顧 杰，郭振興，呂 蒙

（邯鄲學(xué)院 太極文化學(xué)院，河北 邯鄲 056005）

太極文化研究

用人體平面剛體模型分析太極拳在水平作用力下的力學(xué)原理

顧 杰，郭振興，呂 蒙

（邯鄲學(xué)院 太極文化學(xué)院，河北 邯鄲 056005）

為實(shí)現(xiàn)太極拳的力學(xué)分析，率先提出和建立了人體平面剛體模型。剛體模型簡(jiǎn)括了人體構(gòu)架、質(zhì)量、速度、水平攻擊力、重力、地面反力、摩擦力等因素。應(yīng)用該模型對(duì)太極拳進(jìn)行水平作用力下的力學(xué)分析，得出了五個(gè)重要結(jié)論，即人體的重心要在支撐面內(nèi)以維持穩(wěn)定平衡；腳底打滑和失根是維持穩(wěn)定平衡的兩種臨界條件；在臨界條件內(nèi)人體平衡，超過(guò)任何一個(gè)臨界條件將導(dǎo)致人體失去平衡；水平攻擊力來(lái)自腳底的摩擦力、人的整體動(dòng)量和肢體相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量；內(nèi)勁造就動(dòng)量和傳遞力。還通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算，推導(dǎo)出太極拳套路訓(xùn)練和推手競(jìng)技中保持平衡的臨界條件和相應(yīng)計(jì)算公式，并用算例演示了太極拳“發(fā)勁如放箭”、“引進(jìn)落空”、“牽動(dòng)四兩撥千斤”等技術(shù)技巧的力學(xué)原理，為太極拳的運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)深入研究奠定了基礎(chǔ)。

太極拳；力學(xué)分析；人體平面剛體模型

太極拳屬于體育，是人的肢體運(yùn)動(dòng)和本體反應(yīng)；太極拳屬于武術(shù)，是人的心理活動(dòng)和對(duì)抗行為；太極拳蘊(yùn)含力學(xué)原理，是人體與人體、人體與大地的相互作用，具有作用力與反作用力等力學(xué)性質(zhì)。運(yùn)用現(xiàn)代力學(xué)理論分析太極拳的技術(shù)動(dòng)作，揭示太極拳“小力勝大力”、“牽動(dòng)四兩撥千斤”、“引進(jìn)落空”等奧妙，探索一條運(yùn)用現(xiàn)代科學(xué)理論和技術(shù)手段研究太極拳的途徑，對(duì)于促進(jìn)太極拳的科學(xué)化發(fā)展和國(guó)際化傳播具有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)意義。

一、建立人體剛體模型以分析太極拳的力

（一）太極拳攻擊力的來(lái)源

太極拳是武術(shù)的一個(gè)拳種，具有獨(dú)特的技擊功能和巧妙的攻擊能力。太極拳的攻擊力來(lái)源于三個(gè)方面：

一是源于腳與大地的接觸。太極拳理論大家武禹襄（1812—1880）的《太極拳論》［1］講：“……其根在腳，發(fā)于腿，主宰于腰，形于手指。由腳而腿而腰，總須完整一氣……”這不僅講明了力的傳遞過(guò)程：起自腳，發(fā)于腿，轉(zhuǎn)由腰，運(yùn)至手。而且強(qiáng)調(diào)，借助地面將下肢穩(wěn)住了，上肢才能實(shí)現(xiàn)攻防的意向；起于下肢的力要通過(guò)軀干傳達(dá)于上肢，上肢才能將力施加給對(duì)方。武禹襄之后有許多論文、專著討論“其根在腳”的重要性和實(shí)施方法［2］［3］［4］。太極拳中的長(zhǎng)勁就是典型運(yùn)用地面反作用力攻擊對(duì)方的發(fā)勁方法。［5］10-17

二是源于人體的整體動(dòng)量。動(dòng)量是一個(gè)力學(xué)概念，是指物體質(zhì)量和速度的乘積，在太極拳中用來(lái)描述太極拳的拳勁［6］54-69。太極拳講究“一動(dòng)無(wú)有不動(dòng)”，其攻擊和防守是在肢體不斷變化的運(yùn)動(dòng)中實(shí)現(xiàn)的，有速度、有質(zhì)量，采用力學(xué)的術(shù)語(yǔ)是具有“動(dòng)量”。正如太極拳宗師王宗岳（明代萬(wàn)歷年間生人）在《十三勢(shì)行功心解》［7］中講：“……所謂變動(dòng)虛實(shí)也，……運(yùn)勁如百煉鋼，……發(fā)勁如放箭，……蓄而后發(fā)，……”例如，“靠”是太極拳的近身戰(zhàn)術(shù)，是以胸、肩、背的動(dòng)量（速度乘以質(zhì)量）靠擊對(duì)方，威力很大。又如太極拳的“轉(zhuǎn)腰”動(dòng)作能夠形成人體的旋轉(zhuǎn)（角）動(dòng)量，該旋轉(zhuǎn)動(dòng)量產(chǎn)生很大的攻擊力。

三是源于相對(duì)運(yùn)動(dòng)形成的動(dòng)量。《十三勢(shì)行功心解》［7］中說(shuō)：“……曲中求直，蓄而后發(fā)。力由脊發(fā)，……”。楊式太極拳宗師楊澄甫（1883—1937）在《太極拳術(shù)十要》中說(shuō)“……能含胸則自能拔背，能拔背則能力由脊發(fā)，所向無(wú)敵也。”。人的腰脊質(zhì)量大，手臂質(zhì)量小，兩者相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，腰脊很小的速度可造成手臂很大的速度。太極拳令人驚嘆的短勁就是由腰脊發(fā)力通過(guò)臂手打擊對(duì)方［5］。

總之，力可以出自地面或者其他支撐面，攻擊者將地上的正向反作力和摩擦力傳遞給對(duì)方；力也可出自人體的整體動(dòng)量，人體的動(dòng)量和對(duì)方碰撞，給對(duì)方施加沖擊力；力還可以出自脊胸，大質(zhì)量脊胸和手的相對(duì)運(yùn)動(dòng)賦予手高速度，手的動(dòng)量和對(duì)方碰撞產(chǎn)生力。這三種力能夠聯(lián)合對(duì)外，是太極拳的威力所在。

（二）太極拳推手中的牛頓第三定律和人體剛體模型

太極拳的主要運(yùn)動(dòng)形式是套路和推手，套路是自身練功形式，也稱知己功夫；推手是雙人對(duì)抗訓(xùn)練形式（也作為兩人比試功力的競(jìng)技形式），也稱知彼功夫。推手訓(xùn)練的目的一是練習(xí)在技擊對(duì)抗中如何判斷對(duì)方的進(jìn)攻意圖（也稱聽(tīng)勁）；二是練習(xí)如何順勢(shì)借力向?qū)Ψ竭M(jìn)攻（也稱發(fā)勁），其實(shí)質(zhì)就是兩人在身體接觸的對(duì)抗中保持自身平衡，破壞對(duì)方平衡。

推手時(shí)雙方以手或前臂相接觸，你來(lái)我往相互施力。我方給對(duì)方施加一作用力，對(duì)方也給我方施加一個(gè)反作用力，見(jiàn)圖1。根據(jù)牛頓第三定律這兩力大小相等方向相反。并不因?yàn)槟撤焦Ψ蚋邚?qiáng)而能給另一方多一點(diǎn)力。

圖1作用力和反作用力

用力學(xué)的原理分析太極拳可以將充滿哲學(xué)理念的古老拳術(shù)與現(xiàn)代科學(xué)相結(jié)合，從而加深人們的理解和研究。因此，根據(jù)力學(xué)分析的一般要求和用于分析太極拳的需要，采用隔離體分析。如圖2所示，把人體簡(jiǎn)化為平面內(nèi)的一個(gè)剛體模型（簡(jiǎn)稱為剛體），各肢體簡(jiǎn)化成剛桿，剛桿的接點(diǎn)視為剛性，腳和地面的接觸處簡(jiǎn)化為點(diǎn)。人體的質(zhì)心是人體質(zhì)量的中心，與重心重合，質(zhì)量是指人體所含物質(zhì)的多少。人體的質(zhì)量是m，重力是W=mg 。隔離體分析就是把一個(gè)人體與外界的因素都化成力進(jìn)行人體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析。圖2是我方隔離體示意圖。其中：

m-人體質(zhì)量

W=mg -人體重力垂直向下，作用于重心

g=9.8（m/s2）-重力加速度

F-對(duì)方對(duì)我方施加的水平外力，和我方施于對(duì)方的攻擊力大小相等方向相反

圖2剛體模型的隔離體

Nq-地面對(duì)前腳的正向支撐力

Nh-地面對(duì)后腳的正向支撐力

fq-地面對(duì)前腳的切向摩擦力

fh-地面對(duì)后腳的切向摩擦力

Lq-重心到前腳的水平距離

Lh-重心到后腳的水平距離

Hz-重心到地面的高度

Hj-接手處到地面的高度

v0-人體質(zhì)心的水平初速度

vj-手的水平初速度（由于手和身體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生）

（三）太極拳人體剛體模型的力學(xué)條件

1. 摩擦力

一個(gè)物體放在水平地面上，有一個(gè)水平力Fs作用于其上，見(jiàn)圖3-圖5。地面對(duì)物體有一個(gè)與重力等值反向的正壓力N，地面對(duì)物體有一個(gè)摩擦力f。

圖3 水平力＜最大摩擦力

圖4 水平力=最大摩擦力

圖5 水平力＞最大摩擦力

摩擦力有個(gè)上限，稱為最大摩擦力fm。最大摩擦力與正向力成正比，

這里μ是摩擦系數(shù)。鑒于水平力和最大摩擦力的大小關(guān)系，有三種情況。如果水平力小于最大摩擦力，則摩擦力和水平力相等，物體不動(dòng)，見(jiàn)圖 3。如果水平力等于最大摩擦力，則摩擦力也等于最大摩擦力，物體處于要滑未滑的臨界狀態(tài)，見(jiàn)圖 4。如果水平力大于最大摩擦力，則摩擦力等于最大摩擦力，物體滑動(dòng)，見(jiàn)圖 5。數(shù)學(xué)表示為，

2. 人體的平衡

以人體的重心位置變化作為依據(jù)，人體有三類平衡：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡。

穩(wěn)定平衡：人體在外力作用下，偏離平衡位置后，當(dāng)外力撤除時(shí)，人體自然恢復(fù)平衡位置。如果物體偏離平衡位置的結(jié)果是物體重心升高，則該平衡是穩(wěn)定平衡。太極拳的多數(shù)步式屬穩(wěn)定平衡，如弓步、虛步。

不穩(wěn)定平衡：人體在外力的作用下，偏離平衡位置后，當(dāng)外力撤除時(shí)，人體不僅不能回到原來(lái)的平衡位置，而是更加偏離平衡位置。如果物體偏離平衡位置的結(jié)果是物體重心降低，則該平衡是不穩(wěn)定平衡。如果把腳與地的接觸面簡(jiǎn)化成一個(gè)點(diǎn)的話，太極拳中的單腿獨(dú)立式屬不穩(wěn)定平衡。

隨遇平衡：人體在外力的作用下，偏離平衡位置后，當(dāng)外力撤除時(shí)，人體既不回到原來(lái)的平衡位置，也不繼續(xù)偏離原位置，而是在新位置上保持平衡。隨遇平衡在太極拳運(yùn)動(dòng)中很少見(jiàn)。

人體平衡的一般條件是重心的垂線與地面的交點(diǎn)在支撐面內(nèi)，并且要有一定的穩(wěn)定角。地面為人體提供了向上的支撐力，兩腳或單腳與地面的接觸面是支撐點(diǎn)，身體向地面的投影構(gòu)成了支撐面，重力作用線同連接重心與支撐面邊緣相應(yīng)邊界的直線二者之間的夾角構(gòu)成了穩(wěn)定角，見(jiàn)圖6。隨時(shí)保持自我平衡是太極拳的重要目標(biāo)，不僅要做到平衡，而且要追求平衡的穩(wěn)定程度。因此，人們?cè)诹?xí)練太極拳時(shí)都非常注意把重心保持在支撐面內(nèi)和增大穩(wěn)定角，以有利于增強(qiáng)身體自我的平衡性和穩(wěn)定性。

重心越低，支撐面邊界越遠(yuǎn)，穩(wěn)定角越大。穩(wěn)定角越大，穩(wěn)定性越好；穩(wěn)定角越小，穩(wěn)定性越差；穩(wěn)定角為零，人體處于臨界狀態(tài)。

太極拳身形中，弓步、虛步的穩(wěn)定角都有較大量值，穩(wěn)定度都很好。相比而言，弓步前后腳的穩(wěn)定角都很大，而虛步后腳的穩(wěn)定角偏小，所以弓步比虛步的穩(wěn)定性要好。

單腿獨(dú)立一類的身形穩(wěn)定角都較小，因而穩(wěn)定度低，尤其在腳寬方向最差。如圖7的金雞獨(dú)立一式，重心高約100cm，穩(wěn)定角不到3度，因?yàn)槟_寬的一半一般不超過(guò)5cm。這樣的姿勢(shì)常被作為訓(xùn)練身體穩(wěn)定性的樁功，通過(guò)練習(xí)調(diào)節(jié)腳底壓力分布和肢體位置的能力，提高重心和壓力中心對(duì)齊的程度。

從運(yùn)動(dòng)學(xué)講，太極拳是一種人體平衡運(yùn)動(dòng)，是在鍛煉保持自身平衡同時(shí)破壞對(duì)方平衡的能力。套路訓(xùn)練是用于增強(qiáng)自我平衡能力，推手訓(xùn)練是用于增強(qiáng)破壞對(duì)方平衡能力，兩者都是訓(xùn)練人體在一定速度下重心在相應(yīng)支撐面內(nèi)移動(dòng)的能力。人體有速度時(shí)，重心在支撐面內(nèi)移動(dòng)是動(dòng)態(tài)平衡；人體速度為零時(shí)，重心在支撐面內(nèi)移動(dòng)是靜態(tài)平衡。太極拳套路訓(xùn)練要求在轉(zhuǎn)變動(dòng)作過(guò)程中和定式時(shí)都要平衡，其實(shí)質(zhì)就是要實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)平衡和靜態(tài)平衡。在推手中，我方要在發(fā)放中和發(fā)放完的所有時(shí)刻都是平衡狀態(tài)，而對(duì)方在被發(fā)放過(guò)程中，前期處于動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)，后期就處于不平衡狀態(tài)。對(duì)方因被發(fā)放而倒地或跳出都是身體失去平衡的結(jié)果。

圖6穩(wěn)定角

圖7獨(dú)立的穩(wěn)定角

在推手時(shí)，當(dāng)我方重心越出支撐面一點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，如果對(duì)方有一個(gè)頂?shù)膭?dòng)量或力作用于我方，我方仍會(huì)保持平衡，處于穩(wěn)定狀態(tài)；如果對(duì)方是個(gè)太極高手，不但不頂，卻順勢(shì)拉我方一下，那我方的重心會(huì)越出支撐面更遠(yuǎn)，再也無(wú)法找回平衡。因此，任何時(shí)候都要避免讓重心越出支撐面。

3. 動(dòng)量傳遞

動(dòng)量是質(zhì)量和速度的乘積，兩個(gè)動(dòng)量可以通過(guò)碰撞相互傳遞。這可以從對(duì)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)（是指只計(jì)質(zhì)量忽略不計(jì)大小、形狀的物體）彈性碰撞的分析中看出。碰撞前兩質(zhì)點(diǎn)有各自的速度，碰撞后他們的速度是什么？設(shè)：

m1-質(zhì)點(diǎn)1的質(zhì)量

m2-質(zhì)點(diǎn)2的質(zhì)量

v10-質(zhì)點(diǎn)1碰撞前的速度

v20-質(zhì)點(diǎn)2碰撞前的速度

v1-質(zhì)點(diǎn)1碰撞后的速度

v2-質(zhì)點(diǎn)2碰撞后的速度

按照動(dòng)量守恒原理，碰撞前后的總動(dòng)量不變，即：

彈性碰撞時(shí)動(dòng)能守恒，即：

由（3-4）解得：

由此可見(jiàn)碰撞使兩質(zhì)點(diǎn)的速度得到了改變。把（3）式改寫(xiě)為：

（6）式左端是質(zhì)點(diǎn)1動(dòng)量的改變，右端是質(zhì)點(diǎn)2動(dòng)量改變的負(fù)值，（6）也可解釋成質(zhì)點(diǎn)1將一部分動(dòng)量傳遞給了質(zhì)點(diǎn)2，而質(zhì)點(diǎn)2將等量反向的動(dòng)量傳遞給了質(zhì)點(diǎn)1。所以動(dòng)量可以通過(guò)碰撞傳遞，而且這傳遞是互相的。我們都熟悉兩個(gè)懸掛著的等質(zhì)量彈性小球相互撞擊的物理實(shí)驗(yàn)，這是一個(gè)典型的動(dòng)量傳遞實(shí)驗(yàn)。小球A以一定速度撞擊靜止的小球B，撞擊后，小球A停住，而小球B等速上擺。小球B擺回后撞擊已經(jīng)靜止的小球A，撞擊后，小球B停住，而小球A等速上擺。

動(dòng)能在碰撞時(shí)也有了傳遞，但動(dòng)能傳遞和動(dòng)量傳遞遵循不同的規(guī)律。動(dòng)量傳遞有方向有大小，是矢量運(yùn)算。動(dòng)能傳遞只有大小，是標(biāo)量運(yùn)算。動(dòng)量守恒（3）適用于彈性和非彈性碰撞。動(dòng)能守恒（4）只適用于彈性碰撞。在非彈性碰撞中一部分能量轉(zhuǎn)換為非動(dòng)能的形式，（4）的右端小于左端。由于上述兩個(gè)原因，動(dòng)量傳遞更適合于描述碰撞。

太極拳的推手在力學(xué)上可以認(rèn)為是碰撞。因而我方有一部分動(dòng)量傳給對(duì)方，而對(duì)方有一個(gè)大小相等方向相反的動(dòng)量傳給我方。

4. 動(dòng)量傳遞時(shí)的沖擊力

動(dòng)量是質(zhì)量和速度的乘積。質(zhì)量是個(gè)標(biāo)量；速度有大小有方向，是個(gè)矢量。標(biāo)量和矢量的乘積還是矢量。因動(dòng)量是質(zhì)量和速度的乘積，所以物體的動(dòng)量是：

物體與另一物體碰撞需要一定的時(shí)間，在此段時(shí)間內(nèi)的平均加速度為速度的變化除以碰撞時(shí)間：

按照牛頓第二定律力是質(zhì)量和加速度的乘積，因而物體受到的沖力為:

由上式可見(jiàn)沖擊力和速度差成正比，和質(zhì)量成正比，和碰撞時(shí)間成反比。平均沖量為：

我方質(zhì)心初速度為v0，見(jiàn)圖二。當(dāng)我方完成攻擊時(shí)仍然要平穩(wěn)，所需條件是重心沒(méi)越過(guò)前腳時(shí)速度為零。假設(shè)質(zhì)心作勻減速運(yùn)動(dòng)，由（7）式得：

其中ap是平均加速度。設(shè)在路程中速度減為為零。從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度講，物體在路程L0上作勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)有：

解（8-9）我們得到距離、初速度和平均加速度的下式關(guān)系：

在太極拳推手中，當(dāng)我方用手（或其他肢體）攻擊對(duì)方時(shí)，通常是由“曲蓄”而“直發(fā)”。這時(shí)在手和上體之間有一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，其原理與炮擊相類似都遵循了動(dòng)量守恒原理。炮擊時(shí)，炸藥爆炸產(chǎn)生的強(qiáng)大動(dòng)能使原來(lái)沒(méi)有速度的炮彈和炮身同時(shí)獲得動(dòng)量，炮彈獲得一個(gè)向前的動(dòng)量，炮身獲得一個(gè)等量反向的動(dòng)量。因炮彈的質(zhì)量遠(yuǎn)小于炮身的質(zhì)量，所以炮彈高速向前，炮身低速向后。同理，推手是人體肌肉放能，手因質(zhì)量小而快速向前，腳以上身體其余部分因質(zhì)量大而低速向后。

由此，假設(shè)手的初速度是vj，手運(yùn)動(dòng)的距離是Lj，手的平均加速度是aj，于是，類似于（10）得下式：

本文假設(shè)手的質(zhì)量是mj，手的相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的攻擊力為mjaj。這里手的質(zhì)量是個(gè)模糊概念。因?yàn)槭衷谙蚯斑\(yùn)動(dòng)時(shí)并沒(méi)有完全和上體隔離，其數(shù)值難以精準(zhǔn)確定。

二、人體動(dòng)力學(xué)分析

（一）人體平衡與運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)條件

按照人體的平衡和運(yùn)動(dòng)應(yīng)滿足動(dòng)力學(xué)定律和方程的要求，先對(duì)我方隔離體作力學(xué)分析。如圖2所示，將人體簡(jiǎn)化為一個(gè)平面剛體，將所有外在因素簡(jiǎn)化為外力。這樣：

在垂直方向，諸力平衡：

在水平方向，由牛頓第二定律得：

將牛頓第二定律運(yùn)用于轉(zhuǎn)動(dòng)，引申出轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體所受的對(duì)于某定軸的合力矩等于剛體對(duì)此定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的角加速度的乘積。圖2中重力線與地面的交點(diǎn)是O，取定軸為通過(guò)O點(diǎn)垂直于紙面的直線。水平力和力高Hj形成的力矩逆時(shí)針；前腳支撐力Nq和前腳距離Lq形成的力矩逆時(shí)針；后腳支撐力Nh和后腳距離Lh形成的力矩順時(shí)針。加速度ap向左，角加速度逆時(shí)針。人體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是將這些條件代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律，我們得到：

將（13）代入（14）并作一些組合，，得出：

其中mpa是使質(zhì)心減速需要的力，由于質(zhì)心和接手有一個(gè)高度差第1項(xiàng)可以看成是質(zhì)心減速力對(duì)高度差形成的力矩，簡(jiǎn)稱為質(zhì)心力矩；第2項(xiàng)是摩擦力對(duì)接手高度的力矩；第3、4項(xiàng)是正壓力對(duì)質(zhì)心的力矩。這些力矩共同作用達(dá)到人體動(dòng)力平衡。由此可見(jiàn)質(zhì)心力矩將對(duì)摩擦力和正壓力的分配產(chǎn)生影響。通常接手和質(zhì)心的高度差不是很大，所以對(duì)諸力的影響也不是很大，當(dāng)接手和質(zhì)心高度相等時(shí)該力矩消失。由公式（14）中質(zhì)心力矩和前腳力矩同號(hào)，可以推斷出質(zhì)心力矩的存在能夠減小前腳的壓力。但這將使前腳失根臨界條件提前發(fā)生，下面的算例也證實(shí)了這一點(diǎn)。為了減小這個(gè)負(fù)面影響，太極拳要求無(wú)論是習(xí)練還是實(shí)戰(zhàn)都要做到沉肩垂肘，不要讓接手處和重心有太大的高差。

上式中使手減速的力mjaj并不出現(xiàn)，因而該力對(duì)正壓力和摩擦力的分配沒(méi)有影響。下面的算例也證實(shí)這一點(diǎn)。

解方程組（12-14）得：

由（16）式第一式可知，我方給對(duì)方的攻擊力由三部分組成：摩擦力、整體的沖撞力和后助沖撞力。

整體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量和對(duì)方碰撞能夠形成對(duì)對(duì)方的沖擊力，并將一部分動(dòng)量傳給對(duì)方。質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)靠腳底的摩擦力來(lái)加速，通過(guò)加速積累成速度，而使整體具有動(dòng)量。因而整體的沖撞力仍然來(lái)自于腳底，符合《太極拳論》中“……其根在腳，發(fā)于腿……”的論述。但是動(dòng)量積累后有其獨(dú)立性。設(shè)想突然將摩擦力撤走，該動(dòng)量仍然會(huì)和對(duì)方碰撞而產(chǎn)生沖擊力。這里要說(shuō)明的是沖擊力和直接傳遞來(lái)的力的瞬間效果是不同的。

手的動(dòng)量和對(duì)方碰撞也形成對(duì)對(duì)方的沖擊力，也將一部分動(dòng)量傳給對(duì)方。手的動(dòng)量是靠上體的后助形成的，符合“……曲中求直，蓄而后發(fā)。力由脊發(fā)，……”的論述。我方可以力由脊發(fā)、力由腰發(fā)、力由胯發(fā)，等等。和對(duì)方接觸的可以是手、臂、肘、肩、胸、背等等。這種碰撞力發(fā)自于肢體間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，和地面對(duì)腳的摩擦力沒(méi)有直接的關(guān)系。為產(chǎn)生這種沖擊力需要把全身練成一個(gè)彈性體，全身各部位都應(yīng)有收縮和反彈的功能。用拳論的語(yǔ)言是全身各部位都應(yīng)有蓄發(fā)功能。

上述分析表明了太極拳運(yùn)動(dòng)中三種力的力學(xué)成因。一是起于腳底的力需要通過(guò)身體各部位的接力，傳遞到攻擊肢體，所有中間部位都要能夠保持相對(duì)固定的形狀，不能垮下。這是一種整勁是全身的功夫，練樁功對(duì)此很有幫助。二是整體沖撞力的釀成要靠全身運(yùn)動(dòng)來(lái)造就質(zhì)心的速度。三是后助沖撞力的生成需要全身各部位的相對(duì)運(yùn)動(dòng)來(lái)造成攻擊肢體的速度。這三種力都來(lái)自全身功夫，這是太極拳全身運(yùn)動(dòng)的力學(xué)證明。

在太極拳運(yùn)動(dòng)的力學(xué)分析中，《太極拳發(fā)勁的動(dòng)量轉(zhuǎn)遞解析》一文［6］54-69將勁定義為動(dòng)量， 并將勁法定義為：人體動(dòng)量的有效合成與使用。本文將內(nèi)勁定義為：人體動(dòng)量的合成與力的傳遞功能。將發(fā)勁定義為：改變?nèi)梭w的動(dòng)量。文中還研究指出，動(dòng)量是通過(guò)內(nèi)力加速肢體來(lái)實(shí)現(xiàn)的。［6］54-69見(jiàn)圖8，想象把腿分成很多段，在假象斷面處有內(nèi)力作用。這里稱其為內(nèi)力是因?yàn)槲覀儼讶梭w作為研究的體系，而內(nèi)力是體系內(nèi)部的力。外部對(duì)體系的作用就稱為外力。如圖8所示，摩擦力是外力；內(nèi)力1、內(nèi)力2和內(nèi)力3是內(nèi)力。作用于腳上端的內(nèi)力1和作用于小腿下端的內(nèi)力大小相等方向相反。這樣如果我們研究腳和小腿的組合物時(shí)，內(nèi)力1就不用表述出來(lái)。

圖8 肢體隔離體

人通過(guò)食物和呼吸獲取營(yíng)養(yǎng)，合成為化學(xué)能量，進(jìn)而轉(zhuǎn)換成肌肉的機(jī)械能。太極拳運(yùn)動(dòng)中的發(fā)勁主要是指通過(guò)肌肉發(fā)放機(jī)械能，也稱放能。放能產(chǎn)生內(nèi)力，圖8中內(nèi)力1和內(nèi)力2使小腿加速，因而形成動(dòng)量。如果內(nèi)力1大于內(nèi)力 2，小腿將獲得前傾的加速度。所以內(nèi)力是媒介，而力的傳遞是通過(guò)內(nèi)力的接續(xù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。在特殊情況下，人體靜止，小腿沒(méi)有運(yùn)動(dòng)，這時(shí)內(nèi)力1和內(nèi)力2大小相等方向相反。也可以說(shuō)內(nèi)力1傳遞到內(nèi)力2，而內(nèi)力2將繼續(xù)向前傳?？梢?jiàn)，力的傳遞在人體靜止時(shí)仍然存在，當(dāng)然，人體加速時(shí)力的傳遞也存在。小腿下端的內(nèi)力1的一部分傳遞到小腿上端變成了膝部下端的內(nèi)力2，另一部分用來(lái)加速。

發(fā)勁與有勁不同，發(fā)勁是指要改變?nèi)说倪\(yùn)動(dòng)狀態(tài)，也即改變?nèi)梭w的動(dòng)量（本文已經(jīng)把勁定義為動(dòng)量），要通過(guò)一定的方法。例如，太極拳講究的中掤、捋、擠、按、採(cǎi)、挒、肘、靠等八種勁法，就是發(fā)勁的具體方法。而有勁是指人有一定抗拒外力或推拉重物的力量，不一定和動(dòng)量積累有關(guān)。例如有的人被推拉時(shí)不為所動(dòng)，能夠與對(duì)方處于對(duì)抗?fàn)顟B(tài)，這是一種有勁的表現(xiàn)。因?yàn)殡p方基本是一種靜止?fàn)顟B(tài)，沒(méi)有位移和速度變化，也不像太極推手那樣用化解的技法抵抗住對(duì)方的攻擊。要能抗住對(duì)方的推力需要有兩個(gè)條件：其一是人體要能夠保持形狀，力學(xué)上把人體簡(jiǎn)化成剛體；其二是人體的隔離體分析要符合力學(xué)平衡條件。

（二）腳底打滑的臨界條件

腳底打滑是習(xí)練太極拳的大忌，不但影響自身技術(shù)水平發(fā)揮，而且極易成為對(duì)方攻擊的機(jī)會(huì)。防止腳底打滑，即做到腳底不打滑的必要條件是水平外力不能大于摩擦力的最大值，見(jiàn)（2）式。這個(gè)條件也可表述為：水平力和正壓力的合力線要在摩擦角內(nèi)。摩擦角θ的定義是：摩擦角的正切是最大摩擦力和正壓力之比，該正切等于摩擦系數(shù)。以前腳為例，見(jiàn)圖9—圖11：

圖9 力線角＜摩擦角

圖10 力線角=摩擦角

圖11力線角＞摩擦角

式中 fqm是最大摩擦力。

力線角φ的定義：力線角的正切是水平力和正壓力比，即：

因此，打滑的臨界條件是：

圖9和圖3對(duì)應(yīng)，符合條件φ＜θ，不打滑。圖10和圖4對(duì)應(yīng)，符合條件φ=θ，臨界。圖11和圖5對(duì)應(yīng)，符合條件φ＞θ，打滑。

摩擦角和腿的方向沒(méi)有直接關(guān)系。腿（其他肢體也一樣）能承受縱向力和切向力，所以能傳遞和腿縱向不同的力。

上面的討論對(duì)后腳也成立。而且前后腳的力線角是一樣的。即：

如果一只腳的支撐力為零，則重力完全由另一只腳承擔(dān)。如果一只腳的摩擦力為零，摩擦力也完全由另一只腳承擔(dān)。這樣，將（20）式代入（12）式（力線角的和摩擦角都用正切定義），得：

由方程（21）可知，兩腳的摩擦力之和必需小于重力和摩擦系數(shù)的乘積時(shí)腳才能不動(dòng)。由此我們得出腳底不打滑條件：水平外力不能大于總摩擦力的最大值。

（21）還說(shuō)明總摩擦力和重力成正比。重力越大，摩擦力也越大，可提供更多水平攻擊力。重力還將力線角變小，進(jìn)一步減小打滑的機(jī)會(huì)。所以大個(gè)子在推手中占優(yōu)勢(shì)。

上述公式討論的是靜摩擦狀態(tài)下的腳底打滑臨界條件。一旦超過(guò)這個(gè)臨界條件，腳就會(huì)相對(duì)于地面打滑。一旦打滑，就進(jìn)入了滑動(dòng)摩擦狀態(tài)。一般情況下，滑動(dòng)摩擦系數(shù)小于靜摩擦系數(shù)，即進(jìn)入滑動(dòng)狀態(tài)時(shí)會(huì)突然失去一部分摩擦力而加速打滑狀態(tài)。所以打滑的可逆性差，打滑可能最終導(dǎo)致失穩(wěn)。

將（21）（10）（11）式代入 （13）式，得：

需要注意的是，摩擦角和平衡角是完全不同的概念。摩擦角闡述了摩擦力的性質(zhì)及其在傳力中的地位，平衡角定義了重心和支撐面的關(guān)系。

令（23）第2式中力線角等于摩擦角，可以得到打滑的臨界條件：

（三）失根的臨界條件

失根是太極拳的一個(gè)用語(yǔ)，始于腳底騰空，這時(shí)腳底正壓力為零，是人體失穩(wěn)的先兆。在太極拳推手中，往往是誰(shuí)先失根誰(shuí)就失敗。為了有效控制失根，太極拳在訓(xùn)練和競(jìng)技中采取了許多方法和措施，從力學(xué)的角度講，就是要保證任何一只腳的支撐力不能是負(fù)值。

（23）是用于推導(dǎo)人體平衡和運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)條件及其相互關(guān)系，設(shè)水平外力為零、人體速度為零，則（23）式變?yōu)椋?/p>

（25）式中，因?yàn)闆](méi)有水平外力，摩擦力也不復(fù)存在。（1）式是最大摩擦力的計(jì)算公式。腳底摩擦力隨著承重量大小變化，并于水平外力密切相關(guān)，但不超過(guò)（1）的量值。比較（23）第5式和（25）第5式可以看出水平外力將減小前腳的承重量；比較（23）第6式和（25）第6式可以看出水平外力將增加后腳的承重量；由（25）第5和第6式可見(jiàn)，沒(méi)有水平力時(shí)，兩腳的承重量和兩腳到重心的水平距離成反比。如果水平外力從零開(kāi)始增加，則前腳的承重量逐漸減小，后腳的承重量逐漸增加，兩腳底都有了摩擦力。當(dāng)前腳的承重量減小為零時(shí)，前腳支撐力Nq也為零，前腳也就不再得到地面的支撐，處于失根的臨界狀態(tài)。如果此時(shí)將前腳提起，把精力集中在后腳上，就會(huì)致使前腳失根。令（23）第5式右端為零，我們得到失根的臨界條件：

如果水平外力是拉力的話，后腳的支撐力會(huì)隨外力增加而減小，當(dāng)后腳支撐力為零后會(huì)導(dǎo)致人體失穩(wěn)。為保證人體的基本穩(wěn)定，在（23）式第5和第6式中設(shè)了限制條件，也得出了保證腳底有根的條件：任何一只腳的支撐力不能是負(fù)值。

太極拳對(duì)腳與地面的接觸非常講究，尤其要求腳落地要生根。從力學(xué)上講，腳和地面之間的相互作用力就是根，有作用力就有根，作用力大根就牢，作用小根就差，作用力為零時(shí)根就消失了。

（26）式表明推手時(shí)雙方接手部位越高，重心離后腳越近，前腳就越容易脫地，以至形成失根臨界狀態(tài)。這種臨界狀態(tài)并不代表人體已經(jīng)失穩(wěn)，因?yàn)檫@時(shí)還有水平外力（對(duì)方在接手處的力）的存在，所以人體仍然處于平衡狀態(tài)。但是，這種臨界狀態(tài)極易給對(duì)方造成進(jìn)攻機(jī)會(huì)，易被對(duì)方引進(jìn)落空。一是對(duì)方突然撤力，水平外力為零，假如我方毫無(wú)思想準(zhǔn)備，前腳極易在慣性作用下驟然落地，處理不當(dāng)會(huì)屈曲前腿而失穩(wěn)。二是對(duì)方施加一個(gè)反向水平力，那我方的平衡將處于危機(jī)狀態(tài)。

因此，太極拳要求前腳在支撐力為零的情況下，一般不要離地，以有效遏制對(duì)方的引進(jìn)落空戰(zhàn)術(shù)。如果對(duì)方突然撤力，我方因前腳從來(lái)沒(méi)離開(kāi)地面而可隨即獲回支撐力。如果對(duì)方施加反向水平力，我方也因此可以隨即獲回支撐力而應(yīng)對(duì)自如。

當(dāng)水平外力超（26）式的臨界值，該水平外力對(duì)后腳的力矩大于重力對(duì)后腳的力矩，人的上體將首先被合力矩向后掀，人的重心也隨之被向后推，如果重心被推到后腳的后面，整個(gè)身體將失穩(wěn)，甚至倒地，見(jiàn)圖 12。采取身體前移、降低重心、增大支撐面和穩(wěn)定角等措施可以防止或緩解這種狀態(tài)的出現(xiàn)。推手出現(xiàn)頂牛狀態(tài)時(shí)，雙方做出的彎腰、下蹲、兩腳前后拉開(kāi)、伸遠(yuǎn)后腳的動(dòng)作就是這些措施的具體運(yùn)用。

一般情況下，這些應(yīng)對(duì)措施僅在雙方體重相差不大時(shí)才有效。因?yàn)橐环浇o另一方的水平力均來(lái)自對(duì)方的摩擦力，而這個(gè)摩擦力又是在相同摩擦系數(shù)下和重量成正比。

圖12 最終失穩(wěn)

三、弓步的水平攻擊力計(jì)算與分析

（一）只有傳遞力的特例

弓步是太極拳中最常見(jiàn)和最常用的步形，弓步的水平攻擊力直接影響太極拳推手的質(zhì)量。我們先用前文推導(dǎo)出的打滑臨界條件公式和失根臨界條件公式，計(jì)算弓步在軀干和手都沒(méi)有速度情況下的傳遞力和攻擊力的性能。

將（30）假設(shè)的弓步數(shù)據(jù)分別代入公式（27）、（28）、（29）計(jì)算出弓步時(shí)各力及力線角隨水平外力的變化（表一、圖13）。

表1 弓步時(shí)各力及力線角隨水平外力的變化

圖13 各力隨水平外力的變化曲線

表1分析：由第1欄和第2欄可見(jiàn)前腳正壓力隨水平外力增加而減小，用（29）式計(jì)算可知，當(dāng)水平外力為374.2時(shí)正壓力變成零，這是失根的臨界點(diǎn)。由第一欄和第6欄可見(jiàn)力線角隨水平外力增加而增加，用（28）式計(jì)算可知，當(dāng)水平外力為294時(shí)力線角等于摩擦角，這是打滑的臨界點(diǎn)。由上述可知，弓步在只有傳遞力的情況下腳底打滑先于失根，所以該弓步將以打滑而失效。

圖13是各力隨水平外力的變化的曲線。水平軸是水平外力，單位是牛頓（N）；豎直軸是各力的數(shù)值，單位也是牛頓（N）。

圖13分析：當(dāng)力線角增至摩擦角后（tanφ≥μ），水平力將大于摩擦力。摩擦力等于正壓力和摩擦系數(shù)的乘積。（27）變?yōu)椋?/p>

（31）式第1式是說(shuō)，水平外力大于摩擦力的部分將使人體加速而滑動(dòng)，加速使人體最終滑出賽場(chǎng)。用（31）式計(jì)算表一中自F=300N 以下各行（至下一個(gè)臨界條件）。當(dāng)前腳正壓力遞減至零時(shí)，后腳正壓力遞增至588牛頓。之后，當(dāng)水平力大于（29）式右端后，兩腳正壓力不變，后腳承擔(dān)全部摩擦力的最大值，（31）式就變?yōu)椋?/p>

（32）式第1式是說(shuō)，水平外力和其高度的力矩大于重力和后腳距離的力矩，力矩的差值將使人體加速，直至被掀翻。

用（32）式計(jì)算表一中自F=400N 以下各行?？梢?jiàn)，前腳摩擦力增至峰值后遞減，當(dāng)該腳正壓力為零后摩擦力也為零，此時(shí)后腳摩擦力增至294N后保值不變。294N就是全部由重力產(chǎn)生的摩擦力，等于重力和摩擦系數(shù)的乘積。

（二）人體動(dòng)量的撞擊力對(duì)弓步攻擊力的影響

太極拳是“一動(dòng)俱動(dòng)、一到全到”的全身運(yùn)動(dòng)，正如太極拳論所說(shuō)“其根在腳，發(fā)于腿，主宰于腰，形于手指，由腳而腿而腰，總須完整一氣”。人體的剛體模型給出了這種運(yùn)動(dòng)的力學(xué)基礎(chǔ)。太極拳“一動(dòng)俱動(dòng)、一到全到”的技術(shù)要求是對(duì)人體動(dòng)量的合理使用，就是要求人體各部位能夠做到協(xié)調(diào)聯(lián)動(dòng)和同時(shí)到位。

人體的整體動(dòng)量通常稱為人體動(dòng)量，主要是指平動(dòng)動(dòng)量和角動(dòng)量（旋轉(zhuǎn)動(dòng)量）的綜合效應(yīng)。在太極拳中腰主轉(zhuǎn)動(dòng)，造成整體的角動(dòng)量；腿推動(dòng)上體，造成整體的平動(dòng)動(dòng)量。這兩者構(gòu)成人體的整體動(dòng)量，能夠產(chǎn)生很大的沖擊力。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文把人體動(dòng)量表示為人體質(zhì)量和質(zhì)心速度的乘積。太極拳“一動(dòng)俱動(dòng)、一到全到”的技術(shù)要求，就是要求人體各部位能夠做到協(xié)調(diào)聯(lián)動(dòng)和同時(shí)到位。這是對(duì)人體動(dòng)量的合理使用。

設(shè)質(zhì)心有一初速度v0，手沒(méi)有速度，將代入（23）（24）（26）得：

（36）假設(shè)的弓步數(shù)據(jù)加入了質(zhì)心的參數(shù)，將其分別代入公式（33）、（34）、（35）得出弓步時(shí)人體動(dòng)量撞擊力對(duì)攻擊力的影響（表二、圖14）。

表2 弓步時(shí)人體動(dòng)量撞擊力對(duì)攻擊力的影響

表2分析：由第1欄和第2欄可見(jiàn)前腳正壓力隨水平外力增加而減小，用（35）式計(jì)算，水平外力是為578.7時(shí)正壓力變成零，這是失根的臨界點(diǎn)。由第1欄和第6欄可見(jiàn)力線角隨水平外力增加而增加，用（34）式計(jì)算，當(dāng)水平外力為544時(shí)力線角等于摩擦角，這是打滑的臨界點(diǎn)。由上述可知，帶有撞擊力的弓步在人體動(dòng)量作用下，相比較只有傳遞力的弓步，雖然提高了250牛頓的攻擊力，也縮小了打滑與失根時(shí)水平外力的差，但仍然是打滑先于失根，所以該弓步將以打滑而失效。

圖14是引入質(zhì)心沖擊力后各力隨水平外力的變化的曲線。水平軸是水平外力， 單位是牛頓（N）。豎直軸是各力的數(shù)值，單位也是牛頓（N）。

圖14 引入質(zhì)心沖擊力后各力隨水平外力的變化曲線

圖14分析：將圖14與圖13比較，圖14的曲線大致地向右拓展了250牛頓。這250牛頓就是引入質(zhì)心沖擊力的結(jié)果。也就是說(shuō)，運(yùn)用全身的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)使弓步的總攻擊力增加了250牛頓。值得注意的是，由于引入了質(zhì)心沖擊力，就有了質(zhì)心力矩的存在，這就致使前腳相比只有傳遞力時(shí)提前失根（表一失根臨界點(diǎn)是374.2牛頓，表二失根臨界點(diǎn)是578.7，如果減去質(zhì)心沖擊力250牛頓，僅為328.2牛頓）。

當(dāng)力線角增至摩擦角后，摩擦力等于正壓力和摩擦系數(shù)的乘積，（33）式就變?yōu)椋?/p>

用（37）式計(jì)算表二中自F=550N以下各行（至下一個(gè)臨界條件）?？芍?dāng)水平外力等于（34）式右端時(shí)前腳正壓力遞減至零，后腳正壓力遞增至588牛頓。588牛頓正好是重力的全部。其后，當(dāng)水平外力大于（34）式右端時(shí)，（37）式就變?yōu)椋?/p>

用（38）式計(jì)算表二中自F=600N以下各行。可知，前腳摩擦力增至峰值后遞減，當(dāng)該腳正壓力為零后摩擦力也為零，此時(shí)后腳摩擦力增至294N后保值不變 。294N就是全部由重力產(chǎn)生的摩擦力，等于重力和摩擦系數(shù)的乘積。

（三）爆發(fā)力對(duì)弓步攻擊力的影響

前面討論了人體整體運(yùn)動(dòng)對(duì)攻擊力的影響，這里將討論肢體末梢的運(yùn)動(dòng)對(duì)攻擊力的影響。（23）式中第一式第4項(xiàng)是手的綜合動(dòng)量造成的沖擊力。我們知道，肌肉放能可以使手和軀體間產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，軀體和手同時(shí)獲得等量反向的動(dòng)量增量。因?yàn)檐|體質(zhì)量大手質(zhì)量小，所以軀體的速度低，手的速度高。高速運(yùn)動(dòng)的手會(huì)給對(duì)方造成很大的沖擊力，太極拳界稱此為短勁［5］或“鞭梢勁兒”。在拳論中稱此為“……行于手指……”，本文稱為爆發(fā)力或肢體相對(duì)動(dòng)量。為簡(jiǎn)化計(jì)算，本文把肢體相對(duì)動(dòng)量表示為手的質(zhì)量和速度的乘積。

設(shè)手有一個(gè)初速度，符合公式（23）（24）（26）成立的條件。（39）假設(shè)的弓步數(shù)據(jù)中加入了手的參數(shù)，將其分別代入（23）（24）（26）三個(gè)公式，計(jì)算出弓步時(shí)肢體相對(duì)動(dòng)量對(duì)攻擊力的影響（表三、圖15）。

表3 弓步時(shí)肢體相對(duì)動(dòng)量對(duì)攻擊力的影響

表3分析：由第1欄和第2欄可見(jiàn)前腳正壓力隨水平外力增加而減小，采用（26）式計(jì)算，當(dāng)水平外力是778.7時(shí)正壓力變成零，這是失根的臨界點(diǎn)。由第1欄和第6欄可見(jiàn)力線角隨水平外力增加而增加。采用（24）式計(jì)算，當(dāng)水平外力是744時(shí)力線角等于摩擦角，這是打滑的臨界點(diǎn)。由上述可知，帶有爆發(fā)力的弓步在肢體相對(duì)動(dòng)量作用下，相比較只有傳遞力的弓步，雖然提高了450牛頓的攻擊力，也縮小了打滑與失根時(shí)水平外力的差，但仍然是打滑先于失根，所以該弓步將以打滑而失效。

圖15是引入爆發(fā)沖擊力后各力隨水平外力的變化曲線。水平軸是水平外力， 單位是牛頓（N）。豎直軸是各力的數(shù)值，單位也是牛頓（N）。

圖15 引入爆發(fā)沖擊力后各力隨水平外力的變化曲線

圖15分析：將圖14與圖15比較，圖15的曲線完全向右拓展了200牛頓。這200牛頓就是爆發(fā)沖擊力。也就是說(shuō)，運(yùn)用爆發(fā)發(fā)勁使弓步的總攻擊力增加了200牛頓。爆發(fā)沖擊力對(duì)正壓力及摩擦力的關(guān)系沒(méi)有影響.

當(dāng)力線角增至摩擦角后，水平外力大于（26）式右端，摩擦力等于正壓力和摩擦系數(shù)的乘積。（23）變?yōu)椋?/p>

用（40）式計(jì)算表三中自F=750N 以下各行（至下一個(gè)臨界條件）?？芍?，當(dāng)水平力等于（24）式右端時(shí)，前腳正壓力遞減至零，后腳正壓力遞增至588牛頓。588牛頓正好是重力的全部。其后，當(dāng)水平力大于（24）式右端時(shí)，（40）式就變?yōu)椋?/p>

用（41）式計(jì)算表三中自F=800N 以下各行?？芍?，前腳摩擦力增至峰值后遞減，當(dāng)該腳正壓力為零后摩擦力也為零。當(dāng)前腳摩擦力為零后，后腳摩擦力增至294N并保持不變。294N就是全部由重力產(chǎn)生的摩擦力，等于重力和摩擦系數(shù)的乘積。

四、坐步的水平攻擊力計(jì)算與分析

圖16是坐步的人體剛體模型，與弓步的人體剛體模型相比，弓步的重心靠近前腳，坐步的重心靠近后腳。

圖16 坐步人體剛體模型

依照弓步的水平攻擊力計(jì)算及分析的思路，也是先分析坐步的水平攻擊力只有傳遞力的情況，仍采用公式（27）（28）（29）計(jì)算，將（42）中假設(shè)數(shù)據(jù)分別代入其中，計(jì)算出坐步時(shí)各力及力線角隨水平外力的變化（表四、圖17）、以及打滑的臨界條件和失根的臨界條件。

表4 坐步時(shí)各力及力線角隨水平外力的變化

表4分析：坐步時(shí)失根先于打滑。

圖17是各力隨水平外力的變化曲線。水平軸是水平外力， 單位是牛頓（N）。豎直軸是各力的數(shù)值，單位也是牛頓（N）。

圖17 各力隨水平外力的變化曲線

圖17分析：當(dāng)水平力等于（29）式右端時(shí)，前腳正壓力遞減至零，后腳正壓力遞增至588牛頓。其后，水平力大于（29）式右端時(shí)，（27）式就變?yōu)椋?/p>

用（43）式計(jì)算表四中自F=200N 以下各行（至下一個(gè)臨界條件）。當(dāng)力線角增至摩擦角后，摩擦力等于正壓力和摩擦系數(shù)的乘積，（43）式就變?yōu)椋?/p>

用（44）式計(jì)算表一中自F=300N以下各行。前腳摩擦力增至峰值后遞減，當(dāng)該腳正壓力為零后摩擦力也為零。當(dāng)前腳摩擦力為零后，后腳摩擦力增至294N并保持不變。294N就是全部由重力產(chǎn)生的摩擦力，等于重力和摩擦系數(shù)的乘積。

坐步和弓步相比有兩點(diǎn)不同：一是弓步臨界于打滑，坐步臨界于失根；二是坐步的臨界力遠(yuǎn)小于弓步的臨界力。所以，向前攻擊的功能，弓步強(qiáng)于坐步。

五、“發(fā)勁如放箭”和“引進(jìn)落空”技術(shù)的分析

“發(fā)勁如放箭”和“引進(jìn)落空”是太極拳的技術(shù)要求?！鞍l(fā)勁”即是向前攻擊的力，歸于發(fā)放；“引進(jìn)”即是向后拉的力，歸于收引。

力是矢量，向前攻擊的力表示為正值，向后拉的力表示為負(fù)值。前文代入正值計(jì)算了向前攻擊的能力，現(xiàn)在代入負(fù)值計(jì)算向后拉的能力。

為計(jì)算坐步的拉力，將（42）所設(shè)數(shù)據(jù)中最下一行改設(shè)為：

將數(shù)據(jù)（45）和（42）中前七項(xiàng)分別代入公式（27）（28）（29），可得出各力隨水平外力的變化表格和曲線（此處從略），以及失根的臨界值F=-374.2N 和打滑的臨界值F=-294N。由計(jì)算數(shù)值可見(jiàn)：打滑先于失根。

為計(jì)算弓步的拉力，將（30）所設(shè)數(shù)據(jù)中最下一行改設(shè)為：

將數(shù)據(jù)（46）和（30）中前七項(xiàng)分別代入公式（27）（28）（29），可得出各力隨水平外力的變化表格和曲線（此處從略），以及失根的臨界值F=-160.4N 和打滑的臨界值F=-294N 。

由計(jì)算數(shù)值可見(jiàn)：失根先于打滑。

表5列出弓步和坐步的臨界性質(zhì)，表中第2、3欄列出了弓步和坐步的發(fā)放性質(zhì)；第4、5欄列出了弓步和坐步的收引性質(zhì)；第2行是先發(fā)生臨界條件的類別；第3行是臨界數(shù)值。

表5 弓步和坐步的臨界性質(zhì)

表5分析：

第2欄顯示，弓步推發(fā)出294牛頓力，然后兩腳打滑，從此不可能提供更大的推力。第3欄顯示，坐步推發(fā)出160.4牛頓的力，然后前腳失根，從此不可能提供更大的推力。第2、3欄比較，弓步比坐步更適合用于發(fā)勁。

第4欄顯示，坐步收拉出294牛頓力。然后兩腳打滑，從此不可能提供更大的拉力。第5欄顯示，弓步收拉出160.4牛頓力，然后后腳失根，從此不可能提供更大的拉力。第 4、5欄比較，坐步比弓步更適合用于收勁。

人是由肌肉和骨骼組成的柔體，發(fā)力時(shí)無(wú)論是向外推還是向內(nèi)拉，都是通過(guò)變換體型來(lái)實(shí)現(xiàn)的。人體的剛體模型只是提供了某個(gè)瞬時(shí)的體型力學(xué)分析。發(fā)勁宜由坐步始而弓步終，坐步提供前弓的準(zhǔn)備，弓步提供發(fā)勁的力學(xué)優(yōu)勢(shì)。類似的，收勁宜由弓步始而坐步終，弓步提供后坐的準(zhǔn)備，坐步提供收勁的力學(xué)優(yōu)勢(shì)。采用弓步向前發(fā)勁可直攻對(duì)方重心，楊式太極拳的主要著式“攬雀尾”中的“擠”是典型的前攻型技術(shù)。

采用坐步向后收引或拉動(dòng)時(shí)需要因時(shí)而宜靈活運(yùn)用。如果是有意識(shí)化解對(duì)方攻勢(shì)或以退為進(jìn)誘使對(duì)方失重，都可保持我方不失根；如果對(duì)方攻勢(shì)很強(qiáng)，或者我方要順勢(shì)發(fā)放，最好引入橫向作用力，以使對(duì)方的攻擊力偏離我方重心。楊式太極拳 “攬雀尾”一式中“按”的前半部就是典型的向后下?tīng)恳囊M(jìn)落空技術(shù)，“捋”就是典型的向橫向、向后下拉拽的引進(jìn)落空技術(shù)。

圖18 寬弓步側(cè)向剛體模型

六、“牽動(dòng)四兩撥千斤”的分析

太極拳講求“牽動(dòng)四兩撥千斤”，這是以巧取勝、以小力勝大力的策略和技術(shù)，其中涉及人體側(cè)向和縱向的穩(wěn)定性。

（一）“牽動(dòng)四兩撥千斤”的橫向效應(yīng)

圖 18是寬弓步側(cè)向剛體模型，借此分析寬弓步側(cè)向的抵抗力，也即“牽動(dòng)四兩撥千斤”的橫向效應(yīng)。寬弓步側(cè)向兩腳之間的距離一般是一肩寬，大約35厘米，通常一腳外撇45度，大約增加了5厘米兩腳間的距離，增強(qiáng)了側(cè)向穩(wěn)定度。這樣，兩腳之間的平行距離，也即弓步的寬度為 40厘米。按三七分，前腳（直腳）到重心橫向距離約12厘米，后腳（弓腳）到重心橫向距離約28厘米。

計(jì)算及分析：將（47）中假設(shè)數(shù)據(jù)代入其中公式（27），計(jì)算出弓步側(cè)向各力及力線角隨水平外力的變化（表6）。

表6 寬弓步側(cè)向各力及力線角隨水平外力的變化

由表 6可見(jiàn)失根先于打滑，所只需計(jì)算失根值。將（47）式代入公式（29），計(jì)算出寬弓步前腳側(cè)向失根臨界值為，

弓步正向的打滑臨界值為294牛頓。這表明寬弓步的側(cè)向抗力功能比正向功能要差很多。注意這里是直腳失根，因?yàn)橥饬τ芍蹦_指向弓腳而把直腳上拔。這就證實(shí)了太極拳散打中套住對(duì)方的弓腳，從其身體上部向側(cè)向攻擊的做法是符合力學(xué)原理和巧妙省力、切實(shí)可行的。

從以上分析可以推論窄弓步和虛步的側(cè)向抗力功能更差，更難以抵擋“牽動(dòng)四兩撥千斤”的側(cè)向攻擊。太極拳的“牽動(dòng)四兩撥千斤”戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)多是從對(duì)方側(cè)向或身體中心線一側(cè)采用“撥動(dòng)”的方法，攻擊對(duì)方力學(xué)意義上的薄弱環(huán)節(jié)，即快捷又省力。

2、“牽動(dòng)四兩撥千斤”的縱向效應(yīng)

參照?qǐng)D16坐步剛體模型，將（48）中所設(shè)相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式（33），計(jì)算出坐步在質(zhì)心速度向后時(shí)的抵抗力，也即表七坐步速度向后時(shí)各力及力線角隨水平力的變化，

表7 坐步速度向后時(shí)各力及力線角隨水平外力的變化

由表7可見(jiàn)失根先于打滑，所以只需計(jì)算失根值。將（48）代入公式（35）計(jì)算出前腳失根的臨界力為，

1.4N相當(dāng)于我國(guó)舊時(shí)計(jì)量單位的四兩多。

在數(shù)據(jù)（48）中，減速需要的距離是31厘米，后腳到重心的距離是30厘米。這就是說(shuō)用1.4牛頓的力通過(guò)勻減速運(yùn)動(dòng)就能把對(duì)方推到其后腳外1厘米處，也就是說(shuō)四兩外力就可以把對(duì)方的重心推出支撐面。圖16人體的質(zhì)量是60公斤、質(zhì)心水平初速度為1.417m/s，二者相乘的數(shù)值使其產(chǎn)生的較大動(dòng)量。由于慣性（牛頓第一）定律，人體要保持這個(gè)速度。要在靜止時(shí)分析人體的平衡狀態(tài)，先要把這個(gè)動(dòng)量減到零。根據(jù)牛頓第二定律，減速需要力。在本例中千斤力就是這個(gè)減速人體需要的力。這個(gè)力不是外力，而是自身克服慣性需要的力。四兩撥千斤的意思就是四兩外力推波逐瀾于千斤慣性力。

慣性力產(chǎn)生于自身的動(dòng)量，不是產(chǎn)生于兩個(gè)物體間，只與人體的質(zhì)量和速度相關(guān)。人的自身力量可稱為勁，《太極拳發(fā)勁的動(dòng)量傳遞解析》一文把勁定義為動(dòng)量，動(dòng)量可以傳遞。因此，上述例子可以看作是我方將小部分勁（四兩力）適時(shí)傳遞給對(duì)方，與對(duì)方的勁（千斤慣性力）疊加，使對(duì)方失根。這里包括了勁的產(chǎn)生和運(yùn)用兩個(gè)方面，是一種太極功夫，需要鍛煉而成。

尤其是勁的運(yùn)用至關(guān)重要，運(yùn)用的好，可以使自己平衡對(duì)方失穩(wěn)；運(yùn)用不妥，容易被對(duì)方借用導(dǎo)致自己失穩(wěn)。即使自己?jiǎn)尉氁惨⒁猓杂胁簧骶蜁?huì)使自己失穩(wěn)。

勁的恰當(dāng)運(yùn)用還與對(duì)方的狀態(tài)密切相關(guān)。如果對(duì)方能靈活變換自己的速度方向，那我方的四量力可用來(lái)防止對(duì)方的逆向運(yùn)動(dòng)。如果對(duì)方向后的速度較大，我方可以乘勢(shì)而進(jìn)，順勢(shì)發(fā)力，完全可以把對(duì)方推出一丈（3米）之外。

試算一例，假設(shè)具有爆發(fā)力的弓步在發(fā)出750牛頓力時(shí)將對(duì)方向后推了0.3米，并迫使對(duì)方重心移到身后（后腳之外）以跳躍式后退，而自身保持穩(wěn)定。750牛頓的力將對(duì)方向后退是所做的功是750（力）×0.3（距離）=225焦耳，這足以使對(duì)方后退4米多（一丈以上）。這是基于功的原理，是假設(shè)對(duì)方每退一步是50厘米，并打滑10厘米。這樣，對(duì)方每打滑一次耗能588（重力）×0.5（摩擦系數(shù)）×0.1（距離）=29.4焦耳，完全消耗掉225焦耳就要跳出8.6步（225÷29.4），也就是說(shuō)對(duì)方被打出了0.5×8.6=4.3米?？梢?jiàn)，歷史上太極拳名家一掌將人打出一丈之外，或?qū)⑷蓑v空發(fā)出掛到墻上的故事是有力學(xué)依據(jù)的，是確實(shí)可信的。

七、小結(jié)

本研究表明，運(yùn)用力學(xué)的方法、數(shù)學(xué)的方法研究太極拳能夠有效揭示太極拳的奧妙，采用人體剛體模型依據(jù)力學(xué)原理對(duì)太極拳作隔離體分析是運(yùn)用現(xiàn)代科技理論研究太極拳的有效途徑。太極拳的技術(shù)動(dòng)作、技術(shù)原理、訓(xùn)練要求等都蘊(yùn)含著深厚的力學(xué)原理，有許多方面可以運(yùn)用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行定量分析、精確分析，使其更顯科學(xué)水平。

本研究采用平面剛體模型、從水平作用力入手分析是一個(gè)率先，也僅是一個(gè)開(kāi)頭，還受到某些局限，還需要進(jìn)一步開(kāi)拓思路、創(chuàng)新方法，從更廣泛的力學(xué)角度進(jìn)行深入研究。三維人體運(yùn)動(dòng)模型是近代的研究熱點(diǎn)［8］，也是本文深入研究的需要。采用三維人體剛體模型模擬太極拳各種發(fā)力，通過(guò)隔離體分析更加深入解釋太極拳力學(xué)原理，更加全面揭示太極拳奧妙將是下一步的研究方向。

［1］武禹襄. 太極拳論［M］. 手抄本.

［2］楊澄甫. 太極拳說(shuō)十要［M］. 手抄本.

［3］馬承九. 太極拳的科學(xué)觀［M］. 臺(tái)北：東大圖書(shū)公司，1994.

［4］肖飛. 太極拳的力學(xué)原理［M］. 北京：人民體育出版社，2009.

［5］GU Jie. Explosive and Sequential Strength in Tai Chi［J］. T’ai Chi， 2013， 37（3）.

［6］顧杰，郭振興. 太極拳發(fā)勁的動(dòng)量傳遞解析［J］. 邯鄲學(xué)院學(xué)報(bào)，2013（4）.

［7］王宗岳. 十三勢(shì)行功心解［M］. 手抄本.

［8］李振波，李華. 基于運(yùn)動(dòng)生物力學(xué)的三維人體運(yùn)動(dòng)模型［J］. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2006，18（10）.

（責(zé)任編輯：蘇紅霞 校對(duì)：李俊丹）

Analyze Taijiquan by Rigid Human Plane Model under Horizontal Force

GU Jie，GUO Zhen-xing，LV Meng
（Taiji cultural school， Handan College， Handan 056005， China）

For the first time this article proposes a human rigid body model to do a mechanical analysis for Taijiquan. The model comprises the common mechanical conditions， including the frame， mass， speed， attacking force， gravity，normal horizontal force， friction forces， etc. The model is analyzed by dynamic laws for taijiquan， which results in a few important conclusions. The gravity center should be inside the supporting area to maintain the balance. Skidding and root loss are two critical points. The body is in balance within the critical points. Beyond one of the critical point，the body will eventually loose balance. The horizontal attacking force comes from the friction force， the body overall momentum， and the momentum of the relative motion between limbs. Interior strength has two aspects: creating momentum and transfer force. The interior strength creates body momentum and transfer force. The balancing critical points are calculated for taiji solo and push hand. Numerical examples demonstrate the classical techniques of “throw like an arrow”， “bring in to empty”， “four ounces deflect thousand pound”

Taijiquan； mechanical analysis； rigid Human plane model

G852.11

A

1673-2030（2015）02-0082-26

2015-02-15

顧杰（1955—），男，江蘇蘇州人，邯鄲學(xué)院太極文化學(xué)院客座教授，美國(guó)通用汽車公司高級(jí)工程師，美國(guó)奧克蘭大學(xué)機(jī)械制造博士；郭振興（1950—），男，河北邯鄲人，邯鄲學(xué)院太極文化學(xué)院原院長(zhǎng)，高級(jí)政工師，華中科技大學(xué)鑄造機(jī)械專業(yè)。