錢建兵

蘇教版五上P15“動手做”。

在方格紙上畫平行四邊形ABCD，連接對角線AC、BD，它們的交點(diǎn)O稱為平行四邊形的中心。

過平行四邊形的中心O任意畫一條直線，把平行四邊形分成了兩個什么圖形？這兩個圖形完全一樣嗎？先畫一畫，再把分成的兩個圖形剪下來比一比。

你能用上面的方法把下面這些圖形分成完全一樣的兩部分嗎？先畫一畫，再與同學(xué)交流。

【教學(xué)片段一】

出示一些平面圖形：正方形、長方形、平行四邊形、正六邊形、正八邊形。

師：這些圖形認(rèn)識嗎？六邊形特別嗎？每條邊都相等、每個角都相等的叫正六邊形。

師：今天我們要學(xué)習(xí)這些圖形的分割。

師：你能在這個正六邊形上劃一條直線，將它分成面積相等的兩部分嗎？

生■：在中間畫一條。

師：有多少種畫法？

學(xué)生大都表示有4種，也有學(xué)生表示有6種。過了一會兒，有一兩位學(xué)生表示有無數(shù)種。

師：碰到復(fù)雜的問題可以從簡單的問題入手，你們覺得可以從哪個簡單的圖形入手？

生■：正方形。因為正方形的邊少。

師：可是長方形也只有4條邊??？

生■：正方形不僅邊比較少，而且跟正六邊形相似，每邊都相等的。

【賞析】教師沒有直接出示正方形讓學(xué)生研究，而是故意將題目變復(fù)雜，“難為”一下學(xué)生。這種“顛倒法”產(chǎn)生的沖突，實際上是在向?qū)W生巧妙地滲透“從簡單想起”的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想的基本教學(xué)形式是滲透，是師生間談話中的自然流露?！皬?fù)雜的問題從簡單想起”，實際上是一種類比推理，是合情推理?！伴L方形也只有4條邊啊”很自然地將學(xué)生的視角引向類比的關(guān)鍵：兩事物之間必須有相同或相似的屬性，相似程度越高，推理的可信度就越高。

【教學(xué)片段二】

師：正方形上畫一條直線將它分成面積相等的兩部分，這樣的直線有幾條？請大家拿出正方形，折一折，畫一畫。

學(xué)生操作，教師找不同的方法加以展示。

生■：上下對折，完全重合，再左右對折，再對角對折。

師：看一看這4條，這4條雖然來自四面八方，但都——

生■：相交于中間的點(diǎn)。

師：我們把這樣的點(diǎn)叫中心點(diǎn)，在做的過程中我們有了新的發(fā)現(xiàn)。

生■：可以分成兩個梯形，這個梯形少的部分（指梯形的上底），在另一個梯形中也有，多的部分（指梯形的下底），在那個里也有。這樣兩個梯形就一樣了。

生■：這條不是隨便畫的，是圍繞中心點(diǎn)畫的。

師：只要找到怎樣的直線，就可以將這個正方形分成相等的兩部分？

生■：我感覺只要通過中心點(diǎn)，就可以了。

師：這位同學(xué)有很好的感覺，但我們還需要驗證。

生■：可以剪開分成兩份，看能不能重合。

學(xué)生操作，經(jīng)過中心點(diǎn)任意畫一條直線，可以剪，也可以測量。

師：我看到了兩種不同的驗證方法，一種是經(jīng)過中心點(diǎn)，有意地畫一條不一定就能確定的直線再剪開，另一種是沿對折的折痕剪開，你更欣賞哪一種？

生■：第一種，因為第二種不需要驗證了。

……

師：一開始都認(rèn)為是4條，嘗試的過程中發(fā)現(xiàn)相交于同一個點(diǎn)，有部分同學(xué)有了大膽的猜想，我們就進(jìn)行了驗證，最后發(fā)現(xiàn)了這個結(jié)論。

【賞析】大部分學(xué)生都知道“正方形中有4條直線能將它分成相等的兩部分”，基于對這一學(xué)情的把握，教師及時地將這種經(jīng)驗進(jìn)行提升，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的關(guān)鍵——都相交于中心點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生憑直覺發(fā)現(xiàn)其他的經(jīng)過中心點(diǎn)的直線可能也可以將正方形平均分成面積相等的兩部分時，進(jìn)行驗證的想法自然產(chǎn)生。學(xué)生在此感受到“猜想—驗證”的探究過程。在這個過程中，教師的做法到位，但不越位，重視方法的指導(dǎo)，特別是驗證的方法對學(xué)生的適當(dāng)啟發(fā)。

【教學(xué)片段三】

師：長方形呢？平行四邊形呢？

師：這些想法是對的嗎？是的，還需要科學(xué)的驗證。你準(zhǔn)備怎么研究？

生■：先找中心。

師：為什么不從頭開始？是的，我們經(jīng)常是借鑒之前的規(guī)律進(jìn)行新的研究。

學(xué)生操作后交流。

師：研究到這兒，我們似乎找到了規(guī)律，借助這樣的研究，我們來看一開始的那個問題，正六邊形能有多少條將它分成相等的兩部分的直線？

生■：無數(shù)條。這無數(shù)條直線都經(jīng)過中心點(diǎn)。

教師課件演示。

師：正八邊形，正二十邊形呢？你想說什么？

生■：我感覺只要有中心點(diǎn)的圖形都有無數(shù)條將它分成相等兩部分的直線。

生■：我覺得三角形不可以。普通的三角形不可以，直角三角形不可以。

生■：等邊三角形也沒有無數(shù)條。

師：同學(xué)們有這么多猜想與追問，把掌聲送給大家！

師：在研究數(shù)學(xué)的過程中，最重要的是我們要學(xué)會數(shù)學(xué)的思考。在研究過程中，對自己已有的結(jié)論產(chǎn)生新的猜想，這是非常可貴的。既然有了猜想與疑問就需要驗證，我給大家準(zhǔn)備了一個正三角形，還準(zhǔn)備了一個正五邊形。跟同桌一起想，有沒有直線能將它分成面積相等的兩部分，如果能，有多少條？把你找到的畫出來。

生■：正三角形找到了3條。找到中心點(diǎn)，隨便畫了經(jīng)過中心點(diǎn)的一條線，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不相等。

生■：經(jīng)過正五邊形的中心點(diǎn)，只有5條能將它分成面積相等的兩部分的直線。

生■：每個圖形不都是有無數(shù)條將它分成相等兩部分的直線。

生■：我發(fā)現(xiàn)了一規(guī)律，邊數(shù)是雙數(shù)的正多邊形，有無數(shù)條將它分成相等兩部分的直線，邊數(shù)是單數(shù)的沒有無數(shù)條。

生■：圓沒有角，也有無數(shù)條的。

師：大家都有了新發(fā)現(xiàn)，這個發(fā)現(xiàn)是不是成立，還需要驗證。

【賞析】學(xué)生經(jīng)歷了研究正方形、長方形、平行四邊形的過程，積累了確定中心點(diǎn)的經(jīng)驗。正八邊形、正二十邊形的出現(xiàn)，以及相關(guān)的操作、驗證，進(jìn)一步強(qiáng)化了“只要經(jīng)過這個圖形的中心點(diǎn)的直線就可以將這個圖形分為面積相等的兩部分”的結(jié)論。同時，這些素材的出現(xiàn)，也是促使學(xué)生產(chǎn)生新猜想的因子——“是不是所有的圖形都有無數(shù)條將它分成相等兩部分的直線”。此前，學(xué)生經(jīng)歷了猜想與驗證的過程，自然地想到要進(jìn)行驗證，很快地發(fā)現(xiàn)這個猜想的缺陷，繼而又完善猜想。整個過程，教師給學(xué)生的空間很大，問題由學(xué)生提，方法也由學(xué)生想。學(xué)生積累了經(jīng)驗，收獲了方法，課堂得以延伸。

【筆者感悟】

1.規(guī)律重要，但方法更重要。

數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生掌握知識、形成技能、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這固然重要，更重要的則是讓學(xué)生知道怎么研究這些規(guī)律。正如課的最后，莊老師引用畢達(dá)哥拉斯的話：“在數(shù)學(xué)的世界里，重要的不是我們已經(jīng)知道什么，重要的是我們是怎么知道什么的?！北竟?jié)課，莊老師站在讓兒童學(xué)會數(shù)學(xué)的思考的角度，把握整個教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷了觀察、嘗試、猜想、驗證，并得出結(jié)論的過程。最后，當(dāng)學(xué)生以為規(guī)律要塵埃落定時，又產(chǎn)生新的疑問：“所有的圖形都有無數(shù)條將它分成相等兩部分的直線嗎？”再次地反思、驗證，向?qū)W生展示了探索規(guī)律的方法與路徑——不斷地猜想、驗證、質(zhì)疑、完善。學(xué)生收獲的是思想方法，數(shù)學(xué)的活動經(jīng)驗在操作與交流反思中積累與沉淀。

2.教師要有課程意識。

數(shù)學(xué)不只有枯燥和呆板的一面，數(shù)學(xué)是生動與豐富的。兒童數(shù)學(xué)課是實踐活動課程，在活動中有數(shù)學(xué)思維的生長，數(shù)學(xué)思想的滲透、活動經(jīng)驗的積累需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀。數(shù)學(xué)的世界有大量的素材，因此，教師應(yīng)有課程開發(fā)意識，建立大數(shù)學(xué)教育觀。只有這樣，才能成為一個真正意義上的數(shù)學(xué)教師，是一位體現(xiàn)了數(shù)學(xué)、具有數(shù)學(xué)教育眼光并身體力行的人。在學(xué)生的世界里，數(shù)學(xué)教師就是數(shù)學(xué)。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)西亭小學(xué) 責(zé)任編輯：王彬）endprint