蘇步青先生是20世紀對中國數(shù)學教育影響重大的數(shù)學大家，他親臨中小學第一線，為中學數(shù)學教師授課.在上世紀60年代主持編寫上海市中學數(shù)學教材時，蘇先生提出中小學教材可以“混而不錯”的原則，率先放棄幾何公理的獨立性，增設了幾何公理，強調(diào)代數(shù)與幾何的融合.“混而不錯”的教學理念，破除了過度形式主義的枷鎖，有利于“與時俱進”地引入現(xiàn)代化的數(shù)學思想[1].高中數(shù)學課程標準也指出：“形式化是數(shù)學的基本特征之一.在數(shù)學教學中，學習形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表述，要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識，否則會將生動活潑的數(shù)學思維活動淹沒在形式化的海洋里.數(shù)學的現(xiàn)代發(fā)展也表明，全盤形式化是不可能的.因此，高中數(shù)學課程應該返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程的本質(zhì).”從上述論斷中不難體會，適度地形式化是中學數(shù)學教材編寫和數(shù)學教學實踐的基本準則，“混而不錯”是適度形式化、部分數(shù)學內(nèi)容非形式化的經(jīng)典論斷.

筆者在教學實踐中強烈地感受到“混而不錯”原則的重要價值，下面結(jié)合學習相關(guān)文獻的體會，以滬教版高中數(shù)學教材為例，談談筆者對“混而不錯”的膚淺認識.

1 “混而不錯”的理論支撐和實踐背景

“混”，就是非形式化的意思，是數(shù)學教育中采用的非形式化方法.從數(shù)學概念和原理的發(fā)生發(fā)展的歷史來看，很多概念都經(jīng)歷了漫長的演變過程.比如，牛頓、萊布尼茨時代的微積分沒有形式化，微積分從非形式化的直觀語言發(fā)展到ε-N，ε-δ的形式語言經(jīng)歷了兩個世紀.認知的歷史發(fā)生原理表明，學生學習數(shù)學的認知過程與數(shù)學發(fā)展過程史存在一定的聯(lián)系，對于某些內(nèi)容兩者確實存在較強的同構(gòu)關(guān)系.所以，在高中有限的學習時間里介紹極限概念和微積分，不得不用非形式化方法進行處理，滬教版高中數(shù)學教材中在數(shù)列極限部分就沒有引入ε-N語言，而是借助于直觀的語言描述極限概念.

“混而不錯”與陳重穆先生提出的“淡化形式，注重實質(zhì)”有異曲同工之妙，兩者其實都是關(guān)注于數(shù)學思想的發(fā)生和發(fā)展，而形式化、嚴格化則是后來用邏輯整理歷史的結(jié)果.因此，在編寫教材時本著以史為鑒的原則，就應該對某些教學難點問題采取“混而不錯”的非形式化處理方法.可以說，數(shù)學發(fā)展史是“混而不錯”的理論支撐.

張奠宙教授認為，隨著教育的普及，數(shù)學課程成為人人必修的科目，“簡單化”的大眾數(shù)學也就隨之而來[2].這就要求我們在教材編寫和教學實踐中采取適當?shù)姆切问交椒ㄉ钊霚\出地處理某些數(shù)學內(nèi)容，讓學生容易接受，例如長度、面積、體積的概念，只能模糊地描述，總不能要求中小學生去理解“某集合類上定義的有限可加、運動不變的正則測度”.所以說，大眾數(shù)學是“混而不錯”的實踐背景.

2 “混而不錯”的內(nèi)涵和教材中的典型案例

在數(shù)學教育上，非形式化已成為必不可少的手段，問題是如何掌握以使之適當.中學教材中有些說不清楚的東西暫時可以“混”過去，但不要錯.“不錯”是大前提，關(guān)注的是大方向、本質(zhì)；“混”是放松嚴格性的要求，現(xiàn)階段講不清楚的問題用寫意的方式說明，但仍不失其真.

上面這段話闡釋了“混而不錯”的內(nèi)涵：在教材編寫中“混”是為了容易接受；“不錯”，則是不能離開數(shù)學本質(zhì).無論是給出結(jié)論還是增加公理，處理教材的各種“混”的方式都確保了“不錯”的原則前提，給出的結(jié)論和增加的公理本身都是正確的.

教材鑒于學生知識不足和使其問題避繁就簡、易于接受的考慮，在“混而不錯”原則的指導下對某些問題作了淺引和回避處理，除了上文提到的例子外，在滬教版高中數(shù)學教材中有多處運用“混而不錯”原則進行內(nèi)容處理的典型案例.

在函數(shù)部分，對指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的研究是通過圖象的，而作圖的依據(jù)是描點后用光滑曲線連接，至于描什么點才能正好反映出函數(shù)圖象的準確性態(tài)，這是微分學的問題，可以放到大學數(shù)學中學習和研究，因而高中教材中回避了嚴格作圖的問題.

在三角部分，教材“任意角的概念”部分的編寫也是秉承著“混而不錯”的原則.角的定義在高中階段推廣到任意角，這種推廣包括“形”上有所突破——規(guī)定了正角、負角和零角；在“數(shù)”上有所創(chuàng)新——引入弧度制使角與數(shù)達到某種統(tǒng)一.然而對于這種有向角的運算（如加、減），教材中并沒有專門研究，而是默認與實數(shù)的運算類似（實際是將有向角與實軸上的實數(shù)一一對應），教材默認的任意角的運算，直接體現(xiàn)在“誘導公式”、“兩角和與差的三角函數(shù)”等三角恒等式的推導過程中.

在解析幾何部分，求曲線方程的步驟中，驗證方程的純粹性較為復雜，滬教版教材中省略了這個步驟，指出“……證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點（在本教材中，這一步不作要求）”[3].

在立體幾何部分，蘇步青先生在編寫中小學教材時“增設幾何公理”的做法影響深遠.比如，從人教社甲種本教材到如今各版本新教材的立體幾何部分中都有平行公理（公理4）.

公理4 平行于同一條直線的兩條直線相互平行[4].

該公理是可以由平面的平行公設（第五公設）和立體幾何中的三個公理加以證明的.

證明：已知a∥b，b∥c，求證：a∥c.

證明 若a，b，c共面，假設a∩c=M，則過M有兩條直線與b平行，與平行公設矛盾.

下面只考慮a，b，c不共面的情況.

首先，兩條平行直線a，b確定平面α，兩條平行直線b，c確定平面β，α∩β=b.

在c上取一點P.若P∈a，則P是α，β的公共點，故P∈b，與b∥c矛盾，故Pa，P，a確定平面γ.顯然β，γ不重合，記β∩γ=d.

倘若α，γ重合，則P是α，β的公共點，故P∈b，與b∥c矛盾，故α，γ不重合，α∩γ=a.

若a∩d=A，則A∈aA∈α，A∈dA∈β，所以A∈b，與a∥b矛盾，故a∥d.

若b∩d=B，則B∈bB∈α，B∈dB∈γ，所以B∈a，與a∥b矛盾，故b∥d，而在同一平面β內(nèi)，b∥c，P是c，d公共點，故c，d重合.

綜上，a∥c.公理4證明完畢.

在概率部分，最典型的“混而不錯”的例子是概率的統(tǒng)計定義，“頻率在大數(shù)次試驗中穩(wěn)定于某一常數(shù)（概率）”[4]，在大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率μnn會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么事件A發(fā)生的概率PA=p.頻率μnn穩(wěn)定于概率p，并不是limn→∞μnn=p的意思，而是指：當n很大時，事件（[JB（|]μnn-p[JB）|]≥ε）發(fā)生的可能性很小，也就是說“對任意ε>0，有l(wèi)imn→∞P（[JB（|]μnn-p[JB）|]<ε）=1”，即頻率依某種收斂意義趨于概率，滿足概率論中的大數(shù)定律，而不是說頻率的極限就是概率.由于嚴格的定義超出高中生的理解能力，因此教材在概率的統(tǒng)計定義方面做了“混而不錯”的處理——以直觀的語言描述代替嚴格的符號定義.

3 對教材編寫“混”與“不混”的兩點建議

深刻理解和切實貫徹“混而不錯”原則，還應考慮適度形式化的另一方面：對于高中生能夠理解的形式化表述，應該力求精準不“混”，在教材編寫、教學實踐和考試評價中應保持概念的一致性.眾所周知，明確的概念是每個系統(tǒng)（教材就是一個系統(tǒng)）科學敘述的起點，課堂教學及數(shù)學習題中所提供的概念應以本系統(tǒng)所提供的為準，既不能出現(xiàn)本系統(tǒng)所未定義的概念，也不能違背本系統(tǒng)對概念的定義而作任何其他的解釋，否則會導致學生思維的混亂.為此，筆者對教材編寫提出兩點相關(guān)建議.

第一，對于某些概念細節(jié)的“規(guī)定”應盡量精準、全面，避免不必要的“爭鳴”.比如，“空集是否有限集”的問題，教材中沒有明確規(guī)定，一線教師對此產(chǎn)生了不同的理解.人教A版是在“集合間的基本關(guān)系”中引入空集概念，蘇教版和滬教版都在“集合及其表示”中引入空集概念，并且都緊接在“有限集、無限集”概念后面，容易被誤認為是第三類別，這是引發(fā)“空集是否有限集”爭論的重要原因.筆者翻閱了一些老教材，發(fā)現(xiàn)在人教社甲種本教材中，有限集和無限集是在“集合及其表示”中提出的，空集是在“集合的運算”中才出現(xiàn)的.實際上，定義空集是為了使得任何兩個集合的交集運算的結(jié)果依然是集合，也就是說，空集的出現(xiàn)是因為運算的需要，空集并不是集合分類中與“有限集”“無限集”并列的第三類別.在數(shù)學知識結(jié)構(gòu)中，為了系統(tǒng)的完備，需要定義一些概念，比如“零向量”本身并沒有研究其方向性的必要，這個概念的提出只是因為向量加減法運算的需要.在編寫教材時，可以在定義“空集”概念之后，附帶一句“空集是有限集”以避免讀者混淆.

第二，在“一綱多本”背景下，對于同一概念，各版本教材應力圖表述一致.同一概念在各版本教材中的不盡相同的形式化表述，給一線教學和考試命題帶來了不少困擾.比如，高中數(shù)學教材對一元二次方程根的個數(shù)問題沒有專門規(guī)定，只是在相關(guān)問題涉及時“點到為止”，而各版本教材的約定是不盡相同的.人教A版在論及曲線與直線交點個數(shù)時[5]提到：對于方程ky2-4y+42k+1=0，當k≠0，Δ=0時方程只有一個解，而滬教版高中數(shù)學教材編寫者的觀點則體現(xiàn)在下面的例子中：

例1 （滬教版教材配套練習題[6]）已知α，β是方程4x2-4mx+m+2=0的兩個實數(shù)根.當m為何值時，α2+β2有最小值？并求出這個最小值.

教學參考資料上給出的答案是：當m=-1時取最小值12.而此時Δ=0，說明教材編寫者的觀點是：Δ=0時方程有兩個（相等的）根.

正是由于各版本教材約定不一致，導致一線教師爭論不休，下面的例題就是日常教學中經(jīng)常遇到的概念“混”、教師爭議較多的問題.

例2 如果方程x2-ax+2=0在區(qū)間（0，3）內(nèi)有且只有一個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是 .（參考答案：a≥113或a=22.）

既可認為a=22時Δ=0，方程有兩個（相等的）根，也可以認為此時方程只有一個根，兩種看法都能做出合理的解釋.這樣的問題絲毫無關(guān)數(shù)學的本質(zhì)，除了教材編寫者應該明確規(guī)定相關(guān)概念外，習題的命題人也應該規(guī)避這種教材中沒有明確的統(tǒng)一規(guī)定的、“混”而無益于數(shù)學教學實效的概念.

章建躍先生指出：“課本是使學生學做人做事的基本載體，脫離課本的教學不是好數(shù)學教學.教師最基本且重要的職責是教好課本，而‘教課本的核心是‘教概念.”[7]作為教學和評價的依歸，課本的重要性不言而喻，各版本教材中概念的形式化表述的一致性是當前“一綱多本”背景下產(chǎn)生的新問題，也是教材編寫者亟待解決的大問題.

編寫教材時應該靈活運用“混而不錯”的原則，注重適度形式化，在課堂教材實踐中也應如此.數(shù)學是嚴謹?shù)目茖W，而在中學數(shù)學教學中，“混而不錯”原則揭示了數(shù)學的另一面——適度的非形式化通向數(shù)學本質(zhì)的理解，通向“簡單化”的大眾數(shù)學的普及，通向全體國民整體數(shù)學素養(yǎng)的提高.

參考文獻

[1] 張奠宙，于波.數(shù)學教育的“中國道路”[M].上海：上海教育出版社，2013：61-62.

[2] 張奠宙.大眾化和“簡單化”[J].數(shù)學教學，2012（5）：封底.

[3] 袁震東主編.高級中學課本數(shù)學高中二年級第二學期（試用本）[M].上海：上海教育出版社，2008，1：34.

[4] 袁震東主編.高級中學課本數(shù)學高中三年級（試用本）[M].上海：上海教育出版社，2008，8：9，92.

[5] 劉紹學主編.普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學（選修2-1）[M].北京：人民教育出版社，2007，2：71-72.

[6] 袁震東主編.高級中學課本數(shù)學練習部分高中一年級第一學期（試用本）[M].上海：上海教育出版社，2006，8：35.

[7] 章建躍.以課本為本才是好數(shù)學教學[J].中小學數(shù)學（高中版），2011（10）：封底.作者簡介 任念兵，男，1981年生，安徽安慶人.上海市浦東新區(qū)骨干教師，曾獲第六屆全國高中數(shù)學青年教師教學評優(yōu)一等獎，在《中學數(shù)學雜志》等數(shù)學教育刊物上發(fā)表文章50余篇.