趙江，周銳

（北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191）

基于粒子群優(yōu)化的再入可達(dá)區(qū)計算方法研究

趙江，周銳

（北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191）

針對升力式高超聲速飛行器再入可達(dá)區(qū)計算問題，提出了一種粒子群優(yōu)化（PSO）和傾側(cè)角反轉(zhuǎn)相結(jié)合的混合求解方案。為了減小待優(yōu)化變量的搜尋空間，設(shè)計了一種參數(shù)化的傾側(cè)角剖面，利用約束PSO算法求解滿足再入過程約束和末端約束的最優(yōu)滑翔軌跡。通過傾側(cè)角正向和逆向反轉(zhuǎn)邏輯直接生成傾側(cè)角指令集合，進(jìn)而實現(xiàn)高超聲速飛行器再入可達(dá)區(qū)的快速估算。高升阻比再入滑翔飛行器CAV-H仿真實例表明，該混合優(yōu)化求解方案易于實現(xiàn)且無需預(yù)估參數(shù)初值，具有良好的可操作性。

兵器科學(xué)與技術(shù)；粒子群優(yōu)化；再入可達(dá)區(qū)；高超聲速飛行器；傾側(cè)角反轉(zhuǎn)邏輯

0 引言

高超聲速飛行器的再入環(huán)境復(fù)雜，其制導(dǎo)和控制性能受到動力學(xué)系統(tǒng)的強擾動性和大氣模型參數(shù)的不確定性等諸多因素的制約。因而，高超聲速再入滑翔技術(shù)已經(jīng)成為各國航空航天領(lǐng)域研究的重要問題［1-3］。再入可達(dá)區(qū)又稱再入覆蓋區(qū)，是指再入滑翔飛行器以某一初始條件再入地球表面時，能夠獲得著陸或交班狀態(tài)的區(qū)域范圍，是評估再入滑翔飛行器覆蓋能力的重要性能指標(biāo)。因此，開展再入可達(dá)區(qū)計算方法研究，探索多約束條件對目標(biāo)覆蓋區(qū)域的影響機理，能夠有效地優(yōu)化遠(yuǎn)程攻擊方案設(shè)計，提升再入滑翔飛行器的突防和生存能力［4］。

文獻(xiàn)［5］利用準(zhǔn)平衡滑翔條件，結(jié)合初始俯沖策略確定了再入攻角的設(shè)計空間，并將其應(yīng)用于再入可達(dá)區(qū)的優(yōu)化問題。文獻(xiàn)［6-7］將再入飛行器的最大航程問題轉(zhuǎn)換為搜尋虛擬目標(biāo)的最短路徑問題，通過合理設(shè)計傾側(cè)角反饋控制率，求解滿足終端約束的最短路徑集合，進(jìn)而實現(xiàn)目標(biāo)覆蓋區(qū)域的精確計算。文獻(xiàn)［8］將再入可達(dá)區(qū)問題轉(zhuǎn)化成一系列的軌跡優(yōu)化問題，采用序列梯度修復(fù)算法求解滿足過程約束的再入可達(dá)區(qū)。文獻(xiàn)［9］針對可重復(fù)使用運載器的覆蓋區(qū)域問題，結(jié)合全局和局部優(yōu)化算法的特點，設(shè)計了遺傳算法和模式搜索方法相結(jié)合的混合優(yōu)化求解方案。文獻(xiàn)［10］在演化加速度再入制導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，提出了一種傾側(cè)角剖面的線性插值模型，通過求解最大航程軌跡快速估算再入可達(dá)區(qū)。文獻(xiàn)［11］基于Radau偽譜法對滑翔軌跡進(jìn)行優(yōu)化，系統(tǒng)地分析了升阻比、終端速度以及終端傾角對高超聲速飛行器再入可達(dá)區(qū)的影響。

現(xiàn)有研究通常將再入可達(dá)區(qū)問題歸結(jié)為復(fù)雜的軌跡優(yōu)化問題，基于傳統(tǒng)的參數(shù)搜索方法進(jìn)行求解。然而，無論是采用直接法（如非線性規(guī)劃理論）還是采用間接法（如極大值原理），往往需要根據(jù)工程經(jīng)驗，對參數(shù)初值進(jìn)行預(yù)估，導(dǎo)致算法設(shè)計比較復(fù)雜，且魯棒性不強。本文提出方法的創(chuàng)新點如下:1）以單次反轉(zhuǎn)的形式對傾側(cè)角剖面進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計，利用約束粒子群優(yōu)化（PSO）算法求解了滿足最大橫程的再入滑翔軌跡，對于終端約束，將其作為罰函數(shù)項附加在適應(yīng)度函數(shù)中，對于過程約束，則采用適應(yīng)度函數(shù)極值化的方法進(jìn)行處理，有效地減少了待優(yōu)化變量的搜尋空間；2）傳統(tǒng)的再入可達(dá)區(qū)計算往往需要求解多個軌跡優(yōu)化問題以確定再入可達(dá)區(qū)的內(nèi)外邊界，而本文提出一種改進(jìn)的傾側(cè)角反轉(zhuǎn)機制，僅利用一條標(biāo)稱再入軌跡（最大航程軌跡或常規(guī)約束軌跡），通過正向和逆向反轉(zhuǎn)求解臨界速度不同的傾側(cè)角指令集合，進(jìn)而得出兩組機動能力不同的再入軌跡集合，即為近似的再入可達(dá)區(qū)。

1 問題描述

1.1 再入運動學(xué)方程

考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，建立如下高超聲速再入滑翔飛行器的3自由度無量綱運動方程［12-13］:

式中:r為無量綱的地心距；V為再入飛行器相對地球無量綱速度；θ和φ分別為經(jīng)度和緯度；γ和ψ分別為飛行航跡角和航向角；Ω為地球的自轉(zhuǎn)角速度；σ為飛行器傾側(cè)角；L和D分別為無量綱的升力加速度和阻力加速度，具體的計算公式為

式中:K=0.5R0Sref/m，R0為地球半徑，Sref為飛行器的參考面積，m為飛行器質(zhì)量；CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)；ρ為大氣密度。

1.2 再入過程約束

高超聲速飛行器的再入滑翔過程必須考慮的約束影響包括熱流密度約束Q、動壓約束q和過載約束n，具體的計算公式［13］如下:

式中:KQ為與飛行器相關(guān)的常值參數(shù)；g0為海平面的地球引力加速度；Qmax、qmax和nmax分別為熱流密度、動壓和過載的最大幅值，該約束限制由高超聲速飛行器自身的材料和結(jié)構(gòu)所決定。（3）式～（5）式是飛行器再入滑翔過程中必須滿足的硬約束條件。

1.3 再入末端約束

再入末端約束是指滑翔飛行段與末端區(qū)域能量管理段交班的約束條件，主要包括末端高度約束和末端速度約束，表達(dá)形式如下:

式中:rf和Vf分別為給定末端高度和末端速度。

1.4 再入可達(dá)區(qū)問題

現(xiàn)有研究主要采用再入可達(dá)區(qū)的外邊界來表征再入滑翔飛行器的機動能力，包括兩種典型的輪廓外形，即扇形邊界和四邊形邊界。如圖1所示，E1和E2是再入點。左側(cè)的扇形可達(dá)區(qū)域中，E1C1表示再入飛行的最大縱程，外邊界A1C1和B1C1由滿足再入末端約束的點集構(gòu)成。在右側(cè)的四邊形可達(dá)區(qū)域中，內(nèi)邊界A2B2表示再入飛行的最小縱程，外邊界C2D2則由再入飛行的最大縱程所決定。本文采用扇形邊界來描述飛行器的再入可達(dá)區(qū)。

圖1 再入可達(dá)區(qū)典型輪廓Fig.1 Typical shapes of landing footprints

2 再入可達(dá)區(qū)計算

2.1 概述

為了最大程度地減小待優(yōu)化變量的搜尋空間以提升計算效率，本文選取標(biāo)稱攻角剖面和參數(shù)化的傾側(cè)角剖面作為軌跡控制指令。首先，利用約束PSO算法求解最優(yōu)滑翔軌跡。其次，通過合理設(shè)計傾側(cè)角反轉(zhuǎn)邏輯，快速生成滿足約束條件的再入可達(dá)區(qū)?；旌蟽?yōu)化算法流程如圖2所示。

2.2 約束PSO算法

定義｛x1，x2，…，xn｝為待優(yōu)化的n個未知參數(shù)，約束范圍如下:

圖2 混合優(yōu)化方案Fig.2 Flowchart of hybrid optimization scheme

式中:ai和bi為給定常值。

假設(shè)種群大小為N，則每個粒子k的位置x（k）和速度v（k）表示如下:

式中:x（k）和v（k）表征未知參數(shù)的搜尋空間，并不包含物理意義。根據(jù)（7）式可知，每個粒子的位置和速度的約束范圍如下:

PSO算法中每個粒子代表優(yōu)化問題的一個可行解，且對應(yīng)一個特定的適應(yīng)度函數(shù)值。通過位置更新和速度更新，整個種群的粒子不斷搜索各自的最優(yōu)位置。在每個周期內(nèi)，通過計算粒子k的適應(yīng)度函數(shù)J，可以得到該粒子當(dāng)前時刻自身的最優(yōu)位置pbest（k），進(jìn)而求解整個粒子群當(dāng)前時刻的最優(yōu)位置gbest（k）.若迭代周期超過給定次數(shù)則算法終止。此時，粒子群中使適應(yīng)度函數(shù)取得極值的粒子k即為問題的最優(yōu)解。

每個粒子進(jìn)行自身認(rèn)知和群體交流主要依靠位置和速度更新，計算公式［14-15］如下:

式中:c1和c2為學(xué)習(xí)因子；r1和r2是服從U（0，1）分布的隨機數(shù)；w是慣性權(quán)重，計算公式為

式中:wmax和wmin為最大和最小慣性系數(shù)；Nmax為最大迭代周期；Nx為當(dāng)前迭代周期。

軌跡優(yōu)化問題包含復(fù)雜的終端約束和過程約束，因此，有效地處理等式和不等式約束尤為關(guān)鍵。本文對傳統(tǒng)的PSO算法做出改進(jìn)，對于等式約束，將其進(jìn)行變換后，作為罰函數(shù)項加入到適應(yīng)度函數(shù)中，具體的表達(dá)形式如下:

式中:ζp≥0（p=1，2，…，m）為罰函數(shù)因子；dp（x）代表與未知參數(shù)相關(guān)的m個等式約束。

對于不等式約束，本文采用適應(yīng)度函數(shù)極值化的處理方法，即粒子k在更新自身位置或速度時，若不滿足任何一個不等式約束，則將該粒子當(dāng)前時刻對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)極值化，即J′（k）=∞，同時將該粒子的速度置0，即v（k）=0.通過對不滿足不等式約束的粒子進(jìn)行適應(yīng)度函數(shù)極值化，可以有效地處理再入軌跡優(yōu)化問題中存在的硬約束條件。

2.3 軌跡優(yōu)化設(shè)計

考慮到再入飛行器初始下降段的熱保護(hù)要求，本文采用升力式再入滑翔飛行中典型的二次分段標(biāo)稱攻角剖面，表達(dá)形式［16］如下:

式中:α0為再入攻角初值；Vα為飛行器攻角變化的臨界速度；K為常值參數(shù)。

為了減小約束PSO算法中未知變量的搜索空間，本文選取參數(shù)化的傾側(cè)角剖面作為軌跡控制指令，其表達(dá)形式如下:

式中:σ0和σ1分別為傾側(cè)角剖面的初值和終值；V1和V2為臨界速度。在初始下降階段，氣動特性較弱，故選取常值傾側(cè)角指令σ0作為控制指令。接近末端區(qū)域能量管理階段時，為了保證飛行器的平穩(wěn)飛行，選取常值傾側(cè)角指令σ1作為控制變量。初始下降段（臨界速度為V2）與末端能量管理段（臨界速度為V1）之間區(qū)域的傾側(cè)角指令則按照線性規(guī)律進(jìn)行遞增或遞減。

根據(jù)再入初始航向角與目標(biāo)位置的關(guān)系，重新定義傾側(cè)角剖面的表達(dá)形式。如圖3所示，定義Δψ為再入航向角ψ0與目標(biāo)視線角ψT的差值，則傾側(cè)角剖面的線性遞增或遞減曲線可以表示為如下形式:

式中:參數(shù)K0和K1可由σ0和σ1變換得到，考慮到再入初始航向與目標(biāo)視線角之間的位置關(guān)系，按照如下規(guī)則確定參數(shù)化傾側(cè)角剖面（16）式、（17）式中的未知參數(shù)［12］:

1）若Δψ=ψ0-ψT＞0，則取σ1＞σ0，σ1＞0，即K1＜0，σ1＞0；

2）若Δψ=ψ0-ψT＜0，則取σ1＜σ0，σ1＜0，即K1＞0，σ1＜0.

圖3 參數(shù)化傾側(cè)角剖面Fig.3 Parameterized bank angle profile

通過將傾側(cè)角剖面進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計，約束PSO算法中的未知參數(shù)僅有4個，即（σ0，σ1，V1，V2）或（K0，K1，V1，V2），有效地提高了軌跡優(yōu)化速度。為了得到具有最大橫程的滑翔軌跡，選取如下適應(yīng)度函數(shù):

式中:Rcro為再入滑翔飛行的橫向航程，近似計算公式為

式中:θt和φt分別是再入滑翔段和末端能量管理段交接時刻的經(jīng)度和緯度。

改進(jìn)的PSO算法能夠有效地處理再入過程約束和再入末端約束。具體方法如下:每個進(jìn)化周期內(nèi)，若任何一個粒子k在更新自身位置和速度時，使得熱流密度約束（3）式、動壓約束（4）式或過載約束（5）式超出了給定限度，則將該粒子當(dāng)前時刻對應(yīng)的適應(yīng)度函數(shù)極值化，并將該粒子的速度置0.這樣，可以有效地保證再入軌跡滿足以上硬約束條件。對于末端高度約束和末端速度約束，本文將其作為罰函數(shù)項附加于適應(yīng)度函數(shù)，具體的表達(dá)式如下:

則利用改進(jìn)的約束PSO算法，能夠求解具有最大橫程的再入滑翔軌跡。由于篇幅所限，本文對再入滑翔軌跡的平滑性沒有進(jìn)行約束，相關(guān)技術(shù)細(xì)節(jié)可參考文獻(xiàn)［17］.

2.4 傾側(cè)角反轉(zhuǎn)邏輯

本文設(shè)計一種傾側(cè)角正向和逆向反轉(zhuǎn)邏輯，以實現(xiàn)再入滑翔飛行器可達(dá)區(qū)域的快速估算，基本原理如下:

1）傾側(cè)角正向反轉(zhuǎn)是指當(dāng)再入飛行速度低于某一臨界速度時，對傾側(cè)角指令進(jìn)行反轉(zhuǎn)，其幅值保持不變。如圖4所示，記最大橫程軌跡對應(yīng)的傾側(cè)角剖面為σcmd，給定臨界速度為V+，則傾側(cè)角正向反轉(zhuǎn)邏輯的表達(dá)形式如下:

2）傾側(cè)角逆向反轉(zhuǎn)是指當(dāng)再入飛行速度高于某一臨界速度時，對傾側(cè)角指令進(jìn)行反轉(zhuǎn)，其幅值保持不變。若給定臨界速度為V-，則傾側(cè)角逆向反轉(zhuǎn)邏輯的表達(dá)形式如下:

再入可達(dá)區(qū)的近似計算方法為:將最大橫程軌跡對應(yīng)的參數(shù)化傾側(cè)角剖面分別進(jìn)行正向和逆向反轉(zhuǎn)處理，能夠快速得到不同臨界速度下的反轉(zhuǎn)傾側(cè)角指令集合。傾側(cè)角反轉(zhuǎn)機制僅僅改變控制指令的符號，而不改變其幅值，故反轉(zhuǎn)傾側(cè)角指令集合中的所有控制剖面不會對再入飛行器的縱向制導(dǎo)產(chǎn)生影響，進(jìn)而保證了再入末端高度和末端速度滿足能量管理段的約束要求。利用反轉(zhuǎn)傾側(cè)角指令集合中的控制剖面對運動學(xué)方程進(jìn)行遞推解算，可以得到具有不同機動能力的再入軌跡集合，該集合即為再入滑翔飛行器的近似可達(dá)區(qū)域。本文提出的傾側(cè)角反轉(zhuǎn)邏輯以一條標(biāo)稱再入軌跡（最大航程軌跡或常規(guī)約束軌跡）為基準(zhǔn)，能夠直接生成兩組滿足約束的軌跡集合，為中途進(jìn)行任務(wù)重規(guī)劃的飛行器提供變更或選擇潛在目標(biāo)的參考可達(dá)區(qū)域，體現(xiàn)了本文的求解方案在應(yīng)對突發(fā)事件時具有快速性優(yōu)勢。

圖4 傾側(cè)角正向/逆向反轉(zhuǎn)邏輯Fig.4 Forward/backward bank angle reversal logic

3 仿真分析

本文以升力式高超聲速再入飛行器CAV-H為對象進(jìn)行仿真驗證，主要特征參數(shù)為［18］:飛行器質(zhì)量m=907.2 kg，氣動面積Sref=0.483 9 m2，熱流密度約束Qmax=0.6 MW/m2，動壓約束qmax=60 kPa，過載約束nmax=2.5 g.

飛行器的初始再入狀態(tài)如表1所示。末端高度約束和速度約束為hf=23 km，Vf=1 500 m/s.標(biāo)稱攻角剖面參數(shù)為K=0.21，α0=30°，VT的Ma數(shù)為14.傾側(cè)角指令范圍為-60°～60°.

表1 飛行器初始再入狀態(tài)Tab.1 Initial reentry conditions of the vehicle

約束PSO算法參數(shù)為:wmax=0.9，wmin=0.4，c1=c2=1.496 2，Nmax=60，N=30.仿真計算機是Windows XP操作系統(tǒng)，主頻3.0 GHz，內(nèi)存2.0 GB.程序采用標(biāo)準(zhǔn)C/C++語言編寫。

圖5和圖6給出了利用約束PSO算法求解最大橫程軌跡的仿真結(jié)果，并得出了以下結(jié)論:

1）由結(jié)果可知，仿真飛行時間約20 min，末端飛行高度和末端飛行速度均滿足再入滑翔段和末端區(qū)域能量管理段的交班條件要求，驗證了引入罰函數(shù)處理再入末端約束的可行性。

2）如圖5所示，再入滑翔軌跡嚴(yán)格滿足熱流密度、動壓和過載等硬約束條件，說明將適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行極值化，可以有效處理再入過程約束。

3）如圖6所示，改進(jìn)的PSO算法遞推17次后收斂，雖然得到的最大橫程軌跡并非全局最優(yōu)（因為傾側(cè)角剖面進(jìn)行了參數(shù)化設(shè)計），但未知參數(shù)的減少極大程度上縮小了搜尋空間，使得軌跡優(yōu)化時間不到4 s，驗證了算法的時效性。

圖7～圖10給出了利用傾側(cè)角正向反轉(zhuǎn)和逆向反轉(zhuǎn)進(jìn)行再入可達(dá)區(qū)近似計算的仿真結(jié)果，并得出了以下結(jié)論:

圖5 軌跡優(yōu)化仿真結(jié)果Fig.5 Simulated results of optimal trajectory

圖6 適應(yīng)度函數(shù)曲線Fig.6 Result of fitness function

圖7 傾側(cè)角逆轉(zhuǎn)采樣結(jié)果Fig.7 Examples of bank angle profile reversal

1）如圖7所示，雖然傾側(cè)角正向和逆向反轉(zhuǎn)所選取的時刻與方向各不相同，但其僅僅改變了控制指令的符號，不改變其幅值，故不會對再入縱向制導(dǎo)產(chǎn)生影響，進(jìn)而滿足了再入末端高度約束和末端速度約束。

2）如圖8所示，利用傾側(cè)角正向和逆向反轉(zhuǎn)機制，可以在一條標(biāo)稱再入軌跡的基礎(chǔ)上分別生成兩組滿足終端約束和過程約束的再入軌跡集合，將輪廓相似的兩個目標(biāo)覆蓋區(qū)域疊加，即可得到近似的再入可達(dá)區(qū)。

圖8 再入可達(dá)區(qū)仿真結(jié)果Fig.8 Simulated result of landing footprint

3）圖9給出了傾側(cè)角反轉(zhuǎn)指令集合，該集合由最大橫程軌跡的傾側(cè)角剖面直接生成，其反轉(zhuǎn)時刻和反轉(zhuǎn)方向的設(shè)計靈活，有利于算法程序的實現(xiàn)，體現(xiàn)了一定的工程應(yīng)用前景。

圖9 傾側(cè)角逆轉(zhuǎn)指令集合Fig.9 Set of bank angle commands

4）圖10給出了本文方法與傳統(tǒng)偽譜法［11，19］的仿真結(jié)果對比。從中可以看出，本文的結(jié)果與Gauss偽譜法得出的可達(dá)區(qū)形狀基本一致，由于本文對傾側(cè)角剖面進(jìn)行了參數(shù)化設(shè)計，因此計算可達(dá)區(qū)面積略小于偽譜法的優(yōu)化結(jié)果，然而本文方法僅需求解一條最優(yōu)軌跡，大大縮短了計算時間，故可用于突發(fā)事件下可達(dá)區(qū)域的快速估算。

4 結(jié)論

本文針對升力式高超聲速飛行器再入可達(dá)區(qū)問題，提出了約束粒子群優(yōu)化和傾側(cè)角反轉(zhuǎn)相結(jié)合的混合求解方案，研究分析和仿真結(jié)果表明:

1）改進(jìn)的PSO算法易于實現(xiàn)，且無需根據(jù)工程經(jīng)驗預(yù)估參數(shù)初值，增強了軌跡優(yōu)化算法的可操作性。

圖10 仿真結(jié)果對比Fig.10 Comparative results

2）采用參數(shù)化傾側(cè)角剖面設(shè)計，極大程度上縮小了未知變量的搜尋空間，提升了再入軌跡優(yōu)化算法的時效性。

3）利用傾側(cè)角正向和逆向反轉(zhuǎn)邏輯直接生成控制指令集合，進(jìn)而快速得到高超聲速飛行器的再入可達(dá)區(qū)，與傳統(tǒng)Gauss偽譜法相比，采用本文方法所求解的可達(dá)區(qū)結(jié)果雖然偏于保守，但可以縮短計算時間，在突發(fā)事件下可達(dá)區(qū)的快速估算方面具有應(yīng)用前景。

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Landing Footprint Computation Based on Particle Swarm Optimization

ZHAO Jiang，ZHOU Rui
（School of Automation Science and Electrical Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

To enforce the flexibility of the landing footprint computation，a hybrid optimization method based on the constrained particle swarm optimization（PSO）and bank angle reversal logic is proposed for the lifting hypersonic reentry vehicles.The parameterized bank angle profile is developed in order to reduce the searching space of the unknown variables.An improved PSO algorithmis used to optimize the reentry gliding trajectory satisfying both the path and the terminal constraints.The set of bank angle commands is obtained by imposing the forward and backward bank angle reversal logics，which can fast generate the approximate landing footprint for hypersonic reentry vehicles.Based on the high-lifting common aerial vehicle（CAV-H）model，a numerical simulation is performed.The results show that the hybrid optimization method is simple in design and independent of the initial estimation of the unknown parameters.The results also demonstrate the feasibility of the proposed algorithm for rapid generation of the landing footprint.

ordnance science and technology；particle swarm optimization；landing footprint；hypersonic vehicle；bank angle reversal logic

V448.235

A

1000-1093（2015）09-1680-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.09.012

2014-12-29

國家自然科學(xué)基金項目（61273349、61203223）

趙江（1986—），男，博士研究生。E-mail:jzhao@buaa.edu.cn；周銳（1968—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:zhr@buaa.edu.cn