PT對稱晶格勢中的光孤子傳輸特性的研究

程家曦，倪書進(jìn)，徐四六*

(1.湖北科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，湖北 咸寧 437100；2.咸寧實(shí)驗(yàn)中小學(xué)，湖北 咸寧 437100 )

PT對稱晶格勢中的光孤子傳輸特性的研究

程家曦1，倪書進(jìn)2，徐四六1*

(1.湖北科技學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，湖北 咸寧 437100；2.咸寧實(shí)驗(yàn)中小學(xué)，湖北 咸寧 437100 )

利用改進(jìn)的平方算符法和傅里葉配點(diǎn)法以及分步傅里葉算法研究了二維非線性PT對稱晶格勢中的基極和二級光孤子。研究表明，兩種孤子功率都隨著傳播常數(shù)的增加而增大，隨著調(diào)制深度的增加而減小。二極孤子內(nèi)部的排斥力作用導(dǎo)致光束在PT勢中分裂成四極孤子。而對于PT 晶格勢，當(dāng)實(shí)部的晶格調(diào)制系數(shù)V0增大時，PT勢的相對強(qiáng)度的帶隙結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，PT強(qiáng)度呈波浪式增大，而孤子在低能量區(qū)域是穩(wěn)定的，高能量區(qū)域不穩(wěn)定。

改進(jìn)的平方算符法；分步傅里葉算法；多極光孤子；PT對稱勢

孤子又是一種特殊的超短脈沖，孤立波是一種在傳播過程中保持形狀、速度、幅度不變的脈沖狀行波[1]。鑒于孤子具有的這些特性，孤子系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)世界有著廣泛的應(yīng)用潛力[2]。因此，孤子的形成及其傳輸特性的研究在目前是一個十分誘人的課題。

近年來, PT對稱晶格介質(zhì)中的空間孤子一直是研究的熱點(diǎn),人們對它們的各種獨(dú)特的性質(zhì)例如相互作用、穩(wěn)定性進(jìn)行了大量研究[3-5]。 PT對稱即哈密頓量宇稱-時間對稱，在量子力學(xué)中，哈密頓量是要對所有物理可觀察量都必須是厄米共軛[6]。1998年，C.M.Bender提出了一個非厄米-哈密頓量，即PT對稱哈密頓量，它可以完全展現(xiàn)出實(shí)譜，要滿足PT對稱性的要求，則該哈密頓量要與算子共有一系列相同的本征值[7]。則勢函數(shù),即PT對稱勢的實(shí)部必須是偶函數(shù),虛部必須是奇函數(shù)。當(dāng)超過某一閾值時，這種哈密頓量會發(fā)生相變，這時的本征值譜不再全為實(shí)數(shù)，而是變成部分為復(fù)數(shù)[8]。由于首次引入PT對稱勢的概念 ，自此，線性與非線性系統(tǒng)中的PT對稱哈密頓量相關(guān)的物理現(xiàn)象被廣泛關(guān)注。光在PT對稱哈密頓量介質(zhì)中具有獨(dú)特的傳輸特性，2008年，Z.H.Musslimani等人對一維和二維PT周期晶格中的光孤子傳輸特性做出了跨越性的研究[9]，使得該領(lǐng)域又迎來了新的研究熱潮。最近幾年，PT對稱晶格中的非局域帶隙孤子[10]，渦旋多峰孤子[11,12]等；盡管如此，對PT對稱光空間中光孤子的傳輸特性研究仍有待深入，還有很多孤子類型與特殊的性質(zhì)等著我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)。

本文基于二維非局域非線性薛定諤方程, 在前期研究[13-26]的基礎(chǔ)上，通過數(shù)值模擬得到非局域暗孤子解, 然后提出了暗孤子穩(wěn)定性分析理論, 并對其數(shù)值求解得到了非局域暗孤子的穩(wěn)定性分析圖, 最后利用加噪聲的傳輸驗(yàn)證了穩(wěn)定性分析理論的正確。

一、理論模型

光束在(2+1)維PT對稱晶格勢非線性介質(zhì)中沿著z軸傳播，那么歸一化的非線性薛定諤方程

(1)

其中，φ為包絡(luò)函數(shù)，T是調(diào)制深度，V(x,y),W(x,y)分別為PT對稱晶格勢的實(shí)部和虛部,其非線性項(xiàng)為三五次競爭。

假設(shè)方程(1)中孤子解的形式為φ=f(x,y)eiμz，μ為傳播常數(shù)，模f(x,y)滿足該方程

(2)

求解孤子，我們利用平方算符法對(2)進(jìn)行數(shù)值求解，而對于所得到的孤子穩(wěn)定性，我們對方程(1)采用微擾解進(jìn)行穩(wěn)定性分析

φ=eiμz{f(x,y)+[g(x,y)-h(x,y)]eλz+

[g(x,y)+h(x,y)]*eλ*z}

(3)

將上式代入到式(1)并對g(x,y),h(x,y)進(jìn)行線性化，得到他們的本征方程為：

(4)

其中，

(5)

我們利用傅里葉配點(diǎn)法[22]對孤子進(jìn)行穩(wěn)定性求解，若本征值的實(shí)部為零，則孤子線性穩(wěn)定，反之，線性不穩(wěn)定。孤子的總功率P=∫-∞+∞∫-∞+∞|f(x,y)|2dxdy。

求解非線性方程的解析解的條件是滿足可積，但是在一般情況下可積性條件是不滿足的，為了探究方程(1)的孤子解，我們將使用改進(jìn)的平方算符法求得其數(shù)值解，即近似解。在此，選用高斯光為入射光，取PT晶格為雙曲-三角對稱晶格勢

V(x,y)=V0(sech2(x)+sech2(y))(cos(-x2)+cos(-y2))

(6a)

W(x,y)=W0(tanh(2x)+tanh(2y))(cos(-x2)+cos(-y2))

(6b)

為了便于討論，取PT勢的實(shí)部強(qiáng)度V0=1。虛部強(qiáng)度W0=0.1。PT勢的分布如圖1所示，可以看到其實(shí)部V 關(guān)于原點(diǎn)偶對稱，虛部W關(guān)于原點(diǎn)奇對稱。PT勢強(qiáng)度隨著調(diào)制參數(shù)V0、W0的增大而波浪式增大。

圖1 PT勢分布(a)(b)(c)為PT勢實(shí)部分布；(d)(e)(f)為PT勢虛部分布；(g)為PT勢實(shí)部調(diào)制參數(shù)V0與PT勢的關(guān)系分布；(h)為PT勢虛部調(diào)制參數(shù)W0與PT勢的關(guān)系分布；(i)為PT晶格勢函數(shù)系數(shù)對PT勢強(qiáng)度影響的關(guān)系圖；

二、基極孤子

首先對方程(1)進(jìn)行求解得到基極孤子，圖2(a)為μ與P的關(guān)系圖，可以看出功率P隨著μ的增加而增加，圖中實(shí)線表示穩(wěn)定區(qū)域,虛線表示不穩(wěn)定區(qū)域。圖2(b)是T與功率P的關(guān)系，隨著T的增加P減小，當(dāng)μ增加時P隨著T減小的速度變緩。圖2(c)是μ與微擾實(shí)部Re(λ)之間的關(guān)系，當(dāng)實(shí)部>0時，對應(yīng)的基極孤子不穩(wěn)定。孤子在光晶格傳輸有一個存在區(qū)域與穩(wěn)定區(qū)域，調(diào)制深度與傳播常數(shù)μ的存在閾值μ1穩(wěn)定閾值μ2是一一對應(yīng)的，基極孤子存在時傳播常數(shù)μ>μ1(圖2(a))，而在穩(wěn)定時μ>μ2(圖2(c))，所以基極孤子的穩(wěn)定區(qū)域是δ(μ)=μ2-μ1，圖2(d)，2(e)，2(f)分別為T與μ1，μ2，δ(u)之間的關(guān)系。可以看出基極孤子在調(diào)制深度T≥0時存在(圖2(d))，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加，而穩(wěn)定區(qū)域δ(μ)先增大后減小，在T=7時穩(wěn)定區(qū)域最小。

圖2 (a)傳播常數(shù)μ與功率P的關(guān)系；(b) 調(diào)制深度T與P的關(guān)系；(c)傳播常數(shù) μ與微擾增長率實(shí)部Re(λ)的關(guān)系；(d)調(diào)制深度T與傳播常數(shù)存在閾值μ1的關(guān)系；(e)調(diào)制深度T與傳播常數(shù)穩(wěn)定閾值μ2的關(guān)系；(f)調(diào)制深度T與穩(wěn)定區(qū)域δ(μ)的關(guān)系。

圖3(a)、(b)、(c)表示不同調(diào)制深度T和傳播常數(shù)μ時基極孤子的強(qiáng)度分布，圖3(a)、(b)、(c)分別對應(yīng)圖2(a)功率曲線中所標(biāo)出的三個點(diǎn)。當(dāng)T=2，μ增加時，圖3(a)中孤子的光強(qiáng)小于圖3(b)；當(dāng)μ=10，T增加時，圖3(b)中孤子的光強(qiáng)大于3(c)。圖3(d)、(e)、(f)是對應(yīng)孤子實(shí)部的光場分布，圖3(g)、(h)、(i)為孤子的虛部分布?？梢姽鈭鰧?shí)部關(guān)于原點(diǎn)偶對稱，而虛部關(guān)于原點(diǎn)奇對稱，基極孤子與PT勢的對稱相關(guān)。圖3(j)、(k)、(l)是對應(yīng)孤子的穩(wěn)定性光譜，由于孤子圖3(d)的光譜僅僅包含虛部本征值，因此這個是孤子穩(wěn)定的；而孤子圖3(a)、(b)的光譜包含兩對復(fù)數(shù)和兩對實(shí)數(shù)本征值，所以此孤子不穩(wěn)定。對應(yīng)圖2(a)孤子的穩(wěn)定區(qū)域。

三、二極孤子

我們再對方程(1)求解得到二極孤子。圖4(a)是功率P與傳播常數(shù)μ之間的關(guān)系，可以看到P隨μ的增大而增大，圖中實(shí)線是表示穩(wěn)定區(qū)域，虛線表示不穩(wěn)定區(qū)域，其中，調(diào)制深度T增大，功率P隨μ的增加而增加的速率變緩。而圖4(b)為功率P與調(diào)制深度T之間的關(guān)系，隨著T的增加P減小，其中，傳播常數(shù)μ增大，P隨T的增加而減小的速率變緩。圖4(c)是傳播常數(shù)μ與微擾因子實(shí)部Re(λ)之間的關(guān)系，當(dāng)實(shí)部>0時，對應(yīng)的孤子不穩(wěn)定。孤子傳輸?shù)拇嬖趨^(qū)域與穩(wěn)定區(qū)域中，調(diào)制深度與傳播常數(shù)μ的存在閾值μ1穩(wěn)定閾值μ2是一一對應(yīng)，孤子存在時傳播常數(shù) (圖4(a))，而孤子穩(wěn)定時μ<μ2(圖4(c))，所以二極孤子的穩(wěn)定區(qū)域是δ(μ)=μ2-μ1，圖4(d)-(f)分別為T與μ1，μ2，和δ(μ)之間的關(guān)系?？梢钥闯龆O孤子在調(diào)制深度T≥0時存在(圖4(d))，且隨著T的增大，μ1和μ2均增加，而穩(wěn)定區(qū)域δ(μ)先增大后減小，在T=4穩(wěn)定區(qū)域最小。

圖3 (a)(b)(c) 基極孤子強(qiáng)度分布圖，參數(shù)為(a)T = 2，μ =5，(b) T = 2 ，μ = 10，(c) T = 3，μ = 10，分別對應(yīng)圖3(a)功率曲線所標(biāo)出的3個點(diǎn)；(d)(e)(f) 基極孤子光場實(shí)部分布；(g)(h)(i) 基極孤子光場虛部分布；(j)(k)(l) 基極孤子線性穩(wěn)定性光譜

圖4 (a) 傳播常數(shù)μ與功率P的關(guān)系；(b) 調(diào)制深度T與P的關(guān)系；(c)傳播常數(shù) μ與微擾增長率實(shí)部Re(λ)的關(guān)系；(d)調(diào)制深度T與傳播常數(shù)存在閾值μ1的關(guān)系；(e)調(diào)制深度T與傳播常數(shù)穩(wěn)定閾值μ2的關(guān)系；(f)調(diào)制深度T與穩(wěn)定區(qū)域δ(μ)的關(guān)系。

圖5(a)-(c)表示不同調(diào)制深度T和傳播常數(shù)μ時二極孤子的光場分布，其分別對應(yīng)圖4(a)中所標(biāo)出的三個點(diǎn)。當(dāng)T=6，傳播常數(shù)μ增加時，圖5(b)中孤子的光強(qiáng)大于5(a)；當(dāng)μ=13.8時，圖5(c)中孤子的光強(qiáng)小于圖5(b)。圖5(d)-(f)時對應(yīng)的二極孤子的光場實(shí)部，可以看出它是關(guān)于原點(diǎn)奇對稱。圖5(g)-(i)是二極孤子虛部分布。它是關(guān)于原點(diǎn)偶對稱。圖5(j)(k)(l)是對應(yīng)孤子的線性穩(wěn)定性光譜，由于孤子5(a)，5(b)的本征譜僅僅包含虛數(shù)特征值，因此這兩個孤子穩(wěn)定；而孤子圖3(c)的本征譜包含兩對復(fù)數(shù)和兩對實(shí)特征值，因此該孤子線性不穩(wěn)定。這是由于方程1中的非線性項(xiàng)是三五次競爭，它在與晶格的相互作用下限制了色散，非線性效應(yīng)加強(qiáng)光束寬度變小抑制了孤子的能量轉(zhuǎn)移，使得在這種平衡狀態(tài)下得到穩(wěn)定孤子。二極孤子之間存在著相互排斥的作用，這是因?yàn)楣馐趥鬏斶^程中基極孤子之間出現(xiàn)了π個相位差，所以在得到穩(wěn)定的二極孤子時需要對基極孤子更大的調(diào)制深度，進(jìn)而分裂得到二極孤子。

圖5 (a)(b)(c)二極孤子強(qiáng)度分布圖，參數(shù)為(a)T = 6，μ = 11.2，(b) T = 6，μ = 13.8，(c) T = 7，μ = 13.8，分別對應(yīng)圖2(a)功率曲線所標(biāo)出的3個點(diǎn)；(d)(e)(f) 二極孤子光場實(shí)部分布；(g)(h)(i) 二極孤子光場虛部分布；(j)(k)(l) 二極孤子線性穩(wěn)定性光譜

四、結(jié)語

我們研究了基極和二級光孤子在PT對稱晶格勢中的傳輸特性。他們具有共同的特點(diǎn)：功率都隨著傳播常數(shù)的增加而增大，隨著調(diào)制深度的增加而減小。二極孤子內(nèi)部的排斥力作用導(dǎo)致光束在PT勢中分裂成四極孤子。而對于PT 晶格勢，當(dāng)實(shí)部的晶格調(diào)制系數(shù)V0增大時，PT勢的相對強(qiáng)度的帶隙結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，PT強(qiáng)度呈波浪式增大，而孤子在低能量區(qū)域是穩(wěn)定的，高能量區(qū)域不穩(wěn)定。

[1] 黃景寧，徐濟(jì)仲，熊吟濤．孤子：概念、原理和應(yīng)用[M]．北京：高等教育出版社，2004.

[2] 何影記．空間孤子傳輸?shù)难芯縖D]．激光與光譜學(xué)研究所光電材料與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,2007.

[6]R.El-Ganainy,K.G.Makris,D.N.Christodoulides,andZ.H.Musslimani.TheoryofcoupledopticalPT-symmetricstructures[J].Opt.Lett.2007,(32): 2632～2634 .

[7]C.M.BenderandS.Boettcher,PT-symmetricquantummechanics[J].Phys.Rev.Lett.,1998,(80):5243.

[8]A.Guo,G.J.Salamo,D.Duchesne,etal.ObservationofPT-symmetrybreakingincomplexopticalpotentials[J].Phys.Rev.Lett.2009,(103):093902.

[9]Z.H.Musslimani,K.G.Makris,R.El-Ganainy,etal.OpticalsolitonsinPTperiodicpotentials[J].Phys.Rev.Lett.,2008:100, 030402 .

[10] 周博臻，花春波，徐四六，等.PT對稱晶格勢中渦旋光孤子[J]. 中國激光,2015，(5):165～171.

[11]D.MIHALACHE,D.MAZILU.RomanianReportsinPhysics[J].2008,60,3,749～761.

[12] 周博臻,徐四六,程正則. 光彈在庫墨-高斯晶格中傳輸特性的研究[J]. 物理學(xué),ActaPhys.Sin.2013, 62(8):084210.

[13]SiliuXu,JiangchuLiangandZhongmingLi.Self-similarspatiotemporalsolitarywavesinBesselHermiteopticallattices[J].Chin.Phys.B,2011,(20):11～17.

[14] 徐四六,劉會平, 易林, 強(qiáng)非局域非線性介質(zhì)中的二維庫墨-高斯孤子簇[J].物理學(xué)報(bào), 2010,59(2):1069～1075.

[15]SiliuXu,JiangchuLiangandLinYi.Self-similarsolitarywavesinBesselopticallattices[J].J.Opt.Soc.Am.B,2010, 27(1):99～106.

[16]SiliuXu,JiangchuLiangandLinYi.ExactsolitonsolutionstoageneralizednonlinearSchrodingerequation[J].Commun.Theo.Phys.,2010,531, 59～66.

[22]JiankeYang.NonlinearwavesinIntegrableandNon-integrableSystens[M].PA:SocietyforIndustrialandAppliedNathematicsphiladelpkia,2010.

[24]S.L.Xu,G.P.Zhou,N.Z.Petrovi,etal.NonautonomousvectormatterwavesintwocomponentBose-Einsteincondensateswithcombinedtime-dependentharmonic-latticepotential[J].J.Opt，17,2015,105605～105611.

[26]SiliuXu,JiangchuLiangandLinYi.SpatialSolitonSolutionsinaHarmonicPotential[J].CHIN.PHYS.LETT.,2009,(26): 074215～0742219.

2095-4654(2016)12-0083-06

2016-10-08 基金項(xiàng)目：國家大學(xué)生創(chuàng)新項(xiàng)目資助“可控光子晶格中光孤子傳輸特性及其應(yīng)用研究”(201410927007) 通訊作者：徐四六(1969-)，男，湖北省通山縣人，博士，湖北科技學(xué)院電子與信息工程學(xué)院教授，E-mail：1158447603@qq.com。

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