胡緒　宋曉林

摘 要 培養(yǎng)和完善學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，是學(xué)校數(shù)學(xué)教育的應(yīng)然取向。優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維具有主動(dòng)、靈活、全面、合理、深刻等特征。在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面，教師應(yīng)以數(shù)學(xué)教育者的身份，引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)地探索數(shù)學(xué)世界；抓住細(xì)節(jié)提升學(xué)生思維品質(zhì)；給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和充分的表達(dá)機(jī)會(huì)；提倡與培養(yǎng)懷疑和批判精神；調(diào)整評價(jià)思路，重視對學(xué)生思維發(fā)展和完善程度的診斷。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)教育 數(shù)學(xué)思維 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 數(shù)學(xué)教育變革

鄭毓信先生在《“數(shù)學(xué)與思維”之深思》一文中闡釋了“有效促進(jìn)學(xué)生的思維應(yīng)成為判斷數(shù)學(xué)課成功與否的主要標(biāo)志”，“數(shù)學(xué)教育應(yīng)當(dāng)致力于促進(jìn)學(xué)生更積極地去進(jìn)行思考”[1]。無論是從關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和激情，還是從長遠(yuǎn)培養(yǎng)高素養(yǎng)數(shù)學(xué)人才來看，數(shù)學(xué)教育都應(yīng)該注重幫助學(xué)生擁有高品質(zhì)的數(shù)學(xué)思維，讓數(shù)學(xué)真正成為優(yōu)美的思維體操。

一、數(shù)學(xué)教育應(yīng)關(guān)注并促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展和完善

當(dāng)前“重知識(shí)、重分?jǐn)?shù)”等頑固思想引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教育不可避免地陷入困頓的境地。譬如，精講多練后，師生仍會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握起來是那么的困難；學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中也會(huì)表現(xiàn)出思維惰性，他們不假思索地將一種題型的解法應(yīng)用到類似題目上，而往往忽略兩者的差別。究其原因，一部分學(xué)生是不知從何入手解決問題，他們的思維似乎成為了“籠中困獸”，無法施展才能；另有一部分學(xué)生是由于在解決數(shù)學(xué)問題的過程中考慮不全面、不深入、不細(xì)致，對問題一知半解，導(dǎo)致錯(cuò)誤發(fā)生。

眾多數(shù)學(xué)教師將這些問題歸咎于學(xué)生個(gè)人的態(tài)度、方法、基礎(chǔ)或智力等，并未深究自己所遵循的數(shù)學(xué)教育理念和方法是否真正培養(yǎng)和釋放了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活力。因此，教師繼續(xù)采用題海戰(zhàn)術(shù)，讓學(xué)生重復(fù)練習(xí)相同、相似的知識(shí)和問題。如此一來，學(xué)校數(shù)學(xué)教育中的教與學(xué)就陷入迷失般的惡性循環(huán)。

可見，雖然現(xiàn)有學(xué)校數(shù)學(xué)教育能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，但這個(gè)結(jié)果并不是教育者首先關(guān)注的重點(diǎn)，而是他們追求分?jǐn)?shù)的“副產(chǎn)品”。也可以說，這個(gè)結(jié)果是數(shù)學(xué)學(xué)科固有的功能。我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育不能只憑“本能”發(fā)展，而須將促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展和完善的功能發(fā)揮到最大。因此，我們需要將數(shù)學(xué)教育的關(guān)注點(diǎn)放在學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和完善上，超越只看分?jǐn)?shù)并以分?jǐn)?shù)定學(xué)生優(yōu)劣的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而探索思維取向的數(shù)學(xué)教育須要關(guān)注的維度，以及在實(shí)踐中切實(shí)可行的培養(yǎng)路徑。最終實(shí)現(xiàn)，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)發(fā)展數(shù)學(xué)思維，能進(jìn)行數(shù)學(xué)式思考，并嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亟鉀Q數(shù)學(xué)問題。

二、學(xué)校數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的維度

1.數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和完善須要以主動(dòng)參與為前提

在學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)學(xué)困生和學(xué)優(yōu)生的一個(gè)顯性差別就是，后者在學(xué)習(xí)中比前者更加主動(dòng)地思考、探究數(shù)學(xué)問題，更愿意體驗(yàn)思索數(shù)學(xué)問題帶來的樂趣，而前者缺乏思維意識(shí)進(jìn)而對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去興趣，認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的數(shù)字堆積。此外，兩者數(shù)學(xué)思維整體性也存在差異。前者由于沒有主動(dòng)思維心向的指引，整個(gè)思維結(jié)構(gòu)殘缺不全，解題過程漏洞百出，問題五花八門；而后者的學(xué)習(xí)和解題過程明顯表現(xiàn)出一定的準(zhǔn)備態(tài)勢，他們的注意力會(huì)集中在將要開始的學(xué)習(xí)和解題上，從心里做好展開思維的準(zhǔn)備，這種主動(dòng)性也會(huì)延續(xù)到接下來的思維活動(dòng)中，維系了整個(gè)學(xué)習(xí)和解題過程。因此，優(yōu)秀的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)需以積極主動(dòng)參與為前提，激發(fā)學(xué)生的思維活力。

2.數(shù)學(xué)思維須要有進(jìn)行全面細(xì)致考慮的意識(shí)和習(xí)慣

學(xué)生理解、應(yīng)用數(shù)學(xué)都是以問題為中心，“圍繞問題，數(shù)學(xué)教學(xué)過程得以展開，隨著問題解決的過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到鍛煉。”[2]所以，學(xué)生對數(shù)學(xué)問題認(rèn)識(shí)的全面、細(xì)致程度反映了其思想的發(fā)展與完善程度。

然而，無論是學(xué)生通過問題認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，還是以數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，都需要做到“三清楚”：第一，將問題審清楚。在這個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生需要對問題本身有清楚、全面的認(rèn)識(shí)，能明確問題中的條件，并能對條件進(jìn)行初步的分析，嘗試得出可能有用的其他信息。同時(shí)，需要明確待解決的具體問題，并嘗試對問題進(jìn)行分解或與已知條件和嘗試性結(jié)論建立聯(lián)系。第二，將思路理清楚。這是對前一環(huán)節(jié)的繼承，也是基于問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題的核心，同時(shí)還是考量學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展和完善程度的核心指標(biāo)。需要特別說明的是，這一過程本身極具教育意義，學(xué)生可以從中體驗(yàn)到解決數(shù)學(xué)問題的思路并不是一成不變的，通過猜想、嘗試、驗(yàn)證等方式可以從不同的角度找到解決問題的思想。第三，將結(jié)果表達(dá)清楚。數(shù)學(xué)是種交際語言，它能溝通不同人的思想。因此，數(shù)學(xué)問題最終需要得到清楚地表達(dá)，才能擴(kuò)展其價(jià)值。這一環(huán)節(jié)對學(xué)生的要求是表達(dá)力求簡約、完整、規(guī)范。

不難發(fā)現(xiàn)，上述三環(huán)節(jié)都要求學(xué)生具有全面細(xì)致的思維意識(shí)和習(xí)慣。對數(shù)學(xué)問題似懂非懂，對問題中的條件及其蘊(yùn)含的信息考慮不周，以及對數(shù)學(xué)問題本身結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)不全面都不能學(xué)好數(shù)學(xué)。所以，數(shù)學(xué)教育應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維全面細(xì)致性的培養(yǎng)。

3.數(shù)學(xué)思維需要靈活性來維系其生命力

數(shù)學(xué)是“思維的體操”，這表明數(shù)學(xué)思維有“舞出美麗”的活力，而這種活力需要數(shù)學(xué)思維具有靈活性來彰顯和延續(xù)。這是認(rèn)識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)際需要所決定的。

首先，解決數(shù)學(xué)問題的思路和方法應(yīng)是靈活的?？v觀數(shù)學(xué)發(fā)展史，數(shù)學(xué)家常常會(huì)用幾十年甚至上百年的時(shí)間研究一個(gè)數(shù)學(xué)問題而不得解，但伴隨著新的思路和方法被發(fā)現(xiàn)，新的數(shù)學(xué)成果也應(yīng)運(yùn)而生。這表明，解決數(shù)學(xué)問題不能過于機(jī)械守舊，而應(yīng)重視思路和方法的靈活性，否則數(shù)學(xué)思維將得不到提升和完善。其次，靈活的數(shù)學(xué)思維能提升學(xué)生思維的遷移能力。在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果不佳的一個(gè)原因就是思維過于死板，將一種或幾種題型當(dāng)做萬能的，而不靈活分析和運(yùn)用相關(guān)知識(shí)。相反地，靈活的數(shù)學(xué)思維能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)問題和知識(shí)的理解，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的作用，進(jìn)而提升學(xué)生的遷移能力。

所以，欲提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，就須將靈活性作為培養(yǎng)目標(biāo)之一，以葆數(shù)學(xué)思維的生命活力。

4.數(shù)學(xué)思維須要兼顧有效與合理性，提升效度

數(shù)學(xué)是一門簡約而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，因此在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，數(shù)學(xué)思維須要彰顯其有效性與合理性。而在學(xué)校數(shù)學(xué)教育中，常有學(xué)生在解決問題時(shí)能很快找到思路，而在解決問題過程中，卻往往出現(xiàn)推進(jìn)不下去的情形。這表明，學(xué)生的思維雖理論上可行，但操作不便，并不利于解決問題，思維的效度比較低。

對此，我們應(yīng)認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)不僅是理論學(xué)科，同時(shí)也是應(yīng)用學(xué)科，合理并有效的思維才能真正促進(jìn)學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)，更有效地解決數(shù)學(xué)問題?？v觀數(shù)學(xué)史，有效合理的數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)突破的關(guān)鍵。所以，學(xué)校數(shù)學(xué)教育需重視學(xué)生有效的解題思維的培養(yǎng)。

5.數(shù)學(xué)思維需要深刻性來實(shí)現(xiàn)對知識(shí)的超越

最理想的數(shù)學(xué)教育是能讓學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，以辯證、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S探析數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)問題的本真。這就要求學(xué)校數(shù)學(xué)教育需在培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性方面做出更多努力，這也是最能反映出學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)優(yōu)劣的一個(gè)維度。如果學(xué)校數(shù)學(xué)教育能幫助學(xué)生擁有這樣的思維品質(zhì)，那么，數(shù)學(xué)教育者的使命就算是基本達(dá)成，數(shù)學(xué)教育也就超越了單純的數(shù)學(xué)和符號(hào)游戲，成為一項(xiàng)有創(chuàng)造性的活動(dòng)。

三、提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的教育策略探究

1.引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)地探索數(shù)學(xué)世界

實(shí)踐中，數(shù)學(xué)教育潛意識(shí)里遵循“分?jǐn)?shù)決定一切”的原則，將思維和分?jǐn)?shù)的關(guān)系本末倒置，學(xué)生數(shù)學(xué)思維主要是“被發(fā)展”。因此，我們認(rèn)為學(xué)生思維缺乏主動(dòng)性不是學(xué)校數(shù)學(xué)教育面臨困難的原因，而是學(xué)校數(shù)學(xué)教育造成的結(jié)果。

對此，在實(shí)踐中，我們引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)世界時(shí)應(yīng)注意適當(dāng)降低對數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)的期望，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)觀從“考高分”轉(zhuǎn)變?yōu)椤绑w驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維過程”。這樣的轉(zhuǎn)變能讓學(xué)生將更多的注意力集中在對學(xué)習(xí)和解題質(zhì)量的追求上，而不僅僅去追求學(xué)習(xí)和解題的數(shù)量。同時(shí)，還應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思維帶來的愉悅和成就，增大數(shù)學(xué)的吸引力。當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)和解題中出現(xiàn)困難時(shí)，及時(shí)提供精妙的解題思路和方法。通過實(shí)踐來看，學(xué)生此時(shí)的愉悅體驗(yàn)感最強(qiáng)，數(shù)學(xué)的吸引力也體現(xiàn)得淋漓盡致。

2.抓住細(xì)節(jié)提升學(xué)生思維品質(zhì)

思維的火花稍縱即逝，這就要求數(shù)學(xué)教師做一個(gè)“眼明手快”的人，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維細(xì)節(jié)中的亮點(diǎn)和漏洞。以往的數(shù)學(xué)教育主要關(guān)注學(xué)生顯性的知識(shí)問題，忽視學(xué)生隱性思維中的細(xì)節(jié)問題，故而就錯(cuò)改錯(cuò)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力并未得到提升。所以，教師應(yīng)透過“知識(shí)性”錯(cuò)誤分析“思維性錯(cuò)誤”，并開出相應(yīng)的處方。

同時(shí)，教師還應(yīng)做一個(gè)“畫龍點(diǎn)睛”的人，巧用細(xì)節(jié)升華學(xué)生思維能力。譬如，對于有一定閱讀量和思維量的問題，學(xué)生往往會(huì)忽視一些重要的細(xì)節(jié)，造成解題思路受阻，這就需要教師引領(lǐng)學(xué)生關(guān)注細(xì)節(jié)，達(dá)到“山窮水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果。

3.給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和充分的表達(dá)機(jī)會(huì)

著名數(shù)學(xué)家張伯駒先生告誡我們：“數(shù)學(xué)使我學(xué)會(huì)長時(shí)間的思考，而不是匆忙地去做出解答?！盵3]而學(xué)校數(shù)學(xué)教育中，過量的問題充斥整個(gè)學(xué)習(xí)過程，留給學(xué)生自己思考的時(shí)間極為有限，學(xué)生思維的深度和細(xì)致程度受到削弱，所收獲得只是題量而不是思維量。因此，學(xué)校數(shù)學(xué)教育者應(yīng)作相應(yīng)的轉(zhuǎn)變。

第一，適當(dāng)減少題量，將時(shí)間和空間讓位于思維。這要求我們在課前認(rèn)真選擇蘊(yùn)含思維量適中，并能鞏固所學(xué)的題型。這樣，學(xué)生有充足的時(shí)間分析、思考，能獲得對問題更深刻的理解，進(jìn)一步鞏固所學(xué)。

第二，將思考的主體地位歸還學(xué)生。知識(shí)取向的數(shù)學(xué)教育，教師將問題的分析、表達(dá)一人承擔(dān)，學(xué)生則負(fù)責(zé)將教師的思維成果“遷移”到自己的筆記本或試卷上。結(jié)果，學(xué)生逐漸喪失了思維的意識(shí)和能力，學(xué)習(xí)演變?yōu)楹唵蔚啬７?。因此，教育者不能越俎代庖，而?yīng)相信并幫助學(xué)生發(fā)揮思維主體的作用。

第三，給予學(xué)生充分的表達(dá)機(jī)會(huì)。提升思維品質(zhì)的數(shù)學(xué)教育提倡學(xué)生靈活地、個(gè)性化地解決問題，鼓勵(lì)不同的學(xué)生對于相同的問題有不同的解法，我們的職責(zé)是讓學(xué)生將他們的成果展現(xiàn)出來，達(dá)到相互交流和幫助的目的。更重要的是，“辯論”能激發(fā)學(xué)生的思維活力，并且讓學(xué)生體會(huì)這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效途徑之一。

4.提倡與培養(yǎng)學(xué)生的懷疑和批判精神

提升思維品質(zhì)的數(shù)學(xué)教育，旨在培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性和創(chuàng)新性。為此目的，學(xué)校數(shù)學(xué)教育應(yīng)提倡和培養(yǎng)學(xué)生的懷疑和批判精神。

第一，不能為學(xué)生的思維設(shè)定框架。數(shù)學(xué)教育長期重視數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，其后果是讓學(xué)生徘徊于題海之中，思維也受制于數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)密結(jié)構(gòu)。所以，在夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下，應(yīng)適當(dāng)填充相應(yīng)的內(nèi)容，開闊學(xué)生的視野，為創(chuàng)造和創(chuàng)新提供支持。單純重視題型的訓(xùn)練容易導(dǎo)致學(xué)生思維固化，降低思維遷移能力，適當(dāng)?shù)卦黾訑?shù)學(xué)教育中的思維量，能為學(xué)生思維發(fā)展提供更多可能性。

第二，批判和懷疑精神需要鼓勵(lì)?，F(xiàn)實(shí)中學(xué)生缺乏懷疑和批判能力的重要原因是不敢懷疑和批判。所以，教育者應(yīng)及時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性行為和思維，激發(fā)學(xué)生去懷疑和批判，并體會(huì)其帶來的成就。同時(shí)，懷疑和批判精神的養(yǎng)成需要長期關(guān)注，否則學(xué)生思維惰性就會(huì)顯現(xiàn)，創(chuàng)新思維的培養(yǎng)也不能延續(xù)。此外，教師的鼓勵(lì)應(yīng)是辯證的，不能對所有懷疑和批判行為都表示贊許，否則創(chuàng)新就會(huì)成為“異想天開”。

5.調(diào)整評價(jià)思路，重視對學(xué)生思維發(fā)展和完善程度的診斷

現(xiàn)實(shí)中，數(shù)學(xué)教師主要是以對知識(shí)點(diǎn)的考察來評價(jià)學(xué)生學(xué)習(xí)效果的優(yōu)劣，而思維則被放置在次要的位置上。這樣就使評價(jià)失去了從根本上查漏補(bǔ)缺的功能。所以，數(shù)學(xué)教育者亟需轉(zhuǎn)變評價(jià)觀念，重視對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的考察。首先，評價(jià)的對象應(yīng)由數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)思維。這彰顯了數(shù)學(xué)思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的核心地位，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育的著力點(diǎn)是數(shù)學(xué)思維。其次，評價(jià)的目的應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)榘l(fā)展和完善學(xué)生思維。只有這樣，我們才更明確思維是成績的前提，但成績不能替代思維的事實(shí)，進(jìn)而更重視對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。最后，符合思維導(dǎo)向的評價(jià)，應(yīng)在教師和學(xué)生兩個(gè)活動(dòng)系統(tǒng)之間建立一種動(dòng)態(tài)的聯(lián)系。在這個(gè)動(dòng)態(tài)的過程中，數(shù)學(xué)教育者通過正式或非正式的方式與學(xué)生交流，探析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理、思維發(fā)展和完善程度，然后有針對性地對思維進(jìn)行提升或補(bǔ)救。

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【責(zé)任編輯 郭振玲】