不同流體加速度描述對(duì)輸液曲管穩(wěn)定性的影響

胡育佳， 李海港

(上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海200093)

摘要：在自然坐標(biāo)系中建立了具有任意初始構(gòu)型可伸長(zhǎng)輸液曲管的數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行了數(shù)值模擬。為了便于處理邊界條件，引入新的獨(dú)立變量，采用微分求積法(Differential Quadrature Method,DQM)和分塊矩陣的方法求解輸液曲管的固有頻率。討論了三種流體加速度表示方法對(duì)可伸輸液管道穩(wěn)定性的影響。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)復(fù)雜構(gòu)型的輸液曲管，三者的第一階固有頻率隨著流速的增大，差別越來(lái)越顯著；然而，對(duì)于規(guī)則構(gòu)型的輸液管道，結(jié)果卻非常相近。

關(guān)鍵詞：輸液曲管；微分求積法；固有頻率；流體加速度

中圖分類(lèi)號(hào):O327文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

基金項(xiàng)目：校企合作項(xiàng)目(20142000237)；國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室重點(diǎn)項(xiàng)目(ZZ2013-014)

收稿日期：2014-06-18修改稿收到日期：2014-07-30

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(51378442，51278435)

收稿日期：2014-10-22修改稿收到日期：2015-03-11

Effects of different fluid accelerations on stability of curved pipes conveying fluid

HUYu-jia,LIHai-gang(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract:A dynamic model of an extensible curved pipe with an arbitrary initial configuration was established in an arc coordinate system and its numerical simulation was performed afterwards. A new independent variable was introduced to deal with boundary conditions in order to obtain natural frequencies of curved pipes conveying fluid based on the differential quadrature method (DQM) and the partitioned matrix method. The effects of three fluid accelerations on the stability of the pipes conveying fluid was discussed. It was shown that with increase in fluid velocities, the differences between the first natural frequencies of pipes with complex configuration under three different fluid accelerations become more significant; however, for regular configuration pipes, the effects of different fluid accelerations on pipes’ natural frequencies are small.

Key words:curved pipe conveying fluid; DQM; natural frequency; fluid acceleration

輸液管道振動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性的分析，一直是結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中一個(gè)比較熱門(mén)的研究課題。這不僅因?yàn)檩斠汗艿烙兄鴱V泛的工程應(yīng)用背景，而且輸液管道的振動(dòng)問(wèn)題具有重要的理論研究?jī)r(jià)值。因而，許多學(xué)者很早便開(kāi)始了輸液管道相關(guān)問(wèn)題的研究。在工程中，輸液管道結(jié)構(gòu)往往是由輸液直管和曲管組成，輸液直管的研究已經(jīng)相對(duì)成熟，然而輸液曲管的研究相對(duì)比較少見(jiàn)。

Chen[1-2]較早的提出了半圓形的輸液曲管的振動(dòng)分析模型，該模型假設(shè)管道軸向不可伸長(zhǎng)，他利用Newtonian[1]和Hamiltonian[2]原理導(dǎo)出了輸液曲管的運(yùn)動(dòng)微分方程，但是該方程只適用于圓弧形的輸液曲管，不能用于變曲率管。倪樵等[3-5]在平面輸液曲管的動(dòng)力學(xué)振動(dòng)方面也作了大量的工作，他們把微分求積法(DQM)成功應(yīng)用到半圓形輸液曲管的振動(dòng)穩(wěn)定性分析中。其中，文獻(xiàn)[3-4]使用了內(nèi)部點(diǎn)來(lái)處理邊界條件，這將對(duì)分析復(fù)雜問(wèn)題(特別是具有任意初始構(gòu)型的管道結(jié)構(gòu))和計(jì)算精度帶來(lái)一定的影響。在DQM方法的基礎(chǔ)上，他們還進(jìn)一步研究了運(yùn)動(dòng)約束下半圓形輸液曲管的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性，其中非線(xiàn)性項(xiàng)是由約束運(yùn)動(dòng)的條件引入的[5]。Misra等[6-7]使用有限元方法研究了不可伸長(zhǎng)和可伸長(zhǎng)半圓形輸液曲管的振動(dòng)特性。李寶輝等[8-9]提出了一種求解輸液曲管固有頻率的計(jì)算方法，即波動(dòng)法，研究了不可伸和可伸輸液管道的穩(wěn)定特性。Jung等[10]基于Hamiltonian原理，由物質(zhì)導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)出了一種新的軸向可伸長(zhǎng)半圓形輸液曲管的流體加速度表示方法。

然而，在可伸輸液曲管穩(wěn)定性的研究中，一方面流體加速度描述方法比較混亂，有的流體加速度表示方法只能用來(lái)分析不可伸長(zhǎng)輸液管道的情況，對(duì)于可伸長(zhǎng)的情況并不適用，否則將對(duì)分析結(jié)果帶來(lái)偏差。比如，文獻(xiàn) [6-9, 11-12]中的流體加速度都是基于Newtonian原理推導(dǎo)的一種表示方法，這種描述方法只適用于不可伸長(zhǎng)的情況[6, 8]，不能用來(lái)分析可伸長(zhǎng)的輸液曲管[7, 9, 11-12]。另一方面，由于分析模型和計(jì)算方法的限制，以往的研究主要集中在半圓形或圓弧形輸液曲管上，對(duì)于復(fù)雜構(gòu)型輸液曲管的研究很少。

本文將在以弧長(zhǎng)為參數(shù)的自然坐標(biāo)系中建立軸向可伸任意初始構(gòu)型輸液曲管平面內(nèi)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，利用微分求積法和分塊矩陣方法求解具有任意初始構(gòu)型的輸液曲管的固有頻率。討論了三種輸液曲管流體加速度表示方法的不同，分析流體加速度對(duì)可伸長(zhǎng)規(guī)則構(gòu)型和復(fù)雜構(gòu)型輸液管道穩(wěn)定性的影響。

1流體加速度的描述

在可伸長(zhǎng)輸液管道的振動(dòng)穩(wěn)定性分析中，流體加速度的描述方法有多種，本文總結(jié)了三種流體加速度表示方法，分別為

(1a)

(1b)

(1c)

式中：R為曲率半徑，?(□)/?φ為未知量對(duì)圓心角φ的一階偏導(dǎo)數(shù)，ws,wη分別為弧線(xiàn)坐標(biāo)系下切向和法向的位移，as,aη分別為流體的切向和法向方向上的加速度，?(□)/?t為未知量對(duì)時(shí)間t的一階偏導(dǎo)數(shù)，v為流體流速。式(1a)為Jung等[10]推導(dǎo)出的新流體加速度表示方法，推導(dǎo)方法為Hamiltonian方法，考慮了軸向伸長(zhǎng)的影響；式(1b)為流體加速度，推導(dǎo)方法為Newtonian方法，忽略了軸向伸長(zhǎng)；式(1c)是由Hamiltonian方法得到的，也忽略了軸向伸長(zhǎng)。所以第一種加速度表達(dá)比后兩種流體加速度更合理。為了方便討論，把這三種流體加速度表示法依次稱(chēng)為Case Ⅰ、Case Ⅱ、Case Ⅲ。

此外，流體加速度Case Ⅰ的合理性，也可以通過(guò)可伸長(zhǎng)輸液直管的流體加速度[13-15]體現(xiàn)出來(lái)，該加速度可以表示為

(2)

式中:s為輸液曲管的弧長(zhǎng)，?s可用R?φ表示。當(dāng)曲率半徑R→+∞時(shí)，則圓弧形的輸液管道的流體加速度變成了輸液直管的情況，將三種情況下的流體加速度退化成輸液直管的情況，且R?φ可用?s表示?？梢园l(fā)現(xiàn)，只有Case Ⅰ的退化公式與公式(2)輸液直管的流體加速度完全一致，Case Ⅱ和Case Ⅲ則不能，這也說(shuō)明了Case Ⅰ的完備性。本文在討論可伸長(zhǎng)時(shí)采用了Case Ⅰ的流體加速度表示方法，分析不可伸長(zhǎng)時(shí)使用了Case Ⅱ。且在分析求解中需把三種加速度表示方法轉(zhuǎn)化到弧坐標(biāo)下，其中1/R=?θ0/?s。

2數(shù)學(xué)建模

假設(shè)輸液曲管為曲梁模型，則輸液曲管的幾何關(guān)系[16]可表示為

(3a)

(3b)

式中:R1(s)-1為軸線(xiàn)的伸長(zhǎng)率，θ和θ0分別為曲管變形后和初始構(gòu)型上任意點(diǎn)處的切向方向與y軸的夾角。在小變形假設(shè)的情況下，轉(zhuǎn)角滿(mǎn)足以下條件

(4)

(5a)

(5b)

式中，當(dāng)R1-1≠0時(shí)，表示管道軸向是可伸長(zhǎng)的；R1-1=0，則表示忽略管道軸向伸長(zhǎng)。

對(duì)于輸液管道的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，本文的平衡方程將建立于輸液管道變形前。從流體和輸液管上截取長(zhǎng)度為δs的單元作為研究對(duì)象，受力分析如圖1所示。

圖1　流體管道單元受力分析 Fig.1 The forces diagram of fluid and pipe elements

假設(shè)輸液管道的材料是線(xiàn)性的，且輸液管道軸向可伸長(zhǎng)，由式(4)和式(5a)，則由線(xiàn)彈性本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)得到為

(6a)

(6b)

式中，E為管道的楊氏模量，Ap為管道截面面積，EI、EAp分別為抗彎和抗拉剛度。管道的切向、法向和彎矩運(yùn)動(dòng)微分方程為

(7a)

(7b)

(7c)

式中:M,Np,Q分別為截面的彎矩、軸力和剪力，mp為單位長(zhǎng)輸液管的質(zhì)量，g為重力加速度，fs和fη為管道和流體接觸面上的切向和法向作用力。

流體的切向和法向運(yùn)動(dòng)微分方程為

(8a)

(8b)

式中:p為流體的壓力，A為流體的截面面積，mf為單位長(zhǎng)流體的質(zhì)量。對(duì)于管道可伸長(zhǎng)情況，本文采用Case Ⅰ的流體加速度，可表示為

(9a)

(9b)

從公式(8a)中提取fs代入公式(7a)，從公式(8b)中提取fη代入公式(7b)，整理后得

(10a)

(10b)

式中:Fs,Fη分別為管道和流體的重力、壓力和流體的慣性力在切向s和法向η方向上投影的合力，可以表示為

Fs=mgcosθ0+mfas+?(pA)/?s,

Fη=mgsinθ+mfaη-(pA)?θ0/?s

(11)

引入如下的無(wú)量綱條件

(12)

把控制方程(5a) 、(10a)和(10b)無(wú)量綱化，且整理可得

(13b)

(13c)

兩端固定的無(wú)量綱邊界條件為

Ws(0)=Ws(1)=Wη(0)=Wη(1)=

(14)

3求解

采用微分求積方法和分塊矩陣法求解在邊界條件為(14)下的輸運(yùn)管道的控制方程(13)。微分求積方法的基本原理是將函數(shù)對(duì)某方向的自變量的偏導(dǎo)數(shù)近似表達(dá)為沿自變量方向各離散點(diǎn)上相應(yīng)函數(shù)值的加權(quán)和。為了保證計(jì)算精度，如果沒(méi)有特別說(shuō)明，本文將采用Chebyshev-Lobatto多項(xiàng)式零點(diǎn)的布點(diǎn)方式，取布點(diǎn)數(shù)N=21[17]

將控制方程(13) 和邊界條件(14)離散得

(15a)

(15b)

(15c)

(15d)

(16)

由方程(17c)得

(18)

其中[K1]=[Kc3]-1[Kc1],[K2]=[Kc3]-1[Kc2]，把式(18)分別代入式(17a) 和(17b)得

[ZKa1][Wsm]+[ZKa2][Wηm]=[0]

(19a)

[ZKb1][Wsm]+[ZKb2][Wηm]=[0]

(19b)

其中[ZKa1]=[Ka1]-[Ka3][K1],[ZKa2]=[Ka2]-[Ka3][K2]，[ZKb1]=[Kb1]-[Kb3][K1]，[ZKb2]=[Kb2]-[Kb3][K2]。將(19a)、(19b)合并得

(20)

(21)

(22)

(23)

(1)給定一個(gè)初始構(gòu)型y=f(x) (a≤x≤b)；

(3)采用切比雪夫零點(diǎn)布點(diǎn)方式得到每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)Si(0≤S≤1)；

(5)由無(wú)量綱初始構(gòu)型Y=f(x)求解布點(diǎn)處的坐標(biāo)(Xi,Yi)；

(6)由dY/dX=tan(π/2-θ0)計(jì)算布點(diǎn)處的轉(zhuǎn)角

(24)

4數(shù)值算例

為了進(jìn)一步比較三種流體加速度，該部分將研究這三種流體加速度對(duì)輸液管道振動(dòng)特性的影響。首先驗(yàn)證本文理論和編程的有效性，然后分別采用這三種流體加速度表示方法研究軸向可伸長(zhǎng)規(guī)則構(gòu)型輸液管道(如輸液直管和圓弧形管道)和復(fù)雜構(gòu)型輸液管道(如橢圓形和有初始構(gòu)型缺陷的圓弧形管道)的穩(wěn)定特性。為了方便討論，無(wú)量綱固有頻率ω*可表示為ω*=Ω(R0/l)2=Ω/σ2，無(wú)量綱流速V*=V/σ(σ=l/R0，R0=0.5 m)，其中ω為輸液曲管的有量綱固有頻率。此外，本文的邊界條件為兩端固定。圖2給出了兩端固定的圓弧形或橢圓形的輸液管道。其中，R為曲率半徑，L0為跨距，φ為圓心角，a,b分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。

圖2　輸液曲管示意圖 Fig.2 The sketch of curved pipe

4.1結(jié)果驗(yàn)證

為了說(shuō)明本方法的有效性，首先研究了輸液直管和輸液曲管穩(wěn)定特性，并與已有結(jié)果進(jìn)行比較，如圖3所示。圖3(a)給出了可伸長(zhǎng)輸液直管前三階固有頻率隨流速的變化，可以發(fā)現(xiàn)本文的結(jié)果與Lee[13]的研究結(jié)果吻合得很好。當(dāng)無(wú)量綱流速V=6.28時(shí)，輸液管道發(fā)生失穩(wěn)，該臨界流速與Lee的相等，這也證明本文輸液管道分析模型的有效性。需要說(shuō)明的是輸液管道的物理特性以及尺寸參數(shù)見(jiàn)文獻(xiàn)[13]，且該模型的流體加速度表示方法為Case Ⅰ。

圖3(b)研究了不可伸長(zhǎng)半圓形輸液管道(φ=π,R=0.5 m,L0=1.0 m)的前四階固有頻率隨流速的變化。管道的物理特性以及尺寸參數(shù)[8]分別為單位長(zhǎng)管道和流體的質(zhì)量為mp=mf=1.78 kg/m，楊氏模量E=10 GPa，截面慣性矩I=7.491×10-8m4?？梢园l(fā)現(xiàn)，本文結(jié)果與Misra[6]的結(jié)果非常相近，此分析模型的流體加速度為Case Ⅱ。由圖3(b)的分析結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文的分析模型以及編程的正確性。

圖3　輸液直管和半圓形曲管結(jié)果驗(yàn)證 Fig.3 Verification results of straight pipe and semi-circle pipe conveying fluid

圖4　可伸半圓形輸液管道無(wú)量綱 固有頻率隨無(wú)量綱速度的變化 Fig.4 Dimensionless frequencies of an extensible semi-circular pipe as functions of the dimensionless flow velocity

4.2不同流體加速度描述對(duì)管道穩(wěn)定性的影響

圖4、圖5、圖6和表1研究了不同初始構(gòu)型輸液曲管的振動(dòng)特性。這里需要說(shuō)明的是，本部分輸液管道物理特性和尺寸參數(shù)與圖3(b)的相同，并取Ap/I=2.5×104m-2。圖4給出了三種流體加速度表示方法對(duì)可伸長(zhǎng)半圓形輸液曲管(φ=π,R=0.5 m,L0=1.0 m)穩(wěn)定性的影響?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著流速的增大，三種情況下得到的結(jié)果幾乎完全一致。圖5研究了半橢圓形輸液管道(a=0.5 m,b=0.6 m,L0=1.0 m,φ=π)在三種流體加速度下的結(jié)果比較。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，三種流體加速度所對(duì)應(yīng)的臨界流速V*分別為2.72、2.605和2.604。Case Ⅲ和Case Ⅱ的臨界流速幾乎相等，且兩種情況下的前三階固有頻率隨流速變化的趨勢(shì)幾乎完全一致。而Case Ⅱ相比Case Ⅰ的臨界流速偏小了-4.23%，二者的第一階固有頻率隨著流速的增大，差別越來(lái)越顯著。三種情況的第二、三階固有頻率差別比較小。

圖5　可伸半橢圓形輸液管道無(wú)量綱 固有頻率隨無(wú)量綱速度的變化 Fig.5 Dimensionless frequencies of an extensible semi-elliptical pipe as functions of the dimensionless flow velocity

參考文獻(xiàn)圖6研究了三種流體加速度對(duì)一種有初始結(jié)構(gòu)缺陷的半圓形輸液曲管穩(wěn)定性的影響。[18]，給出輸液曲管的初始構(gòu)型表達(dá)式為

A1cos[π(x-0.5L0)/L0],(0≤x≤1.0 m)

(25)

圖6　可伸有初始結(jié)構(gòu)缺陷半圓形輸液管道 無(wú)量綱固有頻率隨無(wú)量綱速度的變化 Fig.6 Dimensionless frequencies of an extensible semi-circular pipe with initial structural defect as functions of the dimensionless flow velocity

管道模型CaseⅠCaseⅡCaseⅢCaseⅡ和Ⅰ區(qū)別CaseⅢ和Ⅱ區(qū)別a=b=0.5m3.0033.0033.00300a=0.5m,b=0.4m3.3173.4023.4052.56%0.09%a=0.5m,b=0.6m2.722.6052.604-4.23%-0.04%A1=-0.1m,R=0.5m3.2613.5543.5588.98%0.11%A1=0.1m,R=0.5m2.7392.5232.515-7.89%-0.32%Straightpipe3.1443.1443.14400

表1列出了不同初始構(gòu)型輸液管道的臨界流速?？梢园l(fā)現(xiàn)對(duì)于規(guī)則構(gòu)型的輸液管道，例如輸液直管和半圓形管道，三種流體加速度的臨界流速相等。對(duì)于半橢圓形輸液曲管和有初始結(jié)構(gòu)缺陷的半圓形管道，Case Ⅰ和另外兩種Case Ⅱ、Case Ⅲ的臨界流速差別比較明顯，然而Case Ⅱ和Case Ⅲ的臨界流速卻非常相近。

5結(jié)論

本文在以弧長(zhǎng)為參數(shù)的坐標(biāo)中建立了具有任意初始構(gòu)型輸液曲管的運(yùn)動(dòng)微分方程。方程中包含三個(gè)變量，能夠用來(lái)精確處理邊界條件。采用微分求積法和分塊矩陣的方法進(jìn)行求解。首先討論了三種加速度推導(dǎo)方法和退化到輸液直管時(shí)的不同，發(fā)現(xiàn)第一種流體加速度描述方法更完備。分析了三種流體加速度表示方法對(duì)軸向可伸長(zhǎng)規(guī)則構(gòu)型管道和復(fù)雜構(gòu)型輸液管道動(dòng)力學(xué)特性的影響。數(shù)值結(jié)果表明，對(duì)于規(guī)則構(gòu)型的輸液管道，三種流體加速度的結(jié)果非常相近，區(qū)別很小。然而，在研究復(fù)雜構(gòu)型的輸液曲管時(shí)，第一種流體加速度和另外兩種加速度的第一階固有頻率隨著流速的增大，差別越來(lái)越明顯。因此，對(duì)于軸向可伸長(zhǎng)復(fù)雜構(gòu)型的輸液曲管穩(wěn)定性問(wèn)題，應(yīng)選取描述比較完備的第一種流體加速度表示方法。

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附錄A

第一作者周馳男，博士生，1986年生

通信作者范子杰男，博士,教授，博士生導(dǎo)師，1958年生

第一作者王凱男，博士生，1988年生

通信作者廖海黎男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1956年生