王國(guó)學(xué)??

與以往的教材很不同，新課程設(shè)計(jì)和教材編排都體現(xiàn)了“螺旋式上升”的原則，一個(gè)模塊的知識(shí)分散在幾本書中，“螺旋式上升”地呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)的重要概念、定理與思想方法.在具體的教學(xué)過(guò)程中，我們對(duì)“螺旋式上升”內(nèi)容的處理很不順手.本文將分析理解新課程“螺旋式上升”的展現(xiàn)方式，并思考使我們教學(xué)更加流暢的方法.

1 從課程內(nèi)容的安排上體現(xiàn)“螺旋式上升”

新課程在內(nèi)容的安排上體現(xiàn)了“螺旋式上升”的原則，例如：

（1）函數(shù)方面：在《數(shù)學(xué)1》（函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)），《數(shù)學(xué)4》（三角函數(shù)），《數(shù)學(xué)5》（數(shù)列），《數(shù)學(xué)22》（導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用）都分階段，分層次逐步深入學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容.

（2）概率方面：《數(shù)學(xué)3》（隨機(jī)事件的概率），《數(shù)學(xué)23》（隨機(jī)變量及其分布）.

（3）立體幾何方面：《數(shù)學(xué)2》（空間幾何體，點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系），《數(shù)學(xué)21》（空間向量與立體幾何）.

（4）解析幾何方面：《數(shù)學(xué)2》（直線與方程，圓與方程），《數(shù)學(xué)21》（圓錐曲線與方程）.

（5）向量方面：《數(shù)學(xué)4》（平面向量），《選修21》（空間向量與立體幾何）.

（6）不等式方面：《數(shù)學(xué)5》（不等式），《選修45》（不等式選講）.

（7）三角方面：《數(shù)學(xué)4》（三角函數(shù)），《數(shù)學(xué)5》（解三角形）.

（8）數(shù)學(xué)歸納法方面：《數(shù)學(xué)22》（推理與證明），《數(shù)學(xué)45》（數(shù)學(xué)歸納法證明不等式）.

（9）回歸分析方面：《數(shù)學(xué)3》第二章第三節(jié)：變量間的相關(guān)關(guān)系，《數(shù)學(xué)23》第三章：統(tǒng)計(jì)案例.

（10）算法框圖方面：主要內(nèi)容在《數(shù)學(xué)3》中出現(xiàn)，但算法思想貫穿整套教材.

2 從課本的例題及習(xí)題中體現(xiàn)“螺旋式上升”

教材在例題及習(xí)題的安排上也體現(xiàn)了“螺旋式上升”，相同或相近的題目或例題在不同模塊中出現(xiàn)，意圖一是鞏固對(duì)本章節(jié)知識(shí)的理解和運(yùn)用，二是加強(qiáng)前后知識(shí)的理解，突出數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的縱向聯(lián)系和對(duì)其數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解.

Ⅰ.（1）《數(shù)學(xué)4》第108頁(yè)習(xí)題2.4 B組第3題.證明：對(duì)于任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）.

（2）《數(shù)學(xué)45》第32頁(yè)定理1.（二維形式的柯西不等式）對(duì)于任意a，b，c，d∈R，則（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，等號(hào)成立.

柯西不等式在不同模塊中出現(xiàn)，在《數(shù)學(xué)4》中主要是加深學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積的理解運(yùn)用.在《數(shù)學(xué)45》中課本用多種方法對(duì)柯西不等式進(jìn)行了證明，其中也就包括了用向量的數(shù)量積來(lái)證明，既加深了學(xué)生對(duì)柯西不等式的理解，又聯(lián)系了前面所學(xué)的平面向量知識(shí)，同時(shí)一題多解，也能鍛煉學(xué)生的發(fā)散性思維，可謂一舉三得.

Ⅱ.（1）《數(shù)學(xué)1》第48頁(yè)“指數(shù)函數(shù)”問(wèn)題2：當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會(huì)按確定的

規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律，人們獲

得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系P=（12）t5730.

（2）《數(shù)學(xué)1》第59頁(yè)習(xí)題2.1第9題：當(dāng)死亡生物組織內(nèi)的碳14的含量不足死亡前的千分

之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到碳14了.若死亡生物組織內(nèi)的碳14經(jīng)過(guò)9個(gè)“半衰期”后，用一般的放射性探測(cè)器能測(cè)到碳14嗎？

（3）《數(shù)學(xué)1》第67頁(yè)例6：生物機(jī)體內(nèi)碳14的“半衰期”為5730年，湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓

女尸出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的76.7%，試推算馬王堆古墓的年代.

（4）《數(shù)學(xué)5》第54頁(yè)習(xí)題2.4 B組第2題：放射性元素在t=0時(shí)的原子核總數(shù)為N0，經(jīng)

過(guò)一年原子核總數(shù)衰變?yōu)镹0q，常數(shù)q稱為年衰變率.考古學(xué)中常利用死亡的生物體中碳14元素穩(wěn)定持續(xù)衰變現(xiàn)象測(cè)定遺址的年代.已知碳14的半衰期為5730年，那么，①碳14的年衰變率是多少（精確到0.16）？②某動(dòng)物標(biāo)本中碳14的含量為正常大氣中碳14含量的60%（即衰變了40%），該動(dòng)物大約在距今多少年前死亡？

（1）和（2）都是出現(xiàn)在《數(shù)學(xué)1》的指數(shù)函數(shù)這一節(jié)，分別出現(xiàn)在開篇引題及課后習(xí)題中，前后呼應(yīng)，合起來(lái)就是一道比較簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)應(yīng)用題.（3）出現(xiàn)在《數(shù)學(xué)1》的對(duì)數(shù)函數(shù)這一節(jié)，是一道對(duì)數(shù)函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用題，一是對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，二是對(duì)前面兩道題的再一次回顧，三是體現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算是互為逆運(yùn)算.（4）是出現(xiàn)在《數(shù)學(xué)5》數(shù)列這一章“等比數(shù)列”這一節(jié)，是一道等比數(shù)列的應(yīng)用題，目的一是可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，二是可以結(jié)合前面的函數(shù)應(yīng)用的例題，使學(xué)生體會(huì)及了解“數(shù)列”是一種特殊的函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生用函數(shù)的思想方法去解決數(shù)列問(wèn)題的意識(shí).

Ⅲ.求方程的近似解

（1）《數(shù)學(xué)1》第89頁(yè)“用二分法求方程的近似解”.

（2）《數(shù)學(xué)1》第93頁(yè)：信息技術(shù)應(yīng)用——借助信息技術(shù)求方程的近似解.

（3）《數(shù)學(xué)3》第4頁(yè)例2：寫出用“二分法”求方程x2-2=0（x>0）的近似解的算法.

（4）《數(shù)學(xué)3》第17頁(yè)：畫出程序框圖：表示用“二分法”求方程x2-2=0（x>0）的近似解

的算法.

（5）《數(shù)學(xué)22》第20頁(yè)“探究與發(fā)現(xiàn)——牛頓法（用導(dǎo)數(shù)方法求方程的近似解）”.

學(xué)生在初中就已初步接觸近似計(jì)算，在高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)求方程的近似解，重點(diǎn)及難點(diǎn)有兩個(gè)，一是求近似解的方法，二是求近似解的原理.《數(shù)學(xué)22》第21頁(yè)讓學(xué)生比較求方程近似解的方法，符合高中生現(xiàn)有的認(rèn)知水平.另外，《數(shù)學(xué)3》第二章第三節(jié)的“變量間的相關(guān)關(guān)系”及《數(shù)學(xué)23》第三章的“統(tǒng)計(jì)案例”也是屬于這一類型的內(nèi)容，體現(xiàn)了從簡(jiǎn)單到難，從不變到變的一個(gè)過(guò)程.

從對(duì)課本習(xí)題的比較分析可知，教材對(duì)例題及習(xí)題的編寫也盡可能地體現(xiàn)著螺旋式上升的原則，就是要通過(guò)在不同的章節(jié)和內(nèi)容中加以應(yīng)用，不斷加深理解，進(jìn)而逐漸掌握，這樣的習(xí)題設(shè)置加強(qiáng)了前后所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，體現(xiàn)了整體性.

3 “螺旋式上升”內(nèi)容的處理方式

在具體教學(xué)過(guò)程中，我們對(duì)“螺旋式上升”內(nèi)容的銜接教學(xué)很不順手，主要體現(xiàn)在：一是對(duì)于一個(gè)模塊的知識(shí)教學(xué)不能“一瀉千里”，只能“擠牙膏”，每每讓人感到意猶未盡；二是由于時(shí)效性的影響，學(xué)生從學(xué)完同一內(nèi)容的前期基礎(chǔ)知識(shí)“螺旋”到該模塊進(jìn)階內(nèi)容的學(xué)習(xí)時(shí)，已經(jīng)將前期所學(xué)忘得差不多，由此造成對(duì)進(jìn)階內(nèi)容學(xué)習(xí)有較大陌生感的現(xiàn)象；三是因?qū)W生對(duì)前期基礎(chǔ)內(nèi)容的遺忘，導(dǎo)致教師在新內(nèi)容的教學(xué)過(guò)程中需要不斷地放慢腳步加以提點(diǎn)，增加了教學(xué)進(jìn)度和教學(xué)時(shí)間的矛盾，且學(xué)生的學(xué)習(xí)效果也大打折扣.

那么對(duì)于體現(xiàn)“螺旋式上升”教學(xué)理念的新教材及教學(xué)模式給教師帶來(lái)的以上困惑，教師在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中該怎樣處理以上矛盾，使我們的教學(xué)更加流暢，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效果？

3.1 認(rèn)清“螺旋式上升”的特點(diǎn)及其優(yōu)越性

“螺旋式上升”教學(xué)的目的是優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，使學(xué)生循序漸進(jìn)地掌握知識(shí)，提升能力.“螺旋式上升”不是簡(jiǎn)單的將同一模塊的知識(shí)分在不同的學(xué)時(shí)或?qū)W期講授，而是需要注重知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系，加強(qiáng)知識(shí)的層次性，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握步步為營(yíng)、層層遞進(jìn)、逐步加深.作為老師要充分認(rèn)清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的螺旋式上升的特點(diǎn)，這樣才能保證“螺旋式上升”教學(xué)的有效性.

3.2 鉆研教材，準(zhǔn)確定位

教師應(yīng)認(rèn)真閱讀、理解、體會(huì)整套新課程教材，對(duì)新課標(biāo)中螺旋式上升的知識(shí)脈絡(luò)進(jìn)行準(zhǔn)確的把握和定位，才能在教學(xué)中胸有成竹，哪些需要事先作些鋪墊，哪些需要稍作補(bǔ)充，哪些不需要在第一階段就一定要求讓學(xué)生掌握，可以逐步深入，在以后慢慢理解.例如《一元二次不等式的解法》這一內(nèi)容的完整章節(jié)是放在必修5中的，但事實(shí)上在必修1《集合》一章中必定會(huì)遇到解一元二次不等式甚至是絕對(duì)值不等式的問(wèn)題，所以在必修1中，只需要簡(jiǎn)單地介紹一元二次不等式的解法，要求學(xué)生只要會(huì)解簡(jiǎn)單的一元二次不等式即可.在必修5中再具體地分析二次函數(shù)圖象、一元二次方程的根和一元二次不等式解集的關(guān)系.以“滾雪球”的方式積累學(xué)生的知識(shí)量，讓學(xué)生有較大的空間去理解和接受.

3.3 加強(qiáng)針對(duì)性復(fù)習(xí)

“螺旋式上升”教學(xué)過(guò)程中，在講某一知識(shí)的進(jìn)階內(nèi)容時(shí)，學(xué)生經(jīng)常忘記之前學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)內(nèi)容，通常需要教師引導(dǎo)著再?gòu)?fù)習(xí)一遍，如果忽略了學(xué)生對(duì)于前期知識(shí)復(fù)習(xí)的需求，則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)難于理解，學(xué)習(xí)效率降低.若在進(jìn)行新內(nèi)容教學(xué)之前，先引領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)的前期內(nèi)容，溫故知新，逐步加深拓展，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握逐步牢固，逐步深刻，就真正做到了“螺旋式上升”！

總之，學(xué)無(wú)止境，教亦無(wú)止境.教師只有不斷地鉆研教材，才會(huì)逐步領(lǐng)悟新課程的理念和編者的意圖.才能根據(jù)學(xué)生的具體情況作出更適合本班學(xué)生的螺旋式上升的教學(xué)安排，做到全盤統(tǒng)籌，循序漸進(jìn)，才能取得更好的教學(xué)效果.

作者簡(jiǎn)介 王國(guó)學(xué)，男，湖北十堰人，1984年4月生，中學(xué)數(shù)學(xué)一級(jí)教師，發(fā)表論文8篇.