梁勇

【摘 要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生以數(shù)學(xué)筆記為載體，連結(jié)日常生活，外顯數(shù)學(xué)思維，融合多學(xué)科知識(shí)與技能。新技術(shù)的融入為數(shù)學(xué)筆記提供了新的創(chuàng)作視角，實(shí)現(xiàn)了個(gè)性化學(xué)習(xí)，促進(jìn)了學(xué)習(xí)共同體的形成。這些都在有力地支持學(xué)生進(jìn)行理解性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)筆記；新技術(shù)；理解性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；綜合素養(yǎng)；學(xué)習(xí)共同體

【中圖分類號(hào)】G40-057 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【論文編號(hào)】1671-7384（2015）10-0051-04

盡管人們依然在爭(zhēng)論學(xué)生應(yīng)該學(xué)什么樣的數(shù)學(xué)，但對(duì)于學(xué)生應(yīng)該如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這個(gè)問(wèn)題卻持有相同的觀點(diǎn)，那就是：學(xué)生應(yīng)當(dāng)理解性地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵性知識(shí)和技能。

基于腦科學(xué)的學(xué)習(xí)科學(xué)研究表明，學(xué)生孤立地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能無(wú)法達(dá)到理解，因?yàn)槔斫猱a(chǎn)生于學(xué)生與周圍環(huán)境中的材料、同伴和起支持作用的成人的互動(dòng)過(guò)程。筆者在多年的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，數(shù)字技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)筆記（以下簡(jiǎn)稱為數(shù)學(xué)筆記）能夠有效地幫助學(xué)生（尤其是小學(xué)低年級(jí)學(xué)生）進(jìn)行理解性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)筆記，是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中采用繪畫(huà)、手工、攝影等美術(shù)形式編制個(gè)性化創(chuàng)意數(shù)學(xué)作品（如圖1），并運(yùn)用社會(huì)化語(yǔ)音技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)作品進(jìn)行獨(dú)立描述或解釋，用以表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)概念和原理的認(rèn)知、理解和應(yīng)用，然后發(fā)布于社會(huì)化交流平臺(tái)，與同伴及成人進(jìn)行及時(shí)分享和交流并獲得相應(yīng)反饋。

圖1 《我為數(shù)字穿新衣》

數(shù)學(xué)筆記連結(jié)日常生活，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)

從學(xué)校向日常環(huán)境的遷移是學(xué)校教育的最終目的，但在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初始時(shí)段，反方向的遷移同樣有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。首先，學(xué)齡學(xué)生在進(jìn)入學(xué)校時(shí)已經(jīng)擁有了大量來(lái)自于日常生活的自然數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和非正式數(shù)學(xué)知識(shí)。其次，當(dāng)學(xué)習(xí)發(fā)生在有意義的和熟悉的情景之中，學(xué)生能夠更有效地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。因此，學(xué)校里的結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)充分挖掘和利用學(xué)生熟悉的生活情景和已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，并結(jié)合學(xué)生與生俱來(lái)的好奇心和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)并應(yīng)用數(shù)學(xué)概念和技能的興趣。

一年級(jí)的學(xué)生在制作《生活中的數(shù)字》（如圖2）時(shí)，通常會(huì)采用繪畫(huà)或拍照的方式來(lái)呈現(xiàn)自己的發(fā)現(xiàn)，諸如自家的門牌號(hào)碼、父母手機(jī)的面板、鄰居家汽車的牌照、面值不同的人民幣、商場(chǎng)里商品的價(jià)格、車站顯示牌上的時(shí)間……我們的周圍環(huán)境到處都充滿了數(shù)字，但學(xué)生有關(guān)數(shù)字的經(jīng)驗(yàn)大部分來(lái)自于自然和非正式活動(dòng)。因此，當(dāng)學(xué)生“以數(shù)學(xué)的名義”重新觀察和記錄這些習(xí)以為常的數(shù)字時(shí)，他們?nèi)匀慌d奮不已。

圖2 《生活中的數(shù)字》

新技術(shù)的加入無(wú)疑給數(shù)學(xué)筆記提供了新的視角，增添了豐富的創(chuàng)意元素。閱讀《建筑中的圖形》之后，孩子們開(kāi)始了圖形發(fā)現(xiàn)之旅，他們先利用iPad在學(xué)校、社區(qū)拍攝照片，然后在“圈點(diǎn)”里圈出各種圖形，標(biāo)注名稱，建構(gòu)起對(duì)圖形的認(rèn)知，并初步感受部分與整體的關(guān)系（如圖3）。

圖3 《平面圖形》

在此過(guò)程中，學(xué)生開(kāi)始轉(zhuǎn)變觀察生活的視角，即運(yùn)用數(shù)學(xué)的視角，對(duì)早已熟悉的環(huán)境進(jìn)行重新觀察和探索，從而獲得數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)體驗(yàn)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)就在自己的周圍、眼前甚至身上。事實(shí)上，周圍的事物原本就已經(jīng)存在，學(xué)生只是換了個(gè)角度去觀察，就能發(fā)現(xiàn)一個(gè)奇異的數(shù)學(xué)世界。數(shù)學(xué)筆記，正是在學(xué)生自身不斷發(fā)展的數(shù)學(xué)理解與正式的數(shù)學(xué)知識(shí)之間架起的一座橋梁。

數(shù)學(xué)筆記物化數(shù)學(xué)思維，外顯數(shù)學(xué)理解

1. 數(shù)學(xué)筆記呈現(xiàn)理解水平

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)基本上是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)。但是，如何在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中觀察、理解和評(píng)估學(xué)生內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維？這需要我們引導(dǎo)和幫助學(xué)生準(zhǔn)確而有效地暴露其數(shù)學(xué)思維，即運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆?hào)表征數(shù)學(xué)知識(shí)。數(shù)學(xué)筆記作為數(shù)學(xué)符號(hào)表征的一種形式，能夠外顯學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知、理解和應(yīng)用，進(jìn)而幫助成人對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行觀察和評(píng)估。

在教學(xué)“乘法”時(shí)，我們通常會(huì)做兩個(gè)方面的前測(cè)：一是“乘法作為運(yùn)算”，測(cè)試方式為乘數(shù)小于5的乘法口算；二是“乘法作為概念”，測(cè)試方式是數(shù)學(xué)筆記，即畫(huà)一幅畫(huà)表示3×4（如圖4）。結(jié)果通常都在我們的預(yù)料之中，很多孩子在學(xué)習(xí)乘法之前已經(jīng)能夠準(zhǔn)確地計(jì)算簡(jiǎn)單乘法，并為此感到自豪。與此同時(shí)，有些孩子直接用“3和4相乘”的符號(hào)表征來(lái)表現(xiàn)“3個(gè)4相加或4個(gè)3相加”（如圖4）。

圖4 《3×4》

依據(jù)數(shù)學(xué)筆記，教師能夠清晰地觀察到學(xué)生對(duì)于“乘法的意義”的認(rèn)知和理解是有缺陷的。在教學(xué)過(guò)程中不僅注重讓學(xué)生記住乘法表以求計(jì)算正確率與速度，而且利用學(xué)生天生的建模意識(shí)去引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)連加的運(yùn)算規(guī)則，因?yàn)檫@是理解乘法的基礎(chǔ)。

2. 數(shù)學(xué)筆記記錄學(xué)習(xí)過(guò)程

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容基本上是常識(shí)性的，但數(shù)學(xué)本身具有一般性和抽象性。面對(duì)抽象能力尚未養(yǎng)成的小學(xué)生，教師很難也不應(yīng)當(dāng)過(guò)多地講解數(shù)學(xué)道理，而是引導(dǎo)學(xué)生參與筆記數(shù)學(xué)等學(xué)習(xí)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷豐富的觀察、制作等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，在“慢慢”的過(guò)程中，“慢慢”積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)事實(shí)，“慢慢”感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程、數(shù)學(xué)符號(hào)的簡(jiǎn)潔實(shí)用和數(shù)學(xué)原理的內(nèi)在邏輯。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生的許多數(shù)學(xué)觀察發(fā)生在不同時(shí)空，“思維導(dǎo)圖”能夠幫助學(xué)生隨時(shí)隨地記錄觀察到的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，并在一定積累的基礎(chǔ)上，對(duì)這些數(shù)學(xué)事實(shí)進(jìn)行分類和整理，從而建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)。

圖5所示的《三角形的家》清楚地記錄了呂紫賢同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程：一開(kāi)始只是為了尋找生活中的三角形，而后隨著數(shù)學(xué)事實(shí)的不斷積累，便有了分門別類的想法和行動(dòng)。這樣的數(shù)學(xué)筆記制作過(guò)程中，學(xué)生既能夠觀察并發(fā)現(xiàn)三角形在生活當(dāng)中的廣泛運(yùn)用，更能夠?qū)W會(huì)有條理地認(rèn)知社會(huì)事物的不同領(lǐng)域。

圖5 《三角形的家》

3. 數(shù)學(xué)筆記投射思維特征

數(shù)學(xué)筆記是學(xué)生個(gè)性化的數(shù)學(xué)作品，自然也能反映學(xué)生某些個(gè)性心理特征、學(xué)習(xí)風(fēng)格。在畫(huà)《多幾少幾》時(shí)，盡管教師提供的半結(jié)構(gòu)化材料使學(xué)生的創(chuàng)作有了基本相同的框架，但只要我們認(rèn)真觀察，就能發(fā)現(xiàn)作品與作品之間細(xì)微的差異：有的學(xué)生喜暖色調(diào)，有的學(xué)生則好冷色調(diào)；有的學(xué)生喜歡使用“線條”，而有的學(xué)生則喜歡用“色塊”；有的學(xué)生注重均衡布局，有的學(xué)生則喜好劍走偏鋒……正如世界上沒(méi)有兩片完全一樣的樹(shù)葉，我們眼前沒(méi)有完全相同的兩幅作品（如圖6）。由此可見(jiàn)，每個(gè)孩子都擁有獨(dú)一無(wú)二的思維特征，他們都在積極地發(fā)揮著獨(dú)特的學(xué)習(xí)力和創(chuàng)造力，表達(dá)著獨(dú)特的自我。

圖6 《多幾少幾》

隨著作品數(shù)量的增加，我們發(fā)現(xiàn)，不同群體學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格也存在差異。較之男孩子隨性的天馬行空，大多數(shù)女孩子的作品會(huì)顯得更整潔、風(fēng)格更統(tǒng)一、色彩更豐富；低年級(jí)學(xué)生更關(guān)注作品的藝術(shù)創(chuàng)意，高年級(jí)學(xué)生更關(guān)注作品的數(shù)學(xué)本質(zhì)；低年級(jí)學(xué)生在半結(jié)構(gòu)化創(chuàng)作中完成的質(zhì)量較高，高年級(jí)學(xué)生則更愿意進(jìn)行自主創(chuàng)意。

數(shù)學(xué)筆記融合多學(xué)科，培養(yǎng)綜合素養(yǎng)

隨著教育變革的不斷深入，人們?cè)絹?lái)越重視課程整合教學(xué)模式。正如圖7所示，學(xué)生在筆記數(shù)學(xué)時(shí)，是以數(shù)學(xué)內(nèi)容為中心，卻常常整合了科學(xué)、社會(huì)學(xué)習(xí)、語(yǔ)言、美術(shù)、技術(shù)、運(yùn)動(dòng)及音樂(lè)等不同課程領(lǐng)域內(nèi)容，形成一個(gè)以數(shù)學(xué)為中心的綜合性作品，在重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

圖7 課程整合基本模型

圖8 《厘米》

圖8是胡魏恩祖同學(xué)二年級(jí)時(shí)的數(shù)學(xué)筆記《厘米》，他運(yùn)用植物的生長(zhǎng)過(guò)程來(lái)描述1厘米、2厘米、5厘米……與此同時(shí)，為了更好地測(cè)量日益增高的植物，學(xué)生為測(cè)量者設(shè)計(jì)了各種增高辦法，包括爬樓梯、跳跳球、騎鳥(niǎo)飛行、熱氣球……充滿了各種創(chuàng)意和驚喜。畫(huà)面中的陽(yáng)光、土壤、水的出現(xiàn)，表明了學(xué)生對(duì)于植物生長(zhǎng)的基本要素已經(jīng)了然于心。

語(yǔ)音技術(shù)實(shí)現(xiàn)人人表達(dá)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)語(yǔ)言

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是數(shù)學(xué)思維的工具，也是數(shù)學(xué)思維的外顯形式。小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的理解和掌握程度，直接影響了他們對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握能力，從而影響他們數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展及對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。因此，在數(shù)學(xué)筆記的過(guò)程中，我們也必須注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的表達(dá)和運(yùn)用能力。

學(xué)生的數(shù)學(xué)筆記需要數(shù)學(xué)語(yǔ)言的解讀，但在真實(shí)的數(shù)學(xué)課堂里，無(wú)法實(shí)現(xiàn)“人人表達(dá)”。在數(shù)學(xué)筆記中引進(jìn)PAPA、微信等社會(huì)化語(yǔ)音技術(shù)，是一個(gè)比較好的解決方案。如圖9所示，學(xué)生先畫(huà)出數(shù)學(xué)筆記，再運(yùn)用PAPA進(jìn)行圖畫(huà)解讀，實(shí)現(xiàn)“人人表達(dá)”。

圖9 學(xué)生運(yùn)用PAPA制作的數(shù)學(xué)筆記

首先，社會(huì)化語(yǔ)音技術(shù)完全實(shí)現(xiàn)“人人表達(dá)”。學(xué)生運(yùn)用PAPA等語(yǔ)音技術(shù)將制作好的數(shù)學(xué)筆記導(dǎo)入，然后運(yùn)用簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行講述或解釋，實(shí)現(xiàn)每個(gè)人都能個(gè)性化表達(dá)。

其次，社會(huì)化語(yǔ)音技術(shù)能夠呈現(xiàn)“最優(yōu)表達(dá)”。學(xué)生在講解錄音的同時(shí)，會(huì)對(duì)自己的數(shù)學(xué)表達(dá)進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，可以經(jīng)過(guò)多次練習(xí)之后，最后呈現(xiàn)自己認(rèn)為最為精彩的數(shù)學(xué)表達(dá)。這樣既培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，也增強(qiáng)了學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的自信心。

再次，在數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)過(guò)程中，學(xué)生把那些“聽(tīng)懂的”或“看懂的”數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言去描述、解釋甚至概括，會(huì)促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行更深入的觀察、思考和語(yǔ)言組織。這種過(guò)程為與同伴進(jìn)行交流、討論做了積極的鋪墊和充分的準(zhǔn)備；基于充分準(zhǔn)備和深入思考的交流討論使得學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更為深刻。

網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)支持分享交流，構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體

學(xué)習(xí)科學(xué)研究表明，對(duì)包括數(shù)學(xué)筆記在內(nèi)的學(xué)生作品的反饋在學(xué)習(xí)過(guò)程中起到重要作用。但遺憾的是，很少有教師擁有足夠的時(shí)間為學(xué)生提供高品質(zhì)的個(gè)別反饋。我們必須尋求新技術(shù)的幫助，構(gòu)建基于網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的學(xué)習(xí)共同體，實(shí)現(xiàn)及時(shí)分享、相互反饋，從而獲得同伴支持。

微信群、QQ群、百度云盤等新技術(shù)幫助我們構(gòu)建起學(xué)習(xí)共同體。共同體成員的數(shù)學(xué)筆記作品能夠進(jìn)行及時(shí)共享，并且也可被他人（教師、學(xué)生、家長(zhǎng)以及共同體成員等）評(píng)論。共同體成員在短時(shí)間內(nèi)能夠快速獲得大量同一主題的數(shù)學(xué)筆記資源，在觀察他人作品的過(guò)程中獲得更豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)事實(shí)，在分析、評(píng)價(jià)他人作品的過(guò)程中深入思考和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，并逐漸形成批判性思維，在學(xué)習(xí)他人作品的基礎(chǔ)上改進(jìn)自己的數(shù)學(xué)作品。這些知識(shí)習(xí)得和修改意見(jiàn)都能夠有力地支持學(xué)生數(shù)學(xué)理解力的發(fā)展。

數(shù)學(xué)筆記對(duì)于數(shù)學(xué)課堂的交流和討論也起著支持作用。首先，數(shù)學(xué)筆記作品對(duì)所有數(shù)學(xué)活動(dòng)參與者都是一個(gè)共同的視覺(jué)參考物。其次，他們?cè)谡n前已經(jīng)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)針對(duì)同一數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行了精心準(zhǔn)備，經(jīng)歷了獨(dú)立學(xué)習(xí)、擴(kuò)展學(xué)習(xí)、識(shí)別和思辨。此時(shí)，教師的作用就是把學(xué)生有關(guān)如何解決和分析問(wèn)題的觀點(diǎn)擺在課堂上去討論，評(píng)價(jià)他們的論點(diǎn)合理與否，鼓勵(lì)他們憑直覺(jué)應(yīng)用數(shù)學(xué)原理，但最好是讓學(xué)生們自己判斷有些事情是否符合數(shù)學(xué)原理。

總之，基于數(shù)字技術(shù)的數(shù)學(xué)筆記，能夠有效地幫助學(xué)生建構(gòu)、重構(gòu)他們的數(shù)學(xué)理解。學(xué)生創(chuàng)作數(shù)學(xué)筆記、反思數(shù)學(xué)作品的過(guò)程，正是他們積極地學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解力不斷深化的過(guò)程。

（作者單位：廣東深圳市南方科技大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）