò)程。雖然建立模型是為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，但有時(shí)這種簡(jiǎn)化是過(guò)度的，即得到的結(jié)果與現(xiàn)實(shí)情況出入過(guò)大。這時(shí)就需要返回問(wèn)題分析這一步驟，對(duì)模型原有假設(shè)進(jìn)行修改，使其逐漸向原型靠近，從而得出合理的結(jié)論。

（2）此外，還有很多物體運(yùn)動(dòng)值得我們研究。例如汽車(chē)剎車(chē)距離問(wèn)題，即兩車(chē)之間保持多長(zhǎng)距離能保證司機(jī)在發(fā)生意外時(shí)可以及時(shí)剎車(chē)。在汽車(chē)駕駛中有這樣的規(guī)則：正常駕駛條件下車(chē)速每增加10，后面與前面一輛車(chē)的距離應(yīng)增加一個(gè)車(chē)身的長(zhǎng)度。有人根據(jù)這一規(guī)則，推出了所謂的“2秒準(zhǔn)則”，即后車(chē)司機(jī)若能在前車(chē)經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志的2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，則此時(shí)兩車(chē)之間的距離剛好。這個(gè)準(zhǔn)則的合理性如何，是否有更好的準(zhǔn)則？這些問(wèn)題都值得研究。如果此準(zhǔn)則合理，就可以確定兩車(chē)在駕駛過(guò)程中應(yīng)保持的車(chē)距了。

通過(guò)分析研究以上問(wèn)題，我們可以更加深刻地體會(huì)到幾何模型在現(xiàn)實(shí)生活中的重要作用，利用它可以許多棘手問(wèn)題。隨著數(shù)學(xué)以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域的滲透，和計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)建模將越來(lái)越受到人們的重視。幾何模型作為數(shù)學(xué)建模必不可少的工具，也必將有更多的空間施展拳腳。