盧焱堯

摘 要：學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的核心目標(biāo)就是發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念. 我們的教學(xué)過(guò)多重視知識(shí)點(diǎn)的傳授，對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考核也局限在知識(shí)點(diǎn)的考核. 學(xué)生由于沒(méi)有經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)過(guò)程，難以形成正確的統(tǒng)計(jì)觀念. 觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷.要使學(xué)生逐步建立統(tǒng)計(jì)觀念，最有效的方法是讓他們真正投入統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過(guò)程中去. 本堂課，筆者以“活動(dòng)體驗(yàn)”為主線，以“問(wèn)題導(dǎo)引”為核心，以“應(yīng)用感悟”為目標(biāo)，并力圖通過(guò)“提出問(wèn)題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，進(jìn)行交流、評(píng)價(jià)與改進(jìn)”教學(xué)活動(dòng)環(huán)節(jié)達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，并讓學(xué)生在參與活動(dòng)中學(xué)會(huì)統(tǒng)計(jì)方法，感受統(tǒng)計(jì)思想.

關(guān)鍵詞：活動(dòng)設(shè)計(jì)；目標(biāo)達(dá)成；案例

[?] 內(nèi)容和內(nèi)容解析

統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)以及由數(shù)據(jù)分析結(jié)果做出決策的科學(xué). 現(xiàn)代社會(huì)是信息化的社會(huì)，人們常常需要收集數(shù)據(jù)，根據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價(jià)值的信息，做出合理的決策.統(tǒng)計(jì)可以為人們制定決策提供依據(jù).

本節(jié)課是普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》（必修3）中第二章《統(tǒng)計(jì)》第三節(jié)“變量間的相關(guān)關(guān)系”的內(nèi)容.本節(jié)主要是探討利用回歸直線方程對(duì)生活中的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)，使學(xué)生理解變量間的相關(guān)關(guān)系，增強(qiáng)應(yīng)用回歸直線方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)的意識(shí)，同時(shí)為選修2-3回歸分析的應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

“變量間的相關(guān)關(guān)系”一節(jié)教材的教學(xué)共分兩個(gè)課時(shí)：第一課時(shí)介紹變量間的相關(guān)關(guān)系，區(qū)分函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系；了解正相關(guān)、負(fù)相關(guān)的概念；利用統(tǒng)計(jì)抽樣的方法收集生活中變量間的相關(guān)關(guān)系. 第二課時(shí)介紹回歸直線的概念、意義；利用最小二乘法推導(dǎo)回歸直線方程的數(shù)學(xué)思想；利用回歸直線方程分析預(yù)測(cè)生活中的實(shí)際問(wèn)題.這一課時(shí)的內(nèi)容是一個(gè)比較完整的建立回歸直線模型解決實(shí)際問(wèn)題的例子，可以讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用回歸直線模型分析、預(yù)測(cè)實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程.

“變量間的相關(guān)關(guān)系”的主要內(nèi)容為采用定性和定量相結(jié)合的方法研究變量之間的相關(guān)關(guān)系，主要研究線性相關(guān)關(guān)系.主要概念有“相關(guān)關(guān)系”、“散點(diǎn)圖”、“回歸直線和回歸直線方程”、“相關(guān)系數(shù)”等. 研究方法為先繪制散點(diǎn)圖，直觀表示觀測(cè)數(shù)據(jù)，定性描述變量間相關(guān)關(guān)系的類(lèi)型、方向、相關(guān)程度. 然后應(yīng)用最小二乘法確定變量間相關(guān)關(guān)系的具體表達(dá)形式，描述變量間的數(shù)量規(guī)律，并由一個(gè)變量的取值去推測(cè)另一個(gè)變量的取值.

因此，本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是：了解最小二乘法的思想，利用此思想借助適合的信息技術(shù)手段求出回歸方程，并利用回歸直線進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析和預(yù)測(cè).

[?] 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置及解析

（一）教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)

1. 根據(jù)散點(diǎn)圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想及回歸方程系數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程.

2. 利用電子表格求出回歸直線的方程并對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，通過(guò)實(shí)例加強(qiáng)對(duì)回歸直線方程含義的理解.

過(guò)程與方法目標(biāo)

1. 通過(guò)啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生體會(huì)回歸直線是“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”的直線，并通過(guò)類(lèi)比轉(zhuǎn)化、化繁為簡(jiǎn)，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，感受最小二乘法的數(shù)學(xué)思想方法；

2. 讓學(xué)生全程參與對(duì)實(shí)際問(wèn)題中數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、判斷、預(yù)測(cè)等過(guò)程，讓學(xué)生真實(shí)感受統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)抽樣方法、相關(guān)關(guān)系等統(tǒng)計(jì)知識(shí)的理解，并培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用回歸直線方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)的能力.

3. 通過(guò)讓學(xué)生參與利用電子表格處理回歸直線方程，降低運(yùn)算量，增強(qiáng)分析功能，讓學(xué)生感受計(jì)算機(jī)等現(xiàn)代教育技術(shù)在統(tǒng)計(jì)中的重要作用.

情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)

通過(guò)小組合作，探究生活中具有相關(guān)關(guān)系的變量，并利用回歸方程分析、預(yù)測(cè)變量間的關(guān)系，使學(xué)生在親身經(jīng)歷解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中感知統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用價(jià)值，體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，以及統(tǒng)計(jì)“源于生活，服務(wù)于生活”的理念，并感受到課堂教學(xué)與生活應(yīng)用接軌時(shí)帶來(lái)的成就和快樂(lè).

（二）目標(biāo)解析

1. 學(xué)生在學(xué)習(xí)了抽樣方法和相關(guān)關(guān)系后，對(duì)生活中具有線性相關(guān)的變量較為關(guān)注，此時(shí)調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生參與提出問(wèn)題、收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的全過(guò)程，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的內(nèi)驅(qū)力，為線性回歸方程的推導(dǎo)，創(chuàng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍.

2. 通過(guò)經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)并利用回歸直線分析和預(yù)測(cè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，使學(xué)生在觀察、分析、探究、歸納、類(lèi)比等思維活動(dòng)中獲取新知，這不僅可以提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用電子表格等信息技術(shù)手段解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)也可以增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成.

[?] 學(xué)生學(xué)情分析

1. 在學(xué)習(xí)本堂課內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)抽樣的基本方法，基本掌握用樣本數(shù)據(jù)的特征去估計(jì)總體數(shù)據(jù)特征的統(tǒng)計(jì)思想，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)圖，例如：直方圖、散點(diǎn)圖的制作，了解統(tǒng)計(jì)圖在刻畫(huà)樣本數(shù)據(jù)特征中的作用及不足，同時(shí)通過(guò)對(duì)上一課時(shí) “變量間的相關(guān)的關(guān)系”學(xué)習(xí)，學(xué)生了解到生活中的眾多變量中除了函數(shù)這一確定性的關(guān)系外，還有許多非確定性的關(guān)系，比如相關(guān)關(guān)系. 研究變量的相關(guān)關(guān)系能幫助我們對(duì)變量進(jìn)行預(yù)測(cè)、估計(jì)，為決策提供相關(guān)的統(tǒng)計(jì)依據(jù).

2. 為了達(dá)成教學(xué)目標(biāo)中關(guān)于回歸直線是最能體現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系中樣本點(diǎn)“代表性”的直線，如何把這種“代表性”轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與線的接近程度，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離，然后通過(guò)化繁為簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為平行于縱軸的直線上兩點(diǎn)間的距離，最后轉(zhuǎn)化為用最小二乘法求一個(gè)二元函數(shù)最小值從而解決回歸直線方程的過(guò)程. 這一探究過(guò)程是本堂課所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想的核心過(guò)程，學(xué)生對(duì)這一過(guò)程的理解在認(rèn)知上有困難，這需要教師在課堂教學(xué)中問(wèn)題的設(shè)計(jì)上充分考慮學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，采取層層遞進(jìn)的提問(wèn)方式；在師生的對(duì)話中充分關(guān)注和發(fā)現(xiàn)學(xué)生的觀點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)給予積極的肯定與評(píng)價(jià)，讓推導(dǎo)過(guò)程水到渠成而不牽強(qiáng)附會(huì).

3. “最小二乘法”作為經(jīng)典的回歸方程估算方法：通過(guò)用數(shù)學(xué)方法刻畫(huà)“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”這一直觀的幾何描述，并采取合適的數(shù)學(xué)處理方法，最終獲得回歸直線，對(duì)學(xué)生認(rèn)可統(tǒng)計(jì)估算的科學(xué)性有很大的幫助.

基于此，如何把“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”用合適的代數(shù)符號(hào)刻畫(huà)并化簡(jiǎn)，化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題，是順利了解“最小二乘法”思想的前提；而如何化簡(jiǎn)復(fù)雜的代數(shù)表達(dá)式，學(xué)生缺乏處理的經(jīng)驗(yàn)，在計(jì)算能力的要求上也較高. 要了解“最小二乘法思想”，接受“由系數(shù)公式得到的線性方程”為回歸方程，理解此方程可作為兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系變量的代表這一回歸直線概念本質(zhì)，并體現(xiàn)相對(duì)于其他估算方法的優(yōu)越性，又必須要求對(duì)給出的系數(shù)公式來(lái)源進(jìn)行一定的說(shuō)理.

4. 知識(shí)發(fā)展的要求與學(xué)生能力和經(jīng)驗(yàn)的欠缺成為本節(jié)課將會(huì)遇到的最大矛盾. 教學(xué)中，要防止兩種傾向：一是直接套用回歸系數(shù)公式求解回歸方程而回避說(shuō)理過(guò)程；二是過(guò)多糾纏于數(shù)學(xué)刻畫(huà)過(guò)程，甚至在課堂內(nèi)花大量時(shí)間對(duì)回歸系數(shù)公式進(jìn)行證明說(shuō)理. 這兩種傾向，都脫離了實(shí)際情況，前者忽略了“最小二乘法思想”，迷失了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)；后者則人為地拔高了教材要求，脫離了本節(jié)課教學(xué)要求.

基于以上教學(xué)目標(biāo)，確定本堂課的難點(diǎn)為：如何通過(guò)數(shù)學(xué)方法刻畫(huà)“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”并在此過(guò)程中了解最小二乘法思想. 以及利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)對(duì)生活中相關(guān)變量的收集、處理、分析、預(yù)測(cè)與評(píng)價(jià).

[?] 教學(xué)策略分析

學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的核心目標(biāo)就是發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念. 針對(duì)“學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)有怎樣的印象”曾經(jīng)做過(guò)一次調(diào)查問(wèn)卷，獲得的信息大致有以下幾類(lèi)：（1）統(tǒng)計(jì)就是分類(lèi)；（2）統(tǒng)計(jì)是計(jì)算；（3）統(tǒng)計(jì)就是做加法；（4）統(tǒng)計(jì)就是填統(tǒng)計(jì)表；（5）統(tǒng)計(jì)就是畫(huà)統(tǒng)計(jì)圖，或者是根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖回答問(wèn)題……問(wèn)卷的結(jié)果說(shuō)明了什么？說(shuō)明我們對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)出現(xiàn)了偏差. 我們的教學(xué)過(guò)多重視知識(shí)點(diǎn)的傳授，對(duì)統(tǒng)計(jì)知識(shí)的考核也局限在知識(shí)點(diǎn)的考核. 因此在教學(xué)過(guò)程中，重點(diǎn)放在有關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算上，學(xué)生沒(méi)有經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)過(guò)程，難以形成正確的統(tǒng)計(jì)觀念. 觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷. 要使學(xué)生逐步建立統(tǒng)計(jì)觀念，最有效的方法是讓他們真正投入統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過(guò)程中去：提出問(wèn)題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，進(jìn)行交流、評(píng)價(jià)與改進(jìn). 在參與活動(dòng)中學(xué)會(huì)統(tǒng)計(jì)方法，滲透統(tǒng)計(jì)思想.

1. 本節(jié)課的內(nèi)容“變量間的相關(guān)關(guān)系”與生活緊密相連，清晰地展現(xiàn)出其應(yīng)用價(jià)值. 基于此，本堂課關(guān)于教學(xué)策略的設(shè)計(jì)，筆者以“活動(dòng)體驗(yàn)”為主線，以“問(wèn)題導(dǎo)引”為核心，以“應(yīng)用感悟”為目標(biāo)，以信息技術(shù)為輔助手段組織教學(xué)，教學(xué)結(jié)構(gòu)流程如下：

2. 本堂課的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)回歸方程推導(dǎo)過(guò)程的理解，為此，筆者通過(guò)設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)、貼近學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的六個(gè)問(wèn)題串，幫助學(xué)生理解“回歸直線即從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”這一關(guān)鍵轉(zhuǎn)化，以及將距離由絕對(duì)值形式轉(zhuǎn)化為二元二次函數(shù)形式的最小二乘法思想.

3. 為關(guān)注在邏輯推導(dǎo)方面有困難學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，筆者充分調(diào)動(dòng)這部分學(xué)生在數(shù)據(jù)收集、歸納整理以及匯報(bào)展示等方面的優(yōu)點(diǎn)，并讓他們與數(shù)據(jù)分析與處理能力較強(qiáng)的學(xué)生構(gòu)成學(xué)習(xí)小組，優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，協(xié)作探究.

4. 統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)不應(yīng)只局限于數(shù)據(jù)的處理、繁雜的計(jì)算，其應(yīng)用價(jià)值只有讓學(xué)生參與從問(wèn)題提出、調(diào)查研究、數(shù)據(jù)收集、分析處理、預(yù)測(cè)判斷、評(píng)價(jià)反饋的全過(guò)程，學(xué)生才能真切地感受統(tǒng)計(jì)源于生活、服務(wù)生活的價(jià)值. 因此在課堂教學(xué)中，筆者關(guān)注學(xué)生在各個(gè)環(huán)節(jié)的表現(xiàn)，并給予團(tuán)隊(duì)綜合評(píng)價(jià).

聽(tīng)課教師評(píng)價(jià)：

學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的核心目標(biāo)就是發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計(jì)觀念，觀念的建立需要人們親身的經(jīng)歷. 要使學(xué)生逐步建立統(tǒng)計(jì)觀念，最有效的方法是讓他們真正投入統(tǒng)計(jì)活動(dòng)的全過(guò)程中去.

本堂課，執(zhí)教教師把活動(dòng)作為貫穿整個(gè)教學(xué)過(guò)程的主線，讓7個(gè)研究小組根據(jù)自己的關(guān)注點(diǎn)，聯(lián)系生活實(shí)際，提出問(wèn)題，收集數(shù)據(jù)，整理數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，做出決策，進(jìn)行交流、評(píng)價(jià)與改進(jìn)，通過(guò)全面參與統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，讓學(xué)生真切地體會(huì)到“變量的線性相關(guān)關(guān)系”在生活中的預(yù)測(cè)、估計(jì)功能.愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)：“純邏輯的思維不可能告訴我們?nèi)魏谓?jīng)驗(yàn)世界的知識(shí)，現(xiàn)實(shí)世界的一切知識(shí)是始于經(jīng)驗(yàn)并終于經(jīng)驗(yàn)的.” 經(jīng)驗(yàn)性的觀察積累了數(shù)據(jù)，然后從數(shù)據(jù)做出某種判斷，這種活動(dòng)將有利于發(fā)展學(xué)生的發(fā)現(xiàn)能力和創(chuàng)新精神.

本堂課的教學(xué)難點(diǎn)是回歸直線方程的推導(dǎo)，怎樣將回歸直線是“從整體上看最具有代表性的直線”這一直觀感受轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述并最終運(yùn)用最小二乘法的數(shù)學(xué)思想求解，執(zhí)教教師頗費(fèi)功夫. 教師為此層層遞進(jìn)連續(xù)設(shè)計(jì)了六個(gè)問(wèn)題構(gòu)成的問(wèn)題串，讓學(xué)生在探究問(wèn)題的過(guò)程中感受到了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的魅力.

本堂課例題的設(shè)計(jì)，執(zhí)教教師跳出教材的限制，充分利用學(xué)生收集的現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)，與學(xué)生一起分析、分享、拓展，在溝通與合作的過(guò)程中讓學(xué)生感受到成功的愉悅. 若是交流的時(shí)間再充分一些，智慧的碰撞再多生成一些，則效果會(huì)更好.