利用相似三角形巧解力學中的極值問題
——例談2012年全國中學生高二物理解題技能展示第12題

張懷華

(焦作市第十一中學河南 焦作454000)

作者簡介：張懷華(1974-),男，系河南省物理學術技術帶頭人、河南省骨干教師、河南省學科教學專家、河南省最具成長力教師、焦作市中學名師、焦作市科研型教師、焦作市信息技術應用專家,主要從事中學物理教學及研究.

收稿日期：(2014-12-22)

1引言

應用數(shù)學知識解決物理問題，是當前高考理科綜合模式下，物理科考試大綱的5方面能力要求之一，要求學生“能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據(jù)結果得出物理結論；必要時能運用幾何圖形、函數(shù)圖像進行表達、分析”.顯然，利用幾何圖形分析問題是考生必須具備的一種能力.

2利用相似三角形巧解力學極值問題

相似三角形在力學極值問題求解中魅力獨具，不僅能使抽象的物理問題更加形象、直觀，求解過程簡潔明了，而且彰顯創(chuàng)新意識，對提高解題能力和發(fā)展求異思維具有非常重要的意義.下面就以2012年第五屆全國中學生數(shù)理化學科能力展示活動高二年級物理解題技能展示試題第12題為例，談一談相似三角形在極值求解中的基本用法.

2.1試題回放

3個半徑為r,質(zhì)量相等的球放在一個半球形碗內(nèi)，現(xiàn)把第4個半徑也為r，質(zhì)量也相等的相同球放在這3個球的正上方，要使4個球都能靜止，則半球形碗的半徑應滿足什么條件？不考慮各處摩擦.

2.2巧妙解析

如果碗的球面半徑很大，因為各接觸面是光滑的，當放上第4個球后，下面的3個球會散開，所以臨界情況是放上第4個球后，下面3個球之間剛好無彈力.把上面的球記為A，下面3個球分別記為B,C,D.

如圖1所示，4個球的球心連起來構成一個邊長為2r的正四面體.由立體幾何知識可得，兩球心連線AB與豎直方向間夾角α的余弦值為

(1)

圖1

圖2

如圖2所示，A,B球心的連線與豎直方向的夾角為α，半球形碗的球心為O，O與B球心的連線與豎直方向的夾角為β，A球與B，C，D球間的彈力大小都為FN，碗面與下面3個球的作用力大小都為F.則以A球為研究對象，由對稱性可得，A球重力大小等于A球?qū)球彈力豎直分量的3倍，即

(2)

如圖2中的陰影部分所示，幾何三角形OAB與矢量三角形對應邊平行，由相似三角形對應邊成比例可知

(3)

由式(1)、(2)和(3)可得

(4)

由圖2可知，碗的臨界半徑為

Rmax=OB+r

(5)

在△OAB中，利用余弦定理可得

(6)

由式(5)、(6)可得，碗的臨界半徑為

(7)

3小結

不難發(fā)現(xiàn)，上述力學極值問題若運用共點力平衡條件及相關數(shù)學公式來推理、運算求解，其過程繁瑣冗長，耗時費力，而且涉及到眾多的公式和符號運算，稍不留神就會出現(xiàn)紕漏.而利用相似三角形，則化繁難為簡潔，變抽象為具體，求解迅速而準確，真乃事半而功倍.