周城宏，錢衛(wèi)平，郭永強(qiáng)

（北京跟蹤與通信技術(shù)研究所空間目標(biāo)測量重點實驗室，北京100094）

動態(tài)目標(biāo)的電磁散射模型

周城宏，錢衛(wèi)平，郭永強(qiáng)

（北京跟蹤與通信技術(shù)研究所空間目標(biāo)測量重點實驗室，北京100094）

雷達(dá)靜態(tài)目標(biāo)的電磁散射特性可用成熟的電磁計算方法精確求解，動態(tài)目標(biāo)則需在準(zhǔn)靜態(tài)原理假設(shè)下近似計算；基于Maxwell方程組和入射電磁場邊界條件在雷達(dá)參考系和目標(biāo)參考系相互轉(zhuǎn)換規(guī)律，在目標(biāo)參考系中構(gòu)建了動態(tài)電磁散射問題的精確數(shù)學(xué)形式——非均勻邊界條件下的Maxwell方程求解問題；隨后討論了準(zhǔn)靜態(tài)近似的理論依據(jù)，指出其適用范圍局限于非相對論速度的動態(tài)目標(biāo)。

剛體運動；電磁散射；參考系轉(zhuǎn)換；準(zhǔn)靜態(tài)原理

電磁散射［1-3］是散射體被電磁波照射產(chǎn)生等效激勵源并在空間場點激發(fā)散射電磁場的過程，其數(shù)學(xué)本質(zhì)是在入射電磁場邊界條件和介質(zhì)本構(gòu)方程約束條件下對Maxwell方程求解。電磁散射是研究目標(biāo)散射特性的成熟理論，一般問題可用矩量法、有限元法和時域有限差分法等通用電磁計算方法精確求解。對于雷達(dá)目標(biāo)而言，其散射特性決定于目標(biāo)的幾何形狀與結(jié)構(gòu)、材料組成與分布、運動狀態(tài)與姿態(tài)，以及入射電磁波的頻率和極化等特征［1］。為抽象出主要特征，通常將雷達(dá)目標(biāo)散射場景簡化為靜態(tài)目標(biāo)的單頻平面電磁波照射，散射體與諧振電磁場構(gòu)成了穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)。動態(tài)目標(biāo)由于姿態(tài)的連續(xù)變化，激勵源與散射場均隨時間變化，系統(tǒng)處于非平衡態(tài)。為此可采用多個不同靜止姿態(tài)場景將運動狀態(tài)離散的方式對非穩(wěn)態(tài)電磁散射進(jìn)行刻畫，其基本假設(shè)是準(zhǔn)靜態(tài)原理，即將動態(tài)目標(biāo)的電磁散射強(qiáng)度近似等于當(dāng)前姿態(tài)下靜止目標(biāo)的散射強(qiáng)度，以多個靜態(tài)序列近似表征動態(tài)情形。

準(zhǔn)靜態(tài)近似具有一定的合理性［4］，可從目標(biāo)電磁散射弛豫時間的角度定性分析，如何從電磁散射基本原理出發(fā)刻畫其數(shù)學(xué)本質(zhì)卻值得深入研究，需先對動態(tài)目標(biāo)的電磁散射問題進(jìn)行精確刻畫。在雷達(dá)系中，目標(biāo)的時變狀態(tài)使得激勵源與散射場隨之變化，非平衡態(tài)散射系統(tǒng)無法以簡便的形式精確表征。如果基于Maxwell方程組和入射電磁場邊界條件在雷達(dá)參考系和目標(biāo)參考系相互轉(zhuǎn)換規(guī)律，將散射問題從雷達(dá)參考系轉(zhuǎn)換到目標(biāo)參考系，則動態(tài)目標(biāo)電磁散射問題轉(zhuǎn)化成了時變?nèi)肷溥吔鐥l件的靜態(tài)目標(biāo)散射問題，再將該問題的解逆變換回雷達(dá)參考系即為最終解。立足于如上出發(fā)點，本文提出了基于參考系變換的動態(tài)目標(biāo)電磁散射模型，給出了目標(biāo)參考系中的電磁散射問題的數(shù)學(xué)形式，并揭示了準(zhǔn)靜態(tài)近似的數(shù)學(xué)合理性。

1 基于參考系變換的電磁散射模型

雷達(dá)參考系中動態(tài)目標(biāo)電磁散射問題只能在準(zhǔn)靜態(tài)原理下近似求解，若將其變換到目標(biāo)參考系中，理論上可以得到散射問題解的精確形式。

1.1 散射問題的參考系變換

電磁散射過程可視為一個散射體對入射電磁場邊界條件的響應(yīng)，可記為EMScattering，系統(tǒng)輸入為入射電磁場（Ei，Hi），系統(tǒng)輸出為散射電磁場（Es，Hs），則該過程可表示為

（Ei，Hi）在雷達(dá)參考系和目標(biāo)參考系分別記為，相應(yīng)地散射場記為，若雷達(dá)系向目標(biāo)系的參考系變換記為Trans，Trans-1表示目標(biāo)系向雷達(dá)系的變換［5］，則

式（2）可表示為以下過程圖（圖1）：

圖1 散射問題的參考系變換

散射問題的方程、邊界條件和解的變換，均可表示為電磁場在雷達(dá)系與目標(biāo)系之間的相互轉(zhuǎn)換。剛體目標(biāo)的運動分為平動和轉(zhuǎn)動，與之相應(yīng)的目標(biāo)系相對雷達(dá)系而言分別為平動參考系和轉(zhuǎn)動參考系。在給定時刻t，瞬時平動參考系為慣性參考系，電磁場從雷達(dá)系向目標(biāo)系的轉(zhuǎn)換滿足洛倫茲變換，瞬時轉(zhuǎn)動參考系為勻速轉(zhuǎn)動參考系，電磁場轉(zhuǎn)換滿足旋轉(zhuǎn)洛倫茲變換，對目標(biāo)給定參考點，旋轉(zhuǎn)洛倫茲變換等效為洛倫茲變換。

1.2 目標(biāo)參考系電磁散射

在目標(biāo)系中，電磁場遵循基本電磁規(guī)律，用Maxwell方程組和各向同性介質(zhì)本構(gòu)方程D=εE，B=μH，J=σE表征，其中，ε、μ和σ分別表示介質(zhì)的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率，在已知入射電磁場邊界條件的情況下，可對本構(gòu)介質(zhì)約束下的偏微分方程組進(jìn)行求解：

對于一般空間目標(biāo)探測場景，雷達(dá)照射的電磁波以單頻平面電磁波表征。因此，雷達(dá)系中入射電磁場在空間均勻分布，頻率fc唯一。波在相對運動不同參考系下觀測結(jié)果不同，即呈現(xiàn)多普勒效應(yīng)，雷達(dá)照射電磁波的頻率調(diào)制滿足電磁場在不同瞬時參考系間的洛倫茲變換［6］。若散射微元r'的雷達(dá)視向速度為v（r'），在與散射微元r'相對靜止的慣性參考系中，接收到的雷達(dá)照射頻率滿足

其中，β=v/c。因此，若空間目標(biāo)各散射元的視向速度不同，則在目標(biāo)參考系中接收到的電磁場的頻率不再唯一，呈現(xiàn)與散射元雷達(dá)視向速度相關(guān)的分布；若目標(biāo)相對雷達(dá)只有平動，則各部分的入射邊界條件仍舊為均勻分布，照射電磁波的頻率為f'。利用電磁散射解析或數(shù)值方法可以對目標(biāo)參考系中非均勻邊界條件的偏微分方程組進(jìn)行求解。

1.3 散射場的逆變換

在目標(biāo)參考系下對散射問題求解獲得空間散射場后，需將其逆變換回雷達(dá)參考系，可獲得雷達(dá)系中準(zhǔn)確的觀測結(jié)果?？臻g場點r的散射場Es（r），Hs（r）是散射體所有微元貢獻(xiàn)的疊加，可用積分形式表示：

其中Es（r|r'），Hs（r|r'）表示散射體源點r'∈Ω在空間場點r的貢獻(xiàn)，包含強(qiáng)度、頻率和相位信息，積分范圍為散射問題求解域，Ω表示散射體所在區(qū)域，理想導(dǎo)體或均勻介質(zhì)散射體的求解域退化為散射體邊界Ω。在雷達(dá)參考系中觀測結(jié)果表示為

考慮雷達(dá)系與目標(biāo)系的相互變換，則有

若目標(biāo)為平動，各散射元貢獻(xiàn)散射場頻率相等；若目標(biāo)存在轉(zhuǎn)動模式，則雷達(dá)參考系觀測到的散射場存在多個頻率分量。

2 準(zhǔn)靜態(tài)原理

依據(jù)雷達(dá)參考系和目標(biāo)參考系之間電磁場的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以在理論上對任何動態(tài)目標(biāo)的電磁散射問題進(jìn)行精確求解。準(zhǔn)靜態(tài)原理在一定程度上簡化了上述求解過程，本節(jié)將討論這種簡化的數(shù)學(xué)本質(zhì)及其合理性和適用性。

對于動態(tài)目標(biāo)與入射電磁場構(gòu)成的非平衡態(tài)系統(tǒng)而言，系統(tǒng)變化的原因是目標(biāo)的運動狀態(tài)。在非常小的時間尺度T，運動目標(biāo)的運動狀態(tài)根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)處于近似恒定狀態(tài)。因而，目標(biāo)在運動狀態(tài)相空間中的演變可以近似表征為一系列的準(zhǔn)靜態(tài)序列。因此，運動目標(biāo)的電磁散射過程可以用一系列與運動狀態(tài)的準(zhǔn)靜態(tài)相對應(yīng)的電磁散射準(zhǔn)靜態(tài)近似。給定時刻的電磁散射動態(tài)系統(tǒng)，運動散射體對入射電磁場的散射作用等于該時刻準(zhǔn)靜態(tài)的運動狀態(tài)對散射體的調(diào)制作用。動態(tài)目標(biāo)的電磁散射強(qiáng)度等于當(dāng)前姿態(tài)下靜止目標(biāo)的散射強(qiáng)度，動目標(biāo)對于入射電磁場的頻率調(diào)制等于當(dāng)前目標(biāo)速度的調(diào)制結(jié)果。即

因此，基于準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)近似，即將運動散射元的散射強(qiáng)度和靜止散射元的散射強(qiáng)度等同，等價于將如下兩個電磁散射問題的解等同，問題A在雷達(dá)參考系中，入射電磁場邊界條件為（Ei，Hi），準(zhǔn)靜態(tài)散射體的散射場，；問題B在目標(biāo)參考系中，入射電磁場邊界條件為（Ei（r'），Hi（r'）），散射體的散射場。A和B滿足相同的電磁學(xué)規(guī)律，可用相同的數(shù)學(xué)形式刻畫，其區(qū)別在于邊界條件的形式差異。因此，準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)的實質(zhì)是將電磁散射偏微分方程（或其等價積分方程）的邊界條件入射電磁場，從（Ei（r'），Hi（r'））空間分布形式近似為（Ei，Hi）的均勻分布形式。入射場的偏差為（δEi（r'），δHi（r'）），其中δEi（r'）=Ei（r'）-Ei，δHi（r'）=Hi（r'）-Hi。散射場［Es（r），Hs（r）］，為入射場［Ei（r'），Hi（r'）］的泛函，表示在給定邊界條件對電磁散射的偏微分方程的求解，電磁散射的精確解為EMScattering（Ei（r'），Hi（r'））類似地，準(zhǔn)靜態(tài)近似解為EMScattering（Ei，Hi），偏差［δEs（r），δHs（r）］= EMScattering［δEi（r'），δHi（r'）］。若（δEi（r'），δHi（r'））為小量，即為小量，則由此引發(fā)的散射場偏差也為小量［7］。對于雷達(dá)目標(biāo)而言，其運動均處于非相對論層面，電磁散射入射場的精確形式與近似形式主要體現(xiàn)在微小的多普勒頻移上，多普勒頻移相對雷達(dá)信號的載頻及其微小，因而可以認(rèn)為入射場準(zhǔn)靜態(tài)近似是小量近似，從而可得散射場的近似解與精確解的偏差為小量，因而雷達(dá)目標(biāo)的準(zhǔn)靜態(tài)近似合理的。

3 結(jié)束語

本文從電磁場在雷達(dá)參考系和目標(biāo)參考系的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系出發(fā)，構(gòu)建了適用于動態(tài)目標(biāo)的精確電磁散射模型，模型立足于目標(biāo)參考系中非均勻邊界條件電磁散射問題的求解，化解了雷達(dá)參考系中的非穩(wěn)態(tài)電磁系統(tǒng)的復(fù)雜表征，具有一定的普適性，適用于任何幾何、材料和運動形式的空間目標(biāo)。在對模型分析的基礎(chǔ)上，討論了基于準(zhǔn)靜態(tài)原理的動態(tài)目標(biāo)電磁散射計算的合理性和適用范圍。

［1］盛新慶.計算電磁學(xué)要論［M］.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2008.

［2］Ishimaru A.Electromagnetic wave propagation，radiation，and scattering［M］.Prentice Hall Englewood Cliffs，NJ，1991.

［3］Feynman R P，Leighton R B，Sands M L，et al.費恩曼物理學(xué)講義［M］.上海科學(xué)技術(shù)出版社，2005.

［4］向道樸.微多普勒回波模擬與微動特征提取技術(shù)研究［D］.長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2010.

［5］趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程:電磁學(xué)［M］.北京:高等教育出版社，2008.

［6］鐘珊珊.沖擊線性信號的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仿真［J］.重慶工商大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2014，31（1）:69-73.

［7］Chen V.The micro-Doppler effect in radar［M］.Artech House，2011.

［8］Dieudonné J.History of Functional Analysis［M］.North-Holland，1983.

（責(zé)任編輯楊繼森）

EM Scattering Model of Dynamic Rigid Target

ZHOU Cheng-hong，QIAN Wei-ping，GUO Yong-qiang
（Key Laboratory for Space Target Measurements，Beijing Institute of Tracking and Telecommunications Technology，Beijing 100094，China）

The EM scattering properties of static radar targets can be calculated accurately with mature computational EM methods，while dynamic targets are approximated under the quasi-static principle. Based on the transformation of Maxwell's equations and electromagnetic field boundary condition between radar reference frame and target reference frame，a mathematical of dynamic EM scattering problem，the so-called Maxwell's equations problems with non-uniform boundary condition，was put forward in target reference frame.Besides，the theoretical basis of quasi-static approximation was discussed，and we pointed out that it is appropriate for target with sub-relativistic velocity.

rigid motion；EM scattering；reference frame transformation；quasi-static principle

周城宏，錢衛(wèi)平，郭永強(qiáng).動態(tài)目標(biāo)的電磁散射模型［J］.四川兵工學(xué)報，2015（11）：138-140.

format：ZHOU Cheng-hong，QIAN Wei-ping，GUO Yong-qiang.EM Scattering Model of Dynamic Rigid Target［J］. Journal of Sichuan Ordnance，2015（11）：138-140.

TM15

A

1006-0707（2015）11-0138-03

10.11809/scbgxb2015.11.037

2015-06-02

周城宏（1989—），男，助理研究員，主要從事認(rèn)知雷達(dá)、雷達(dá)目標(biāo)特性研究。