命制新型不等式試題的幾種方法*
——對(duì)不等式sinx＜x＜tanx，x∈（0，）的再構(gòu)造

☉江西省九江第一中學(xué) 江民杰

命制新型不等式試題的幾種方法*

☉江西省九江第一中學(xué) 江民杰

函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式屬中學(xué)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容之一，是高考數(shù)學(xué)試題的重點(diǎn)考查對(duì)象，特別是涉及不等式的函數(shù)問(wèn)題，更是重中之重.我們研究此類試題解法的同時(shí)，心里總有一個(gè)想法：該不等式是如何構(gòu)造出來(lái)的？即站在全局的高度，研究試題命制的心路歷程，探明試題的來(lái)龍去脈，解密數(shù)學(xué)試題的命題背景，進(jìn)而達(dá)到：能從教材最基礎(chǔ)的概念、定理、公式出發(fā)，整合相關(guān)知識(shí)點(diǎn)及方法，對(duì)概念、定理、公式進(jìn)行提升，進(jìn)而命制較高要求的能力型數(shù)學(xué)試題.限于篇幅，我以不等式“sinx＜x＜tanx， x∈（0，）”為載體，探討命制新型不等式的方法.

一、利用不等式自身變形

分析：f′（x）＝cosx-xsinx-acosx＝（1-a）cosx-xsinx，

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1.

這種處理及命題技術(shù)在高考試題中經(jīng)常使用，如：

（2014北京理科18）已知函數(shù)f（x）＝xcosx-sinx，x∈

（Ⅰ）求證：f（x）≤0；

二、利用兩函數(shù)復(fù)合

利用兩個(gè)函數(shù)復(fù)合，可以產(chǎn)生新的函數(shù)不等式.

新題（二）已知a＞0，f（x）＝x+xcosx-asinx＜0在x∈（0，π）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：f（x）＝x（1+cosx）-asinx＜0在x∈（0，π）上恒成立?0在x∈（0，π）上恒成立.

又x∈（0，π），則φ（x）＞φ（0）＝0，符合題意.

記cosx0＝a-1，因?yàn)閏osx在（0，π）上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，a-1＝cosx0＜cosx＜1，所以a-1-cosx＜0.所以在x∈（0，x）上單調(diào)0遞減.

所以當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，φ（x）＜φ（0）＝0，不符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥2.

三、利用積分

在原不等式兩邊取變上限積分，可以構(gòu)建新的不等式.

新題（三）（fx）＝1-cosx-ax2＜0在x∈（0，）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：f′（x）＝sinx-2ax，f″（x）＝cosx-2a.

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，2a＝cosx0＜cosx＜1.

所以f″（x）＝cosx-2a＞0.所以f′（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增.

所以f′（x）＞f′（0）＝0.所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增.

所以由x∈（0，x0）知，f（x）＞f（0）＝0，不符合題意.

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＝sinx-2ax＞0，所以（fx）在（0，）上單調(diào)遞增.

四、對(duì)變量進(jìn)行賦值

通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行賦值，累加可以產(chǎn)生數(shù)列型不等式.

由此可以編擬下列不等式：

五、利用公切線

利用兩曲線公共點(diǎn)處存在公切線，結(jié)合圖像，可以構(gòu)建不等式.

21（fx1）＞0.而x∈（0，x）1時(shí)，f（′x）連續(xù)且（f0）＜0，（fx）1＞0.故存在x2∈（0，x1），使得f（′x2）＝0.

此時(shí)，由f′（x）的單調(diào)性知，當(dāng)x∈（0，x2］時(shí)，f′（x）≤f′（x）2＝0，故（fx）在（0，x2］上為減函數(shù).故（fx）＜（f0）＝0；x∈［x2，x1］時(shí)，f′（x）＞f′（x2）＝0，此時(shí)（fx）為增函數(shù)，而x∈［x1，1）時(shí)，f′（x）＞f′（1）＝0，此時(shí)f（x）為增函數(shù)，故（fx）在［x2，1）上為增函數(shù)，故（fx）＜（f1）＝0.

綜上所述，x∈（0，1）時(shí)，（fx）＜0.

故f"（x）在（0，1）上單調(diào)遞減.

六、利用對(duì)稱性

分析：應(yīng)用幾何畫(huà)板畫(huà)出f（x）＝x2-2x+sinx，x∈（-1，1）的圖像，可以發(fā)現(xiàn)其極值點(diǎn)向左偏移，利用對(duì)稱性，進(jìn)而命制下面試題.

新題（六）（江西省八所重點(diǎn)中學(xué)2015屆高三聯(lián)考）已知（fx）＝x2-2x+sinx，x∈（-1，1），記（fx）的極小值為f（x0）.若f（x1）＝f（x2），求證：x1+x2＞2x0.

證明：f（x）＝x2-2x+sinπ 2x，x∈（0，1），f′（x）＝2x-

令φ（x）＝f′（x），x∈（0，1），φ′（x）＝2-sin，顯然φ′（x）在區(qū)間（0，1）單調(diào)遞減.

所以φ（x）在（0，ξ）上單調(diào)遞增，在（ξ，1）上單調(diào)遞減，即f′（x）在（0，ξ）上單調(diào)遞增，在（ξ，1）上單調(diào)遞減.又 f′（0）＝-2+＜0，f（′1）＝0，所以f（′ξ）＞0.由f（′x）＝0，知0＜

0x0＜ξ＜1.

所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，1）上單調(diào)遞增.

不妨設(shè)x1＜x2，由f（x1）＝f（x2），則0＜x1＜x0＜x2＜1.

令F（x）＝f（x0+x）-f（x0-x），

則F′（x）＝f′（x0+x）+f′（x0-x）

又F′（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減，所以F′（x）＜F′（0）＝

所以F（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞減.所以F（x）＜F（0）＝0，

即f（x0+x）＜f（x0-x）.

又f（x1）＝f（x2）＝f［x0-（x0-x2）］＜f［x0+（x0-x2）］＝f（2x0-x2），

0＜x1＜x0，-1＜-x2＜2x0-x2＜x0，

又f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，且f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，故f（x）在（-1，x0）上單調(diào)遞減.

所以x1＜2x0-x2.所以x1+x2＞2x0.

七、利用割線

利用割線與曲線的上下位置關(guān)系，可以構(gòu)建不等式.

【12全國(guó)大綱理20】設(shè)函數(shù)f（x）＝ax+cosx，x∈［0，π］.

（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）設(shè)f（x）≤1+sinx，求a的取值范圍.

八、利用距離

利用兩點(diǎn)間的距離及點(diǎn)到直線的距離可以構(gòu)建不等式.

g（x）＝x+sin2x-，故g（x）表示P（x，sinx），兩點(diǎn)間的距離.其中，P（x，sinx），分別在函數(shù)y＝sinx的圖像上，令，故|PQ|的最小值就是的距離.于是可以得到不等式：（x-a）2+

*本文系江西省教研室重點(diǎn)課題“高考數(shù)學(xué)命題與數(shù)學(xué)教材關(guān)系研究”的系列成果之一.