付艷茹++馬強(qiáng)

【摘 要】

基于增益性提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)課程的成效之目的，本文研究了網(wǎng)絡(luò)條件下數(shù)學(xué)課程項(xiàng)目化教學(xué)的軟件協(xié)作和融合過程，分析了網(wǎng)絡(luò)條件下融合不同數(shù)學(xué)軟件工具的實(shí)現(xiàn)過程，討論了數(shù)學(xué)課程的項(xiàng)目化教學(xué)設(shè)計(jì)和測(cè)量結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了數(shù)學(xué)教學(xué)單元的軟件部署形式、學(xué)習(xí)要素和軟件實(shí)現(xiàn)的普適性方法。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)課程；項(xiàng)目化；軟件；網(wǎng)絡(luò)；教學(xué)

【中圖分類號(hào)】 G423 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1009—458x（2016）01—0057—06

網(wǎng)絡(luò)時(shí)代教育技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)輔助數(shù)學(xué)教學(xué)方式發(fā)生了急劇變化，一改傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程“粉筆+黑板”式的單一教學(xué)模式，較穩(wěn)定地形成以PPT幻燈片展示和數(shù)學(xué)教學(xué)網(wǎng)站（包含大規(guī)模開放在線課程，MOOC）為手段輔助教學(xué)的形式，可分別喻之為1.0版和2.0版時(shí)代。這些手段加大了單元時(shí)間內(nèi)的教學(xué)密度，學(xué)生可靜態(tài)重現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容以便課后再復(fù)習(xí)，有較多文獻(xiàn)研究過同類問題[1][2][3]，其不足之處是數(shù)學(xué)教學(xué)因?yàn)槭芟抻诜菍?shí)時(shí)性而缺乏探究性實(shí)現(xiàn)過程，師生或?qū)W生之間遠(yuǎn)程協(xié)作存在困難。后期改進(jìn)是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的形式[4][5]，即將諸如MATLAB、MATHMATICA和MINITAB等數(shù)學(xué)軟件引入課堂，通過數(shù)學(xué)軟件將抽象思維和形象思維有效結(jié)合起來，重點(diǎn)突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，提高了不同層次學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，可形象地喻之為2.0+版時(shí)代，缺憾之處是未能有效地基于網(wǎng)絡(luò)形成互動(dòng)式學(xué)習(xí)系統(tǒng)，課上教學(xué)與課下實(shí)驗(yàn)仍然處于分割狀態(tài)。無論是1.0、2.0抑或2.0+版時(shí)代，師生雙方都面臨學(xué)時(shí)少、門數(shù)多、內(nèi)容雜、短平快的現(xiàn)狀以及功利化就業(yè)導(dǎo)向的影響。此外，教學(xué)過程中面對(duì)面的交流較為有限，因材施教條件發(fā)生很大變化，如何優(yōu)化個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)尚未有突破性進(jìn)展。

從教育技術(shù)條件看，網(wǎng)絡(luò)日益普及和軟件技術(shù)應(yīng)用重心加速下沉，使教學(xué)的實(shí)施及學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)等環(huán)節(jié)更多趨向基于網(wǎng)絡(luò)來完成，這為數(shù)學(xué)課程項(xiàng)目化提供了一種實(shí)現(xiàn)可能。由于以往項(xiàng)目化教學(xué)多定義在計(jì)算機(jī)學(xué)科范疇[6]，而數(shù)學(xué)限于抽象形式，至今缺乏與軟件融合的項(xiàng)目化教學(xué)設(shè)計(jì)先例，即使是在2.0+版時(shí)代，諸如MATLAB、MATHMATICA和MINITAB等國外數(shù)學(xué)軟件進(jìn)入教學(xué)領(lǐng)域，也僅是定量附加了驗(yàn)證式數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，仍與數(shù)學(xué)內(nèi)容相對(duì)獨(dú)立，缺乏軟件與數(shù)學(xué)內(nèi)容的串并和交叉[7][8][9][10]。

盡管本義上的項(xiàng)目化教學(xué)多以軟件課程指代，并以單機(jī)或局域網(wǎng)等教育技術(shù)條件居多，但普適性軟件課程并非拘泥于計(jì)算機(jī)學(xué)科本身，數(shù)學(xué)學(xué)科仍可成為應(yīng)用對(duì)象，只是師生在數(shù)學(xué)上遠(yuǎn)程協(xié)作存在困難，如網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)環(huán)境下的信號(hào)仿真、公式解析顯示、公式在線編輯、在線手繪3D作圖、復(fù)雜數(shù)學(xué)計(jì)算等不易實(shí)現(xiàn)。如果能克服相應(yīng)的技術(shù)障礙，就有條件將“精講多練、項(xiàng)目拉動(dòng)”的教學(xué)策略具體化，把數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容分散于軟件單元模塊中，通過軟件教學(xué)資源牽引學(xué)生協(xié)作學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)而增益性提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)成效。本文將數(shù)學(xué)課程借助數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目化教學(xué)的模式形象地比喻為3.0版時(shí)代。

一、數(shù)學(xué)課程軟件項(xiàng)目化的內(nèi)涵與特征

從教育技術(shù)的源流看，如果拋開數(shù)學(xué)研究對(duì)象，那么軟件項(xiàng)目化教學(xué)可追溯到國外已泛化的項(xiàng)目化教學(xué)模式，后者歸于行為導(dǎo)向的教學(xué)方法，其前身源于案例式教學(xué)和模塊化教學(xué)。從歷史上看，案例式和模塊化教學(xué)曾一度成為項(xiàng)目化教學(xué)的核心，是一種師生雙方直接參與對(duì)案例或疑難問題進(jìn)行討論的教學(xué)方法，具有促進(jìn)學(xué)生從理論到實(shí)踐遷移的作用。在國外，最早是由美國哈佛工商學(xué)院的卡普蘭（D.Copeland）博士于1910年提出，并被應(yīng)用到工商管理教學(xué)中。案例教學(xué)法的前提在于案例的真實(shí)性?？ㄆ仗m引用的案例源于實(shí)際的工商管理情景，教學(xué)實(shí)施表現(xiàn)為學(xué)生自行閱讀、研究和小組討論，再經(jīng)教師引導(dǎo)而進(jìn)行全班范圍的討論。它顯著區(qū)別于傳統(tǒng)教學(xué)方法：教學(xué)內(nèi)容有獨(dú)特的來源、性質(zhì)和內(nèi)容編排體系，教學(xué)方法不僅單獨(dú)指向教師，還要求師生雙方都應(yīng)有較大的行為變化。由于案例教學(xué)是針對(duì)實(shí)際案例展開的學(xué)習(xí)與討論，著眼點(diǎn)在于提高學(xué)生的創(chuàng)造力和實(shí)際解決問題的能力，而不僅僅是獲得一些固定的原理和規(guī)則，其結(jié)果是促使學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)中獲得知識(shí)，提高表達(dá)和設(shè)計(jì)多種解決方案的能力。在網(wǎng)絡(luò)尚未普及的時(shí)代，案例教學(xué)法就已普及開來，衍生了包括模塊化或項(xiàng)目化在內(nèi)的許多相關(guān)理論研究成果。美國學(xué)者喬依斯（B.Joyce）和許瓦斯（B.Showers）于1982年在等組實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，經(jīng)歷案例式或項(xiàng)目化的師生互動(dòng)指導(dǎo)，有近75%的學(xué)生能在課堂上直接有效地應(yīng)用到所學(xué)的內(nèi)容，而采用傳統(tǒng)的教學(xué)方式，只有15%悟性較高的學(xué)生能有同樣的表現(xiàn)，大部分學(xué)生無法直接消化教學(xué)內(nèi)容，需要課后再復(fù)習(xí)。在二人所完成的等組實(shí)驗(yàn)中，教學(xué)設(shè)計(jì)中的負(fù)荷主要來源于案例或項(xiàng)目的拉動(dòng)，而負(fù)荷的效率達(dá)到了60%。30多年來，以項(xiàng)目來拉動(dòng)教學(xué)的策略流行于國外且已呈現(xiàn)組件化，并在IT行業(yè)的軟件類培訓(xùn)上獲得推廣，但在數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域，尚未有基于網(wǎng)絡(luò)和軟件實(shí)現(xiàn)項(xiàng)目化教學(xué)的普適性應(yīng)用。

數(shù)學(xué)課程軟件項(xiàng)目化教學(xué)模式是師生在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下圍繞數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和軟件技能需求，綜合運(yùn)用不同軟件共同實(shí)施一個(gè)相對(duì)完整的項(xiàng)目工作而進(jìn)行的教學(xué)活動(dòng)，是在同一個(gè)教學(xué)時(shí)序上充分結(jié)合抽象思維與形象思維的行為導(dǎo)向性數(shù)學(xué)教學(xué)方法。它具有不同于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的顯著特征：一是數(shù)學(xué)教學(xué)無論是課上還是課下，均基于網(wǎng)絡(luò)實(shí)施；二是數(shù)學(xué)教學(xué)過程以探究和互動(dòng)為主，具有極高的實(shí)時(shí)性和交互性；三是將數(shù)學(xué)軟件和數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)協(xié)同，不單獨(dú)以數(shù)學(xué)教材內(nèi)容為中心；四是以可選模塊的組件方式，按數(shù)學(xué)邏輯部署數(shù)學(xué)軟件，數(shù)學(xué)內(nèi)容需分解為適宜相對(duì)獨(dú)立操作的項(xiàng)目化教學(xué)單元和教學(xué)元素；五是整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過程具有相對(duì)明確的時(shí)間單元，有相對(duì)完整的數(shù)學(xué)教學(xué)小項(xiàng)目作品，并以此作為教學(xué)測(cè)量與評(píng)價(jià)的依據(jù)。

從本質(zhì)上看，稱數(shù)學(xué)課程軟件項(xiàng)目化教學(xué)為3.0版時(shí)代，不外乎案例式或項(xiàng)目化教學(xué)的網(wǎng)絡(luò)版。其中的數(shù)學(xué)軟件也并非是要求學(xué)生額外學(xué)習(xí)的知識(shí)，而是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)和軟件的教學(xué)協(xié)同和應(yīng)用，以此作為教學(xué)負(fù)荷來提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，使之在學(xué)生解析不同難度系數(shù)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，能通過數(shù)學(xué)小項(xiàng)目來反映和記錄學(xué)生個(gè)人注意力和工作負(fù)荷的數(shù)據(jù)信息。教師依據(jù)數(shù)據(jù)來分析學(xué)生對(duì)不同受挫級(jí)別的反應(yīng)，并按項(xiàng)目幅度調(diào)整不同的教學(xué)負(fù)荷，希望能夠在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的重要時(shí)刻給予干涉。以教育技術(shù)手段幫助學(xué)生，最終的目的是優(yōu)化個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，提升個(gè)人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效果。

二、數(shù)學(xué)課程軟件項(xiàng)目化教學(xué)設(shè)計(jì)過程

（一）項(xiàng)目化教學(xué)的基本原則

數(shù)學(xué)課程軟件項(xiàng)目化教學(xué)設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是確定項(xiàng)目化教學(xué)要素、匹配教學(xué)資源和協(xié)作學(xué)習(xí)活動(dòng)，方法雖不固定，但其基本原則是兼顧數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)軟件的本質(zhì)特點(diǎn)，按照“任務(wù)驅(qū)動(dòng)”和“做中學(xué)”的技術(shù)路線，按倒推法將“崗位-能力-課程”微觀化，以需求（而非以教材）為中心來確定項(xiàng)目單元，以“教為主導(dǎo)、學(xué)為主體、疑為主軸、動(dòng)為主線”重組數(shù)學(xué)內(nèi)容，明確指出項(xiàng)目化教學(xué)的內(nèi)容、起止時(shí)間和完成的作品等因素。而項(xiàng)目化教學(xué)的實(shí)施過程也就是在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)環(huán)境下將“精講多練、項(xiàng)目拉動(dòng)”的教學(xué)策略具體化，遵循嚴(yán)謹(jǐn)?shù)能浖夹g(shù)邏輯，將不同的數(shù)學(xué)知識(shí)體系按不同的教學(xué)階段分解為項(xiàng)目化單元模塊，確定教學(xué)內(nèi)容的形式、單元學(xué)時(shí)、單元長度、教學(xué)密度、設(shè)備資源條件等項(xiàng)目要素，以及數(shù)學(xué)知識(shí)傳遞、解決和軟件實(shí)現(xiàn)的方法。限于篇幅，本文僅就軟件部署、項(xiàng)目化單元模塊分解和教學(xué)測(cè)量等部分展開討論。

（二）數(shù)學(xué)軟件部署的組件形式

數(shù)學(xué)課程的項(xiàng)目化教學(xué)需要必要的數(shù)學(xué)軟件支撐，僅靠傳統(tǒng)的只提供教學(xué)資源的網(wǎng)站及教師課堂上的PPT幻燈片播放是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，無法通過軟件加入負(fù)荷吸引學(xué)生與教師互動(dòng)，因?yàn)殪o態(tài)的PPT只是說明，即使是附以動(dòng)態(tài)的多幅FLASH，也只是最大程度的仿真，學(xué)生仍然不能動(dòng)手實(shí)時(shí)參與和驗(yàn)證，只能寄托于抽象思維，而師生的實(shí)時(shí)互動(dòng)恰恰是項(xiàng)目化教學(xué)要達(dá)成的目標(biāo)之一。一旦基于網(wǎng)絡(luò)通過數(shù)學(xué)軟件形成實(shí)時(shí)互動(dòng)，師生雙方已知者和未知者的自然身份將變得模糊，呈現(xiàn)出探究性的數(shù)學(xué)教學(xué)形態(tài)。美國亞利桑那大學(xué)計(jì)算機(jī)系的費(fèi)德里科·希瑞特博士（Federico.Cirett）和信息學(xué)院的卡羅爾·比爾教授（Carole.Beal）于2012年開展的基于網(wǎng)絡(luò)輔助學(xué)習(xí)代數(shù)的研究，通過軟件算法創(chuàng)建分類以替代概率統(tǒng)計(jì)，通過硬件傳感器記錄學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)荷數(shù)據(jù)，結(jié)果證明了基于網(wǎng)絡(luò)的軟件介入和干涉，互動(dòng)式學(xué)習(xí)是有效的。

鑒于此，當(dāng)研究的對(duì)象普適性過渡到一類數(shù)學(xué)課程問題時(shí)，如何部署數(shù)學(xué)軟件以達(dá)成教學(xué)協(xié)作，就成為數(shù)學(xué)課程實(shí)施項(xiàng)目化教學(xué)的前置條件。受專業(yè)軟件的限制，并非每種數(shù)學(xué)軟件都可以在時(shí)間單元限制內(nèi)移植到課堂之上，但可以項(xiàng)目化教學(xué)組件的形式引入軟件，它的負(fù)荷是可以測(cè)量的，可以按數(shù)學(xué)教學(xué)所需引入軟件模塊而不限制具體的語言，即數(shù)學(xué)軟件的部署可基于原有1.0、2.0、2.0+ 的積累加以展開與改進(jìn)。

在1.0版時(shí)代，軟件是單門課程非實(shí)時(shí)為主的常規(guī)化教學(xué)網(wǎng)站形態(tài)，以提供教學(xué)資源（如PPT幻燈片、DOC文檔、PDF文檔、考試樣卷、可回放或點(diǎn)播的教學(xué)視頻文件等）為主體特征。其主要問題是網(wǎng)站同質(zhì)、靜態(tài)、非實(shí)時(shí)，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中師生難于實(shí)時(shí)交互。但已有數(shù)學(xué)教學(xué)資源仍可按3.0版時(shí)代實(shí)時(shí)互動(dòng)的教學(xué)要求提取和利用。

在2.0版時(shí)代，軟件是基于云平臺(tái)實(shí)現(xiàn)教學(xué)協(xié)作的，被稱為“云計(jì)算輔助教學(xué)”（CCAI）。這類云平臺(tái)包括微軟公司的Windows Live、IBM 公司的Blue Cloud、阿里巴巴公司的阿里云、北京圣博公司的圣博云、北京百會(huì)公司的百會(huì)云、上海釋銳公司的EEOA、上海云未公司的教育云以及Google公司的Google API協(xié)作平臺(tái)等。其中以Google API在線應(yīng)用程序最為著名，它遠(yuǎn)程運(yùn)行于Google公司數(shù)量龐大的服務(wù)器上，包含了搜索引擎、套件、功能模塊（如日歷、文檔、演示文稿、郵件、聊天、組群、筆記本、地球、地圖、博客、相冊(cè)、網(wǎng)上論壇等），支持高度有效的整合，用戶免維護(hù)且可方便列入項(xiàng)目化教學(xué)的元素。遺憾的是，Google公司的相關(guān)業(yè)務(wù)已經(jīng)退出了中國大陸市場，現(xiàn)在原已建成的教學(xué)示范資源基本已棄用，而在其他云平臺(tái)上所建的CCAI軟件資源仍然可為3.0版時(shí)代所用。

前述兩個(gè)類別的軟件工具是以普適性為基準(zhǔn)的，重于學(xué)習(xí)內(nèi)容的展示以及預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，對(duì)數(shù)學(xué)課程的項(xiàng)目化要素分解以及實(shí)時(shí)優(yōu)化個(gè)人學(xué)習(xí)有較多的局限。在從2.0+遷移至3.0的過程中，數(shù)學(xué)軟件的協(xié)作有了更多的組件形態(tài)，包含了更加直觀的數(shù)學(xué)可選模塊，可直接從MATLAB、MATHMATICA和MINITAB等國外專業(yè)化數(shù)學(xué)軟件中抽取，均能輔助師生在課堂上實(shí)現(xiàn)信號(hào)仿真、數(shù)學(xué)建模、公式解析顯示、2D或3D作圖、復(fù)雜數(shù)學(xué)計(jì)算等任務(wù)，師生可直接使用而不必另外開課。

近年來，國內(nèi)出現(xiàn)的組件式數(shù)學(xué)軟件（如數(shù)學(xué)即時(shí)通訊軟件MathQ、公式編輯計(jì)算軟件MathPlay、圖形編輯計(jì)算軟件GraphPlay、計(jì)算文檔軟件SciencePlay、搜索公式瀏覽器ScienceIE等）也已突破了數(shù)學(xué)實(shí)時(shí)交互的難題。類似QQ軟件般的平民風(fēng)格，幾乎革命性地為互動(dòng)式數(shù)學(xué)而生。融合上述數(shù)學(xué)軟件并形成組件形式，教師可根據(jù)不同數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行抽取，并基于網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行項(xiàng)目化協(xié)作。

（三）項(xiàng)目化單元模塊分解

項(xiàng)目化單元模塊分解過程仍按數(shù)學(xué)課程知識(shí)體系的課前預(yù)習(xí)、課上教學(xué)和課后復(fù)習(xí)三個(gè)不同的教學(xué)階段進(jìn)行，但實(shí)施過程不同于1.0、2.0和2.0+ 版時(shí)代，具有“教師講、學(xué)生講、置疑設(shè)問、軟件使用、結(jié)果討論、中立（含靜止）、再置疑（待課后）”的混合特征，學(xué)生的互動(dòng)與反饋將分布在“回應(yīng)、中立、自發(fā)、靜止”四個(gè)可量化的指標(biāo)上。

項(xiàng)目化教學(xué)強(qiáng)調(diào)基于網(wǎng)絡(luò)的實(shí)時(shí)互動(dòng)是以加大教學(xué)密度為代價(jià)的，學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的激發(fā)和學(xué)習(xí)水平的優(yōu)化是受項(xiàng)目教學(xué)負(fù)荷牽引的，幅度大小取決于教學(xué)內(nèi)容和軟件模塊的適配。整個(gè)項(xiàng)目化教學(xué)設(shè)計(jì)需以組件方式按需選取數(shù)學(xué)軟件模塊，以分解教學(xué)單元，匹配相應(yīng)的教學(xué)資源。如果從組件中選取的軟件模塊過多，容易分散數(shù)學(xué)教學(xué)本身；反之，學(xué)生可能無法理解抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，會(huì)影響不同層次學(xué)生的互動(dòng)，導(dǎo)致教學(xué)時(shí)間陷于停頓而歸于“靜止”，最終向傳統(tǒng)教學(xué)方式退化而失去項(xiàng)目化教學(xué)應(yīng)有的意義。

一般分解一個(gè)項(xiàng)目化單元模塊以2個(gè)學(xué)時(shí)為宜，項(xiàng)目化初期選取的數(shù)學(xué)軟件模塊控制在2～3個(gè)，中后期可選模塊在6個(gè)以內(nèi)。首尾兩端的課前預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)，一般可不列入項(xiàng)目化課堂，而是列入由教師引導(dǎo)的課后自主學(xué)習(xí)過程，并安排學(xué)生采用MathQ軟件實(shí)時(shí)共享數(shù)學(xué)教學(xué)資源。MathQ體現(xiàn)的項(xiàng)目化教學(xué)要素主要是數(shù)學(xué)知識(shí)交互功能，如師生基于網(wǎng)絡(luò)一對(duì)一或多對(duì)多的課下輔導(dǎo)答疑、師生視音頻即時(shí)通信、在線教學(xué)與測(cè)試評(píng)價(jià)，以及數(shù)學(xué)試題庫和數(shù)學(xué)電子書的網(wǎng)絡(luò)共享，特別是含交互式手寫板書、公式編輯、圖形編輯的計(jì)算協(xié)同和學(xué)習(xí)協(xié)同功能等，既保證學(xué)生將未完成的小項(xiàng)目從課上遷移至課下，又使教師指定學(xué)生幫帶及依據(jù)學(xué)習(xí)水平對(duì)學(xué)生進(jìn)行彈性分層，為項(xiàng)目化教學(xué)爭取寶貴時(shí)間。

分解項(xiàng)目化單元模塊以位于中端的課上教學(xué)為主，一般可在網(wǎng)絡(luò)條件下融合數(shù)學(xué)軟件展開知識(shí)點(diǎn)，占時(shí)大約90%。以線性空間幾何變換2學(xué)時(shí)教學(xué)分解為例，其中數(shù)學(xué)理論與實(shí)踐應(yīng)用混合于“教師講、學(xué)生講、置疑設(shè)問、軟件使用、結(jié)果討論、中立（含靜止）、再置疑（待課后）”等教學(xué)階段，數(shù)學(xué)軟件可選為“MATLAB+MathQ+Science IE+SciencePlay+GraphPlay+MathPlay”，并將幾何映射變換部分教學(xué)內(nèi)容分為同構(gòu)映射、周期變換、幾何不變性、最小迭代周期、同構(gòu)映射解題和幾何變換的加密應(yīng)用6個(gè)部分，每部分的實(shí)踐對(duì)應(yīng)選取MATLAB軟件的不同模塊，再在學(xué)時(shí)單元范圍內(nèi)進(jìn)行分割以選擇同構(gòu)映射題目，如選取Torus變換和Arnold變換等。

以項(xiàng)目化教學(xué)設(shè)計(jì)中選取Arnold變換為例，時(shí)序上先是教師講授數(shù)學(xué)概念；接著，以白板演練1～2道解題而展開教學(xué)內(nèi)容；再用和分別表示Arnold變換的迭代次數(shù)與周期，將Arnold變換由矩陣式（1）轉(zhuǎn)為易于上機(jī)的迭代式（2），并從MATLAB軟件中提取模塊。

[xn+1yn+1=][1 11 2] [xnyn mod m] （1）

[xn+1=（xn+yn） mod myn+1=（xn+2yn） mod m] （2）

項(xiàng)目的設(shè)問是同構(gòu)映射的作用，期待學(xué)生通過數(shù)學(xué)軟件MATLAB延伸發(fā)現(xiàn)矩陣與圖像可能等價(jià)的結(jié)論。當(dāng)學(xué)生完成小項(xiàng)目作品時(shí)，取迭代次數(shù) 100，師生調(diào)用預(yù)設(shè)的MATLAB軟件模塊對(duì) 32×32、48×48、64×64、128×128不同圖像化為矩陣進(jìn)行Arnold變換，將直觀得到100次迭代結(jié)果，從中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖像矩陣的加密，并在12、24、48、96時(shí)對(duì)圖像矩陣進(jìn)行還原，由此從原因上引入幾何映射變換中的自同構(gòu)，說明12、24、48和96分別是Arnold自同構(gòu)映射變換的最小迭代周期。在學(xué)生完成小項(xiàng)目報(bào)告的同時(shí)，無形中將幾何中的映射、代數(shù)中的矩陣、計(jì)算機(jī)中的圖像和MATLAB軟件的部分，通過教學(xué)協(xié)作方式將抽象中數(shù)學(xué)變換與形象中的圖像矩陣加密結(jié)合起來。

前述6個(gè)部分是按項(xiàng)目化教學(xué)要素亦步亦趨地使用數(shù)學(xué)軟件配合理論推導(dǎo)演繹的，師生在此過程中可就MATLAB的運(yùn)行結(jié)果，互動(dòng)討論幾何映射變換內(nèi)容，再附以手工數(shù)學(xué)解題，讓學(xué)生抽象地進(jìn)行數(shù)學(xué)印證，二者有機(jī)地融合為一個(gè)相對(duì)完整的、可測(cè)量的數(shù)學(xué)教學(xué)小項(xiàng)目作品。

實(shí)踐證明學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件協(xié)作完成小項(xiàng)目作品并不困難。由前面部署的6種軟件產(chǎn)生的小程序代碼量少且重復(fù)率高，幾乎是所用即所得的傻瓜式軟件，學(xué)生至多經(jīng)歷2～3輪教學(xué)即可如同QQ軟件一樣快速掌握。一般而言，師生之間可基于網(wǎng)絡(luò)利用GraphPlay軟件共享和互操作教學(xué)內(nèi)容，將抽象的數(shù)學(xué)公式與形象的圖形充分結(jié)合起來，可視化在線編輯公式結(jié)構(gòu)及直接在圖形中標(biāo)注公式，可按項(xiàng)目化教學(xué)進(jìn)展局部生成2D函數(shù)和3D函數(shù)圖形（含柱面與柱體），且可根據(jù)依統(tǒng)計(jì)作圖對(duì)數(shù)表散點(diǎn)進(jìn)行曲線擬合、樣條曲線擬合等，師生互動(dòng)的載體特征十分有效。

在項(xiàng)目化教學(xué)各階段的模塊分解中，師生還可以組件方式選用MathPlay軟件，可基于網(wǎng)絡(luò)實(shí)時(shí)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算、分?jǐn)?shù)運(yùn)算、矩陣運(yùn)算、矩陣變換和自定義函數(shù)運(yùn)算，既可計(jì)算數(shù)學(xué)表達(dá)式整體，也可計(jì)算選中部分的數(shù)學(xué)表達(dá)式，又可匹配或直接定義所編輯公式和文字的大小、焦點(diǎn)、字號(hào)和顏色等。通過項(xiàng)目化教學(xué)模塊分解所選數(shù)學(xué)軟件的諸多特性，實(shí)時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的注意力并保持師生互動(dòng)的興趣。

三、項(xiàng)目化教學(xué)設(shè)計(jì)有效性測(cè)量與評(píng)價(jià)

由于數(shù)學(xué)課程項(xiàng)目化教學(xué)過程涉及了較多的數(shù)學(xué)軟件介入，因而對(duì)其有效性的動(dòng)態(tài)評(píng)價(jià)較之傳統(tǒng)評(píng)價(jià)方法要復(fù)雜得多。筆者的項(xiàng)目化教學(xué)實(shí)踐采用了弗蘭德斯互動(dòng)分析法實(shí)現(xiàn)了有效性測(cè)量。該分析法是由美國學(xué)者弗蘭德斯（Ned.Flanders）于1960年提出的，其教學(xué)測(cè)量采用的是設(shè)定描述課堂行為的量表和顯示數(shù)據(jù)分析的遷移矩陣，通過分析師生的互動(dòng)過程而對(duì)教學(xué)案例或項(xiàng)目對(duì)課堂教學(xué)質(zhì)量的影響進(jìn)行有效性評(píng)價(jià)。這種以分類代替?zhèn)鹘y(tǒng)概率的方法仍作為互動(dòng)式教學(xué)經(jīng)典的測(cè)量手段，并可圍繞項(xiàng)目化教學(xué)元素進(jìn)行設(shè)計(jì)。

按照弗蘭德斯互動(dòng)分析法的統(tǒng)計(jì)過程，可先建立描述師生課堂行為的量表，按3"～5"的秒級(jí)間隔對(duì)時(shí)間進(jìn)行抽樣，針對(duì)2學(xué)時(shí)單元的數(shù)學(xué)內(nèi)容記錄項(xiàng)目化教學(xué)過程中發(fā)生的多達(dá)1600余個(gè)事件。在教學(xué)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)上，分析遷移矩陣中的數(shù)據(jù)。根據(jù)筆者多年來的數(shù)學(xué)課程項(xiàng)目化教學(xué)實(shí)踐，本文所設(shè)量表的一級(jí)指標(biāo)選取了“教師講”“學(xué)生講”和“靜止”3項(xiàng)，其中教師的講授過程有“回應(yīng)”“中立”和“自發(fā)”3項(xiàng)二級(jí)指標(biāo)；學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋講授過程有“回應(yīng)”和“自發(fā)”二級(jí)指標(biāo)，而“靜止”僅有“中立”1項(xiàng)二級(jí)指標(biāo)，代表學(xué)生不理解數(shù)學(xué)問題或軟件使用所致師生雙方無法互動(dòng)而暫時(shí)停頓的過程。

表1列出了以前述幾何映射變換為教學(xué)內(nèi)容的項(xiàng)目化教學(xué)互動(dòng)分類和量表，其中“占時(shí)I”和“占比I”為未采用項(xiàng)目化教學(xué)之前的互動(dòng)分類統(tǒng)計(jì)，而“占時(shí)II”和“占比II”是采用項(xiàng)目化教學(xué)之后的互動(dòng)分類統(tǒng)計(jì)。

從軟件項(xiàng)目化前后教學(xué)的測(cè)量結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，互動(dòng)分類和量表顯示出項(xiàng)目化教學(xué)后的師生互動(dòng)占時(shí)和占比是顯著的，其中課上的“學(xué)生講”和“學(xué)生練”及課后“群組討論”的占比分別達(dá)到了31.92%、33.43%和30.16%，較之項(xiàng)目化前的10.12%、16.33%和18.25%上升明顯，而學(xué)生“靜止”指標(biāo)項(xiàng)由31秒直接降為0秒，是項(xiàng)目化教學(xué)獲得的最大化增益。由此還可以相應(yīng)地得到數(shù)學(xué)意義上的遷移矩陣，圖1給出了筆者對(duì)該遷移矩陣所做的數(shù)據(jù)分析。

可以發(fā)現(xiàn)，在配合學(xué)生自主學(xué)習(xí)和課下利用MathQ數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行群組討論之后，項(xiàng)目化教學(xué)互動(dòng)中的教師講授（分類號(hào)5）和學(xué)生按教師要求表述（分類號(hào)8）明顯減少，教師的提問和學(xué)生自己主動(dòng)按程序運(yùn)行結(jié)果發(fā)現(xiàn)問題明顯增多，而課堂靜止或不理解抽象數(shù)學(xué)問題而造成的教學(xué)時(shí)間停頓，則整體上趨降于零（分類號(hào)10、6和7），表明該教學(xué)內(nèi)容單元項(xiàng)目化教學(xué)是有效的。

四、結(jié)束語

網(wǎng)絡(luò)時(shí)代的數(shù)學(xué)教學(xué)變化甚少，教學(xué)過程缺乏互動(dòng)探究，加之功利化的就業(yè)導(dǎo)向，導(dǎo)致學(xué)生厭學(xué)，并質(zhì)疑數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。這不得不令人思索傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)如何由“改”向“改好”轉(zhuǎn)變。如果只談“夠用為度、應(yīng)用為主”的數(shù)學(xué)教學(xué)原則，而少講如何互動(dòng)探究的實(shí)際操作，那么僅僅是在立意上對(duì)教學(xué)量的取舍，對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)改良增效的作用是十分有限的。更明確地講，如果說網(wǎng)絡(luò)為數(shù)學(xué)與軟件的融合進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)效果的改良增效提供了有限可能，其中的數(shù)學(xué)課程軟件項(xiàng)目化，不失為一種可選的具體路徑。

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收稿日期：2015-06-01

定稿日期：2015-07-20

作者簡介：付艷茹，教授，碩士，浙江警官職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部（310018）。

馬強(qiáng)，教授，碩士，浙江警官職業(yè)學(xué)院信息系（310018）。

責(zé)任編輯 日 新