1背景

高三復習課以解題教學為核心，在有限的45分鐘課堂內高效的教學，課外精心選題很關鍵，高考試題往往是備課者青睞的對象，對同一個數(shù)學問題，教師若能引導學生從不同角度進行思考，克服就題論題，將其問題一般化。往往會使學生獲得多種不同的解題思路和途徑。這不僅對幫組學生訓練基本技能、追求最優(yōu)解法是十分必要的，而且對培養(yǎng)學生思維的靈活性、發(fā)散性、廣闊性、探究發(fā)現(xiàn)能力以及綜合運用知識的能力都有著及其重要的作用。

本文筆者選擇2014年湖北理科第9題作為典型例題，談談多元最值問題的解法。

題目 ?已知[F1，F(xiàn)2]是橢圓和雙曲線的公共焦點，[P]是他們的一個公共點，且[∠F1PF2=π3]，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ?）

A.[433] ? B.[233] ? C.3 ? ?D.2

2 解法探究

此題將橢圓和雙曲線兩種圓錐曲線相結合，以離心率和最值設問，常規(guī)中有創(chuàng)新，題目敘述簡潔。

為了統(tǒng)一，我們先規(guī)定如圖，由對稱性不妨取點P在第一象限，設橢圓的長軸長為[2a1]，雙曲線的實軸長為[2a2]，公共焦距為[2c]，[F1]，[F2]分別為左右焦點，[PF1=m]，[PF2=n]，

由橢圓和雙曲線的定義可知[m+n=2a1m-n=2a2]推出

[m=a1+a22 ] ①

[n=a1-a22] ?②

又由條件及其余弦定理有[4c2=m2+n2-mn] ③

求離心率倒數(shù)之和為[a1c+a2c]=[a1+a2c] ? ④

教師：如何求多元的最值呢？基本的是思路結合圓錐曲線定義及條件消元，或換元進而用函數(shù)的思想，或者利用基本不等式求最值。

學生：因為①④里面都有有[a1+a2]這個結構，聯(lián)立①④消去[a1+a2]兩個未知量，得到關于[m]，[n]的一個式子，減少未知量再觀察。

教師：很好，這位同學觀察能力很強，這樣就減少了一個元，[a1+a2c=mc]但是[c]呢？③里面[c]是平方，如何用？

學生：先求[a1+a2c]的平方

順著這一頗為自然的思路走下來，在師生的共同努力下完成了下列解法：

解法1：

[（a1+a2c）2]=[（mc）2]=[4m2m2+n2-mn]=[4nm2-nm+1]=[4nm-122+34][≤163]

所以[a1+a2c][≤433]，答案為A

教師：解法1利用換元法，把目標轉換成了一個二次函數(shù)，利用配方法求最值，說明同學們的基本功還是非常扎實。

學生：對于[a1+a2c=mc]，也可以對③兩邊直接除以[c2]，構造需要的[mc]結構。

教師：順著學生的思路由[4c2=m2+n2-mn]兩邊同時除以[c2]，整理得

[n2c2-mcnc+m2c2-4=0] ? ⑤

下一步呢？現(xiàn)在比剛才更復雜了，三個未知量，如何解決呢？以前我們遇到多個變量方程時，是如何求最值的？

學生：可以設某個變量如[nc]為主元，將其他變量看出系數(shù)，構造一元二次方程，由根的存在性，運用判別式可以求最值。

解法2：把⑤看成以[nc]為變量的，[mc]為系數(shù)的一元二次方程，則由判別式有[△≥0]

即[（mc）2-4（m2c2-4）≥0]，所以[mc][≤433]

學生以為這道題就到此為止，突然有個同學提出，最開始是消元[a1]，[a2]，能否消元[m]，[n]呢？我們不妨試試。

學生：由①、②帶入③消去[m]，[n]整理得：[a12c2+3a22c2=4]

教師：此題就可以轉換為已知[a12c2+3a22c2=4]，求[a1c+a2c]的最大值。它屬于我們平時經(jīng)常遇到的給值求值類型的題目，現(xiàn)在又如何求最值呢？此刻下面立即沸騰起來了。

學生：可以考慮數(shù)行結合的方法。

教師：你是如何發(fā)現(xiàn)的呢？

學生：把[a1c]，[a2c]看成兩個整體，換元，則條件表示的就是一個橢圓，求直線截距的最大值。

順著學生的思路，大家就動起筆來，得

解法3：令[a1c=x]，[a2c=y]則此題轉換為已知[x2+3y2=4]即[x24+3y24=1]求[t=x+y]的最大值。

如圖，有幾何意義：當直線[t=x+y]與橢圓[x24+3y24=1]相切時有

截距[t]的最大。聯(lián)立[x2+3y2=4]和[t=x+y]消去[y]

得[4x2-6tx+3t2-4=0]又由[△=0]得[t=433]

教師：解法3換元之后利用了橢圓幾何意義表示，再利用線性規(guī)劃的思想。除了橢圓的幾何意義，還有其他的換元嗎，平方和的形式的換元？

經(jīng)過提示后有學生提出，觀察所求式子的結構特點，利用同角三角函數(shù)的平方關系進行換元，再利用正、余弦函數(shù)的有界性求最值，得以下解法。

解法4：由解法3有[x24+3y24=1]，令[a1c=2cosθ]，[a2c=][23sinθ] ?[θ∈（0，π2）]

則[a1c+a2c]=[2cosθ+23sinθ]=[433sin（θ+φ）][≤433]

教師：還有其他方法嗎？基本不等式是求最值的有利武器，在這兒可以用嗎？能否試試？

學生：它不屬于[a2+b2]與[a+b]的不等關系，因為[a2]，[b2]系數(shù)要求相等。

教師：不等的有么？回憶選修4-4里面的幾個不等式？

學生：柯西不等式

解法4：

因為[a12c2+3a22c2=4]

所以由柯西不等式有[[12+（13）2]·[（a1c）2+（3a2c）2]≥（a1c+a2c）2]

即[（a1c+a2c）2][≤（1+13）·4]即[a1c+a2c][≤433]

當且僅當[1×3a2c=13×a1c]時等號成立。

教師：回到前面[a1+a2c=mc]，還有其他解法嗎，看看[mc]是否有關系，在三角形中。

學生：[mc][=2m2c=2PF1F1F2]，它表示兩條邊的比值，可以考慮用正弦定理。

解法5：因為[a1+a2c=mc][=2m2c=2PF1F1F2]

在[△PF1F2]中有正弦定理有[a1+a2c][=][2PF1F1F2][=2sin∠PF2F1sinπ3 =433· sin∠PF2F1 ]

所以[a1c+a2c][≤433]，當[∠PF2F1]=[π2]有最大值。

教師：解法5非常巧妙的用正弦定理將[2PF1F1F2]轉換為三角形內角的三角函數(shù)求解，事半功倍，簡便快捷。據(jù)題目可知，橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值與[∠PF2F1]的取值密切相關，能否推廣到一般性的結論呢？

3 揭示本質，推廣到一般性的結論

變式：若[∠F1PF2=π3]把[∠F1PF2=θ] （[θ∈（0，π）]），則求[1e1+1e2]的最大值？

因為[∠F1PF2=θ] （[θ∈（0，π）]），令[∠PF1F2=α]，則[∠PF1F2=π-α-θ]

又因為[α>π-θ-α]且[θ+α<π]，所以[π-θ2<α<π-θ]

（1） 若[∠F1PF2=θ]為銳角，則[π-θ>π2]，所以[cosθ2

則由解法5有[1e1+1e2]=[2PF1F1F2=2sinαsinθ][≤][433]，當[∠PF2F1]=[π2]有最大值。

（2） 若若[∠F1PF2=θ]為鈍角，則[π2-θ2<α<π-θ<π2]，

所以[cosθ2

此時[1e1+1e2][=2sinαsinθ]無最值。

4 一點感悟、反思

本題巧妙地將橢圓、雙曲線定定義和離心率性質等有機黏合在一起，突出了知識的綜合貫通和交叉聯(lián)系，充分體現(xiàn)了在知識網(wǎng)絡交叉處命題的基本原則。從解答中，讓我們更加深刻的領悟到“題在書外，根在書內”;“源于教材而不拘泥于教材”的高考命題的知道思想。特別是在高三的復習中，要“回歸課本”，“依綱劇本”加深對數(shù)學實質的理解，落實基礎知識、基本概念、基本思想方法、深化學科綜合能力，重視學生數(shù)學思維能力和數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)，而不是盲目的搞“題海戰(zhàn)術”。

作者簡介：

韋保學（1984.4～），男，布依族，貴州，本科，中學二級教師，貴陽市清華中學，研究方向：課例。