☉山西省永濟中學 王有強

人教A版選修2-1第一章常用邏輯用語的學習困惑

☉山西省永濟中學 王有強

數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，表述數(shù)學概念和結論，進行推理論證，都要使用邏輯用語，學習一些常用的邏輯用語，可以使我們正確理解數(shù)學概念，合理論證數(shù)學結論，準確表述數(shù)學內(nèi)容.現(xiàn)行的普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學人教A版選修2-1（下簡稱為教材）的第一章設置了常用的邏輯用語的四節(jié)內(nèi)容，分別是：1.1命題及其關系，1.2充分條件與必要條件，1.3簡單的邏輯聯(lián)結詞，1.4全稱量詞與存在量詞.

由于數(shù)理邏輯既是數(shù)學的一個分支，也是邏輯學的一個分支，是用數(shù)學方法研究邏輯或形式邏輯的學科，其研究對象是對證明和計算這兩個直觀概念進行符號化以后的形式系統(tǒng)，數(shù)理邏輯是數(shù)學基礎的一個不可缺少的組成部分，雖然名稱中有邏輯兩字，但并不屬于單純的邏輯學范疇，很多老師在進行本章教學及學生在本章學習時都感覺很苦惱，究其原因在于書本只給出一些定義，但在遇到一些問題時很難解決，且很多學生的語言功底差，很難對一些命題表達的意思理解，所以在學習中就感到力不從心，筆者認為既然是簡易邏輯，就應該突出簡易二字，將課本中一些很難理解的問題替換，這樣既減輕學生的負擔，也可讓教師在教學中容易掌控，下文即對本章在學習中一些值得商榷的內(nèi)容提出一點個人淺見.

一、教學中對命題主題思想很難理解到位

問題1：（教材第6頁練習）寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷真假.第（2）題：“若一個三角形有兩個邊相等，則這個三角形有兩個角相等.”

筆者在教學過程中，學生對該命題的否命題的回答出現(xiàn)了兩個版本：

版本一：若一個三角形中沒有兩條邊相等，則這個三角形沒有兩個角相等.

版本二：若一個三角形中有兩條邊不相等，則這個三角形有兩個角也不相等.

在人教社出版的配套教師教學用書中提供的答案是版本二，版本一的角度是原命題條件是一個三角形有兩條邊相等即此三角形為等腰三角形，對其否定的話，否定成三角形中沒有兩條邊相等，即三角形不是等腰三角形.而版本二對這個命題的理解是從其性質(zhì)入手，即等邊對等角，否定成邊不等對角也不等，筆者覺得版本一更能符合其所要表達的意思.

問題2：（教材第6頁練習）寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷真假.第（3）題：“奇函數(shù)的圖像關于原點對稱.”

對該命題的否命題的回答也出現(xiàn)了兩個版本：

版本一：不是奇函數(shù)的函數(shù)圖像不關于原點對稱.

版本二：若函數(shù)不是奇函數(shù)，則其圖像不關于原點對稱.

版本一是教師教學用書提供的答案，其重點在于理解此命題是研究函數(shù)的圖像，版本二則對命題的理解是研究奇函數(shù)的一個性質(zhì)，筆者覺得此時教師教學用書即版本一更為理想.

二、教材中例題、習題的選用值得商榷

問題3：（教材第7頁例4）證明：“若x2+y2=0，則x=y=0.”

關于此題的選用筆者覺得不太合適，書本給出的解答是應用逆否命題的真假來判斷原命題的真假，其逆否命題為“若x，y中至少有一個不為0，則x2+y2≠0”，首先此命題的逆否命題很多同學都寫不出來，更無從談起證明，反觀本題如果直接證明，其實思路更自然，更流暢，我們說數(shù)學是自然的，解題的思路更要自然，如果一定要用逆否命題的真假來證原命題的真假的話，對本題來說就是“為賦新詞強說愁”了.

問題4：（教材第12頁練習1）下列形如“若p，則q”形式的命題是真命題嗎？它的逆命題是真命題嗎？p是q的什么條件？第（1）題：“若平面α外有一條直線a與平面α內(nèi)的一條直線平行，則直線a與平面α平行.”

在解答此題時，多數(shù)同學認為其逆命題是假的，究其原因是認為a∥α不能得到a與α內(nèi)的一條直線平行，其錯因是因為沒有搞清楚這其實是一個特稱命題，命題的原意即為“若平面α內(nèi)存在一條直線與平面α外的一條直線a平行，則直線a與平面α平行”，如果把存在量詞補充完整就好理解了，即p是q的充要條件，筆者覺得這部分的內(nèi)容還沒講到全稱命題、特稱命題，本題放在這個位置給學生的理解造成一定的困難，建議后置.

三、命題中的大前提該何時提煉

問題5：（教材第8頁習題1.1A組第2題）寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假.第（1）題：“若a，b都是偶數(shù)，則a+b是偶數(shù).”

在教學過程中學生給出的答案都是以逆命題為例：“若a+b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)”，而教師教學用書中提供的答案是：“若兩個整數(shù)a與b的和a+b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)”，這里我們揣摩命題的原意應該是教師教學用書提供的答案更為理想，也就是原命題中提出a，b是偶數(shù)，得出a+b是偶數(shù)，其原意就是針對a，b的奇偶進行研究的，也就是有a，b都是整數(shù)的一個大前提需要提煉出來，但是我們在解決一些參數(shù)范圍問題時，卻不需要考慮這個前提，例如，命題p：函數(shù)是R上的減函數(shù)，若命題p為真，我們易得解得若命題p為假呢？我們要不要考慮有意義呢？答案是否定的，對命題p的全盤否定，即解出命題p為真時a的范圍的補集即為命題p為假時a的范圍，得或所以針對以上兩題的情況，筆者覺得要“因題制宜”揣摩出題的意圖，看是否需要提煉出大前提才行.

四、教材中定義該如何判斷

問題6：（教材第10頁練習第2題）下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？第（1）題：“若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行.”

在教師教學用書中給出的答案是p?q，究其原因是在人教A版必修2第86頁最下方中給出的注釋：若沒有特別說明，說“兩條直線l1和l2”時，一般是指兩條不重合的直線，筆者覺得這條注釋顯得有些多余，因為很多時候我們解題時，不僅要考慮斜率，還要考慮截距，也就是要考慮重合的情況，所以筆者個人認為此處應是不滿足充分性更符合我們平時解題的嚴謹性.

五.邏輯聯(lián)結詞該如何認定

問題7：將下列命題用“或”聯(lián)結成新命題，并判斷真假.

（1）p：方程x2-3x+2=0的根是x=1，q：方程x2-3x+2=0的根是x=2；

（2）p：梯形有一組對邊平行，q：梯形有一組對邊相等.

不少同學在解答（1）時，將命題改寫成了“方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2”，改寫成p∨q的形式后發(fā)現(xiàn)p∨q為真，而命題p與命題q其實都是假命題，前后矛盾，究其原因就是“方程x2-3x+2=0的根是x=1或x=2”中的“或”不是邏輯聯(lián)結詞，此命題也不是p∨q形式的命題，正確的寫法是：“方程x2-3x+2=0的根是x=1或方程x2-3x+2=0的根是x=2”為假命題.

六、逆否命題該如何改寫

問題8：（筆者在教學過程中講到四種命題的時候，突然想到這樣的一個問題）“在實數(shù)范圍內(nèi)，若x≥0，則x2≥0”的逆否命題該怎么寫？

這個命題首先判斷出是個真命題，若其逆否命題寫成“在實數(shù)范圍內(nèi)，若x2＜0，則x＜0”明顯是假命題，這與原命題的真假性就相反了，筆者想了很久，是否可以通過集合的角度給予解釋呢？比如：命題中的條件x2＜0在實數(shù)范圍內(nèi)就等價于x∈?，由于??（-∞，0），從而x∈??x＜0，不知是否合適，或是有其他的解釋方法，還請讀者指正.

七、結束語

詞語被稱為語言的基石，而邏輯的基礎是命題，因為只有在命題的層面上才涉及真假問題，而邏輯本身就是發(fā)現(xiàn)真相并將其從謬誤中分離出來的學問，在命題異于理解的時候，我們可以輕易地分辨出真假，但是，如果命題本身表達得含混晦澀我們就會面臨雙重問題，因為我們必須先找出命題本身的含義，然后才能做出判斷，由此可知，清晰有效的表達非常重要，所以建議編者在編訂此處的教材時，盡量能照顧到學生的認知能力，將所給的問題換成易于理解的形式，消除歧義，方能讓學生學起來不會一頭霧水，從而能更好地理解最基礎的簡易邏輯.