引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立

劉明成

(河北師范大學(xué)河北 石家莊050091)

劉文芳

(吉林師范大學(xué)吉林 四平136000)

趙文桐

(河南師范大學(xué)河南 新鄉(xiāng)453007)

摘 要：討論了萬有引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立的問題.

關(guān)鍵詞：動能勢能機(jī)械能伽利略變換

收稿日期：(2015-03-30)

1引言

在經(jīng)典力學(xué)的教學(xué)中，我們實際遇到的保守力只有3種，即重力、彈簧彈性力和萬有引力.對應(yīng)的勢能也只有3種，重力勢能、彈性勢能和引力勢能.對應(yīng)的機(jī)械能守恒定律也只有3種，重力機(jī)械能守恒定律、彈力機(jī)械能守恒定律和引力機(jī)械能守恒定律.重力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立的問題，文獻(xiàn)[1]已經(jīng)講明白了.彈力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立的問題，文獻(xiàn)[2]已經(jīng)講清楚了.

本文討論引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立的問題.

當(dāng)討論萬有引力機(jī)械能守恒定律是否在各慣性系都成立的問題時，大家所舉的例子都是“地-太”系統(tǒng)，即以地球繞太陽運動為例.以往大家都認(rèn)為這是個兩體問題.作為兩體問題，由于太陽相對兩體質(zhì)心會有微小的加速度，由此認(rèn)為日心坐標(biāo)系不是嚴(yán)格的慣性系，僅當(dāng)假定太陽質(zhì)量無窮大時，日心坐標(biāo)系才是嚴(yán)格的慣性系[3,4].

困擾力學(xué)教學(xué)界幾十年的這個問題，其實也是質(zhì)點力學(xué)問題，并不是兩體問題.我們簡單地說說我們的理由.從宏觀角度看，太陽系包括太陽本身和八大行星及無數(shù)的小行星，冥王星軌道外還有星云帶，不知這個帶有多寬多密.因此太陽系是一個“質(zhì)點數(shù)”尚不知道的質(zhì)點組，太陽正是占據(jù)這個“質(zhì)點組”的“質(zhì)心”位置.當(dāng)質(zhì)點組沒有外力作用時，其質(zhì)心靜止或做慣性運動，因此質(zhì)心坐標(biāo)系是嚴(yán)格的慣性系.天體力學(xué)家總是認(rèn)為恒星坐標(biāo)系為慣性系，就是這個道理.如果我們再忽略非保守力所做的功，那么按照柯尼希定理[5]，所有行星都“各行其道”，繞日心在自己的橢圓軌道上運行，其軌道角動量守恒，軌道運動機(jī)械能守恒.行星軌道運動的機(jī)械能守恒定律可以統(tǒng)一寫成

(1)

Ek(t)+Ep(t) =E

(2)

其中v為t時刻在日心系行星軌道速度矢量的模量，m為行星質(zhì)量，r為t時刻行星坐標(biāo)矢量的模量，M為太陽系總質(zhì)量而非太陽的質(zhì)量，G為萬有引力常量，E(E<0)為行星軌道運動的機(jī)械能，是個常量，即

式中a為橢圓運動軌道的半長軸.

2引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立

為了說明地球繞日軌道運動的機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立，我們選擇相對日心勻速直線運動的宇宙飛船系為另一個慣性系.

為簡潔明白，我們采用矢量式坐標(biāo)變換關(guān)系，并假定飛船速度u在地球軌道平面內(nèi)沿x軸方向，t=0時兩坐標(biāo)系原點重合，t=0時地球過近日點，如圖1所示.

圖1

全部采用矢量運算，按定義，t時刻在日心系地球動能、勢能和機(jī)械能分別為

對各街道在早06：00—21：00的交通指數(shù)采用系統(tǒng)聚類方法聚類后得到圖5所示聚類樹. 聚類樹圖中各編號對應(yīng)街道可見表3.

(3)

Ep=∫dEp=∫-f·dr=

(4)

(5)

式(5)即地球軌道運動的機(jī)械能守恒定律，即式(1).

在宇宙飛船系，t時刻地球的動能、勢能和機(jī)械能分別為

(6)

(7)

(8)

式(5)和式(8)比較可見，地球(質(zhì)點)機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立.

3結(jié)語

(1)引力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立.這就等于說，引力機(jī)械能守恒定律滿足力學(xué)相對性原理；引力機(jī)械能守恒定律經(jīng)伽利略變換形式不變；引力機(jī)械能守恒定律具有伽利略(非洛倫茲)協(xié)變性.

(2)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律成立的條件并不像文獻(xiàn)[6]說的那樣錯綜復(fù)雜，而是非常簡單明確的——僅當(dāng)不存在任何非保守力作用或非保守力所做之功可以忽略時，我們才可以認(rèn)為系統(tǒng)的機(jī)械能是守恒的.

(3)什么是“系統(tǒng)”？“系統(tǒng)”就是研究對象，不是參考系.系統(tǒng)可以是質(zhì)點組，也可以是質(zhì)點.例如研究自由落體問題時，研究對象就是落體，系統(tǒng)不包括參考物地球.當(dāng)我們研究彈簧振子問題時，系統(tǒng)就是彈簧加小球，不包括參考物地球或小車.當(dāng)我們研究地球軌道運動時，系統(tǒng)就是地球(質(zhì)點)，不包括參考物太陽.

參 考 文 獻(xiàn)

1趙文桐，劉文芳，劉明成.重力機(jī)械能守恒定律在各慣性系都成立.物理通報，2015(3):96～98

2李學(xué)生，師教民.對一道中學(xué)生物理競賽試題答案的商榷.物理通報，2014(9):119～120

3蔡伯濂.關(guān)于力學(xué)相對性原理與機(jī)械能守恒的來稿綜述.大學(xué)物理，1994(1):20～22

4白靜江.兩體問題中的功能原理及機(jī)械能守恒定律.大學(xué)物理，1997(3):11～14

5周衍柏.理論力學(xué)教程(第二版).北京：高等教育出版社,1985.127

6高崇伊.機(jī)械能守恒定律成立的條件.物理通報，2006(5):58～59