李文略(嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

應(yīng)用電各向異性介質(zhì)電多極展開計算電勢

李文略?
(嶺南師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

應(yīng)用張量分析的矩陣方法得到電各向介質(zhì)中多極展開式在主軸坐標(biāo)系下的具體形式。應(yīng)用該具體形式結(jié)合廣義坐標(biāo)變換法計算均勻帶電圓盤、橢圓盤、橢圓環(huán)、圓環(huán)和旋轉(zhuǎn)橢球在電各向異性介質(zhì)中遠(yuǎn)場的電勢，所得的結(jié)果在ε22=ε33=ε的情況下，可過渡到在電各向同性介質(zhì)中遠(yuǎn)場的電勢。

電各向異性介質(zhì)；電勢；電多極展開；張量；橢圓盤；旋轉(zhuǎn)橢球

1 引言

電各向同性介質(zhì)靜電場的求解方法很多，如分離變量法、電像法、格林函數(shù)法、電多極展開法等等。陳燊年[1]等系統(tǒng)的研究了電各向異性介質(zhì)（限于有且只有三個正交主軸方向的電介質(zhì)）的靜電場，其中有應(yīng)用分離變量法和電多極展開法有效的求解了電各向異性介質(zhì)中的靜電場。李洲圣，唐長紅[2]系統(tǒng)的定義了張量分析的矩陣方法，文[3-4]應(yīng)用該方法研究了電（磁）各向異性介質(zhì)的電磁場。本文將在前人研究[1、5]的基礎(chǔ)上，應(yīng)用張量分析的矩陣方法推導(dǎo)得到電多極展開式在主軸坐標(biāo)系下的具體形式，進(jìn)而應(yīng)用該具體形式結(jié)合廣義坐標(biāo)變換法計算電各向異性介質(zhì)中均勻帶電圓盤、圓環(huán)、橢圓盤、橢圓環(huán)和旋轉(zhuǎn)橢球等典型的連續(xù)帶電體在遠(yuǎn)場處激發(fā)的電勢，可作為應(yīng)用電多極展開式計算電勢的補(bǔ)充。

2 各向異性介質(zhì)中電多極展開式的具體形式

在電各向異性介質(zhì)中在主軸坐標(biāo)系321xO- 下，坐標(biāo)原點建在源區(qū)，當(dāng)電荷系統(tǒng)分布在小區(qū)域內(nèi)，在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電勢多極展開式為[1、5]

式中: x→、x′→分別表示場點和源點的位矢)(x′→ρ、Ωd 分別表示源電荷密度和源電荷體積元；)0(φ、)1(φ 和)2(φ分別稱為電零極項、電偶極項和電四極項；，11ε 、22ε、33ε為沿著主軸坐標(biāo)系中:

設(shè)電各向異性介質(zhì)的主軸坐標(biāo)系O-x1x2x3，記為的轉(zhuǎn)置形態(tài)，它們均表示同一坐標(biāo)系?，F(xiàn)應(yīng)用張量分析的矩陣方法計算φ(1)（x）和φ(2)（x）在主軸坐標(biāo)系下的具體形式。三個坐標(biāo)軸正方向的介電常數(shù)。在實際中用得較多的通常只到)2(φ，因而本文涉及的計算也到)2(φ 為止。)2(φ 項

將式（2）（3）代入式（1）中，由多元函數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù)及鏈?zhǔn)椒▌t，可得

式（4）（5）（6）即為電各向異性介質(zhì)中電多極展開在主軸坐標(biāo)系下的具體形式。若令ε22=ε33=ε代入式（4）（5）（6）中，則可得到電各向同性介質(zhì)中電多極展開的具體形式。應(yīng)用具體形式結(jié)合廣義坐標(biāo)變換法可直接方便的計算連續(xù)帶電體系在遠(yuǎn)場處的電勢，而無需求解電偶極矩或電四極矩以及進(jìn)行張量的多重點積運算.以下應(yīng)用該具體形式直接計算典型連續(xù)帶電體遠(yuǎn)場處的電勢。

3 電各向異性介質(zhì)中均勻帶電圓盤、圓環(huán)遠(yuǎn)場處的電勢

均勻帶電面密度為σ，電量為Q，半徑為R圓盤放置在主軸坐標(biāo)系 O-x1x2x3（原點在圓盤中心）的 O -x1x2面上，應(yīng)用具體形式求其在遠(yuǎn)場點 P()處的電勢。

若此圓盤變?yōu)榘霃綖镽的圓環(huán)，帶電線密度為λ，電量為Q，取極坐標(biāo)r、θ，則 x1′ =Rcosθ、x ′2=R sinθ，

4 電各向異性介質(zhì)中均勻帶電橢圓盤、橢圓環(huán)遠(yuǎn)場處的電勢

4.1 均勻帶電橢圓盤遠(yuǎn)場處的電勢

均勻帶電面密度為σ，電量為Q，長、短半軸為a、b的橢圓盤放置在主軸坐標(biāo)系321xxxO- （原點在橢圓盤中心，長半軸沿著1x軸）的21xxO- 面上，應(yīng)用具體形式求其在遠(yuǎn)場點),,(321xxxP 處的電勢。

若令 Rba == （橢圓盤變?yōu)榘霃綖镽的圓盤），代入式（11）中可得圓盤在遠(yuǎn)場激發(fā)的電勢，結(jié)果與式（8）一致，藉此可驗證用多極展開具體形式計算遠(yuǎn)場電勢的正確性.

4.2 均勻帶電橢圓環(huán)遠(yuǎn)場處的電勢

帶電線密度為λ，電量為Q，長、短半軸為a、b的橢圓環(huán)，放置在主軸坐標(biāo)系321xxxO- （原點在橢圓環(huán)中心，長半軸沿著1x軸）的21xxO- 面上，應(yīng)用具體形式求其在遠(yuǎn)場點 ),,(321xxxP 處的電勢.在環(huán)面上取廣

若令 Rba == 代入式（12）中，即可得均勻帶電圓環(huán)在遠(yuǎn)場的電勢，如果與式（9）相同.

5 電各向異性介質(zhì)中均勻帶電旋轉(zhuǎn)橢球遠(yuǎn)場處的電勢

均勻帶電密度為ρ，電量為Q，長、短半軸為a、b的橢球，主軸坐標(biāo)系 O - x1x2x3的原點在球心，長半軸沿著x3軸，應(yīng)用電多極展開的具體形式求其在遠(yuǎn)場點 P ( x1, x2,x3)處的電勢。

橢球電荷分布關(guān)于x1軸、 x2軸和 x3軸對稱，故(P)=0，且由式（6）得

6 結(jié)語

文[1、5]應(yīng)用電多極展開式計算電各向異性介質(zhì)的靜電場時，需先求出電多極矩，然后再進(jìn)行（矢量）張量間的多重點積運算。本文應(yīng)用電多極展開式的具體形式結(jié)合廣義坐標(biāo)變換法可方便的計算均勻帶電圓盤、圓環(huán)、橢圓盤、橢圓環(huán)和旋轉(zhuǎn)橢球在遠(yuǎn)場處電勢，計算的過程充分的利用電荷對稱分布的條件簡化了計算，也避免了求電多極矩、進(jìn)行（矢量）張量間的多重點積和涉及橢圓積分的繁瑣運算，可作為現(xiàn)有應(yīng)用電多極展開求解電各向異性介質(zhì)中靜電場的補(bǔ)充。在令ε22=ε33=ε的情況下，所得的結(jié)果適用于電各向同性介質(zhì)中的靜電場。

[1] 陳燊年, 洪清泉, 王建成.介質(zhì)為各向異性的電磁場[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2012.

[2] 李洲圣, 唐長紅. 三維空間張量分析的矩陣方法[M]. 北京: 航空工業(yè)出版社, 2010.

[3] 李文略. 各向異性磁介質(zhì)中ζ空間與χ空間的變換關(guān)系及應(yīng)用[J]. 廣西物理, 2015, 36(2): 20-23.

[4] 李文略. 電各向異性介質(zhì)中泊松方程的具體形式[J]. 泉州師范學(xué)院學(xué)報, 2015, 33(2): 93-96.

[5] 郭震寧, 陳燊年. 在各向異性介質(zhì)中電勢的多極矩展開[J]. 華僑大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1993, 14(4): 440-446.

[6] 袁德榮. 球張量的多極展開法[J]. 湖北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 1988, (1): 94-98.

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2015-12-20

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