盧圣新

摘 要：在課堂教學中，學生思維智慧的火花、探究問題能力的培養(yǎng)容易被忽視，容易被機械訓練、題海戰(zhàn)術取代，由此，文章提出如何在課堂教學中點燃學生思維的火花、發(fā)展學生的能力方面開展課堂活動，使學生主動的學、終身學習能力的培養(yǎng)與課堂教學達到完美的統(tǒng)一.

關鍵詞：課堂教學；思維培養(yǎng)；發(fā)展能力；思想滲透

《高中數(shù)學課程標準》中指出：“高中數(shù)學課程應注重提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一.” 在信息爆炸的今天，知識日新月異，許多新的知識隨時隨地可能出現(xiàn)在面前，在學校中所學的許多知識通常在走出校門后不久就會被大量遺忘，但是那些銘刻于頭腦中的數(shù)學思想、思維方式、學習方法以及研究問題科學的態(tài)度、習慣等都將伴隨著學生一生，并使學生終身受益，因此在課堂教學中，教師不僅要讓學生學會繼續(xù)深造所必需的基礎知識、基本技能、基本方法和基本思想，同時還要在教學中讓學生經(jīng)歷思維產(chǎn)生的過程，培養(yǎng)學生用數(shù)學思維去觀察、分析、思考問題，培養(yǎng)學生終生學習的能力. 下面結合本人在教學實踐中是如何培養(yǎng)提升學生的思維能力、關注學生能力發(fā)展方面談些膚淺的認識.

[?] 情境教學，尋找思維源泉

建構主義學習理論認為，學習總是與一定的知識背景，即“情境”相聯(lián)系，在實際情境下進行學習，可以使學生利用已有知識與經(jīng)驗同化和索引出當前要學習的新知識，這樣獲取的知識不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情境中，同時情境教學也有利于培養(yǎng)學生主動觀察生活、積極思考問題的習慣，通過情景搭建思維的平臺，讓學生體驗到思維的價值，找到思維開發(fā)的源泉.

例1 在《基本不等式≤》一課教學中就可以通過創(chuàng)設以下情境引入：把一個物體放在天平的一端上，在另一端放上砝碼使天平平衡，稱得物體的質量為a. 但如果天平的兩臂長略有不同，則a并非物體的真實質量，這時我們可以考慮做第二次測量：把物體調換到天平的另一端上，此時稱得物體的質量為b，那么有人認為物體的質量為，你認為合理嗎？若合理請說明理由，若不合理則比物體真實的質量是大還是??？你能用幾種方法說明它們之間的大小關系？（可以用比較法、分析法、綜合法、數(shù)形結合法等）

學生在情境的引領下，點燃了解決問題的興趣，思維就如涌泉之水被激發(fā)出來.

[?] 過程教學，激發(fā)思維潛能

荷蘭教育學家弗賴登塔爾指出，學習數(shù)學的正確的方法是學生的“再創(chuàng)造”，即由學生把要學的數(shù)學知識自己創(chuàng)造或發(fā)現(xiàn)出來. 教材的定理、公式、法則等都是前人探索、研究的成果，僅僅讓學生機械的記憶、簡單的運用顯然是不夠的，教師應學會用教材“教”，而不僅僅是“教”教材. 人民教育出版社新編的A版教材在《二倍角的正弦、余弦、正切公式》、《等比數(shù)列》等課的編寫中就已經(jīng)有了很大的改進，課文中就出現(xiàn)了許多空白的方框（讓學生自己發(fā)現(xiàn)公式），此時教師在教學過程中應充分展示知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程，讓學生在經(jīng)歷、沖突、體驗中發(fā)展思維，在“發(fā)現(xiàn)”中激發(fā)學生的思維潛能，提升思維水平，促進學生能力的發(fā)展.

例2 在《等比數(shù)列前n項和》一節(jié)教學中，可采用在古印度發(fā)明國際象棋之后國王獎賞發(fā)明者故事的引領下，引導學生提出并探究問題：如何求S=1+2+22+23+…+263的值？雖然教學中課堂時間緊，但若急急忙忙地就拋出“錯位相減法”后進行實題訓練，這樣顯然有違了學生的認知規(guī)律，不僅不利于學生思維的培養(yǎng)，也不利于知識的記憶，教師可緊緊抓住教材的特點，充分利用教材引導學生積極思考，主動發(fā)現(xiàn)并歸納總結.

問題1：式子S=1+2+22+23+…+263①的右邊有什么特點？

學生：是公比為2的等比數(shù)列的前64項的和.

問題2：如何求①式的值？

讓學生先觀察、分析、思考，幾分鐘之后教師再引導學生類比等差數(shù)列前n 項和公式中用首項與公差，或首末兩項來表示公式的特點探究等比數(shù)列前n項和公式的推導過程.

問題3：如果把上式①的兩邊同時乘以公比2，能得出一個怎樣的式子？

學生：2S=2+22+23+…+263+264②.

問題4：觀察①、②兩個等式，它們有什么特點與聯(lián)系？這對求S的值有什么幫助？

學生：①、②兩個等式有很多相同的項，如果將兩式相減可以消掉，得到一個僅與首末兩項有關的簡單的關系式： -S=1-264，所以S=264-1.

問題5：如何求等比數(shù)列{an}的前n項和Sn的值？

學生：Sn=a1+a1·q+a1·q2+…+a1·qn-1=a1·（1+q+q2+…+qn-1）.

問題轉化為先求Tn=1+q+q2+…+qn-1的值，這與式子①的解決方法一致.

學生在問題的啟示下，體會通過等式兩邊同時乘以公比q并將兩式相減達到求同存異、消除差異，從而經(jīng)歷、體驗、領悟求等比數(shù)列前n項和的方法——錯位相減法，這種由特殊到一般也符合學生的認知規(guī)律，學生也能在“發(fā)現(xiàn)”中提升思維水平.

[?] 變式教學，強化思維深度

心理學研究表明，凡是對比強烈、明顯，不斷變化的事物以及與已有知識經(jīng)驗有密切關系的事物都容易引起學生的興趣與思考，因此課堂中實施變式教學無疑吻合這一特點. 通過變式教學，對調動學生學習的主動性、激發(fā)學生的求知欲望和進取精神具有積極的作用，它有利于培養(yǎng)學生思維的靈活性、嚴密性和深刻性，有利于培養(yǎng)學生思維的深度與廣度，促進學生能力的提高.

例3 在《雙曲線及其標準方程》的概念教學中，在學習雙曲線的定義“平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于

F1F2

）的點的軌跡叫做雙曲線”以后，可以通過變式教學，編寫如下一組題目，以達到深化概念，強化思維深度，從而提高對雙曲線概念的理解與認識.

問題1：若將定義中的“小于

F1F2

”變?yōu)椤暗扔?/p>

F1F2

”，其余不變，則點的軌跡是什么？（點的軌跡是分別以F1、F2為端點的兩條射線.）

問題2：若將定義中的“小于

F1F2

”變?yōu)椤按笥?/p>

F1F2

”，其余不變，則點的軌跡是什么？（點的軌跡不存在.）

問題3：若將定義中的“絕對值”刪掉，其余不變，則點的軌跡是什么？（點的軌跡為雙曲線的一支.）

問題4：若將定義中的“常數(shù)（小于

F1F2

）”改成“常數(shù)零”，其余不變，則點的軌跡是什么？（點的軌跡為線段F1F2的中垂線.）

問題5：若將定義中“小于

F1F2

”去掉，其余不變，則點的軌跡是什么？（體現(xiàn)分類討論思想，其實就是上面各種情形.）

問題6：若將定義中“差的絕對值等于常數(shù)（小于

F1F2

）”改為“和等于常數(shù)”，則點的軌跡是什么？

在本節(jié)教學中，為了使問題更加直觀、形象、生動，也可以借助信息技術，動態(tài)地體現(xiàn)曲線的變化過程，通過直觀感受、操作確認、對比等方法有效地完成概念教學，以強化思維的深度與廣度.

[?] 實踐探究，升華思維品質

蘇霍姆林斯基曾說：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者.” 將數(shù)學與生活聯(lián)系起來，通過數(shù)學問題生活化，生活問題數(shù)學化，進行實例探究，如：上課時，坐在什么位置才能最輕松地看到黑板上的板書？吊燈掛的高度對房間照明度有怎樣的影響？窗戶面積與采光量有怎樣的關系，若同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好還是變壞了？包裝盒如火柴、香煙等為什么多是長方體形式包裝？通過問題強化學生的應用意識，讓學生在探究中體驗到學習的快樂，升華思維的品質，促進能力的提升，實現(xiàn)數(shù)學可以讓生活更美好的愿望.

例4 在必修2《球的體積V=πR3》的教學中，除了可以采用教科書中直接給出體積公式外，也可以利用教科書探究與發(fā)現(xiàn)“祖暅原理與柱體、錐體、球體的體積”中介紹的祖暅原理導出體積公式，也可以利用極限思想得出球的體積（高一學生可暫不介紹），還可以如下通過多媒體演示實驗的方法探究得出球的體積公式.

問題1：由球的幾何結構特征可以猜想：球的體積與什么量關系密切？（球的半徑.）

問題2：由圓的周長C=2πR，圓的面積S=πR2，圓柱的體積V=πR2·h，以及圓錐的體積V=πR2·h等公式，可以猜想球的體積表達式可能是關于R的一個什么樣的式子？（三次方式子，如V=k·R3的形式，其中k是與π有關的常數(shù)，這里設圓的半徑、圓柱、圓錐底面圓的半徑與球的半徑都為R.）

問題3：如何確定k的值？（可以通過實驗“將球放入盛滿水的容器中，排出的水的體積就是球的體積”，改變R的大小，通過多次實驗估算出k的值.）

問題4：為了便于將球容于圓柱中，可以取圓柱、圓錐的高都為2R，通過實驗發(fā)現(xiàn)，圓柱中剩下的水正好可倒?jié)M圓錐，從而發(fā)現(xiàn)：

V球=V圓柱-V圓錐=πR2·2R-πR2·2R=πR3

運用這種方法探究，教師沒有將公式直接告訴給學生，而是通過類比、聯(lián)想、實驗，讓學生經(jīng)歷了直觀感知，類比猜想、實驗發(fā)現(xiàn)等思維過程，增加了思維的靈活性，提升了思維的遷移能力，使數(shù)學學習真正成為學生“思維發(fā)展”的平臺.

[?] 滲透思想方法，提升思維策略水平

數(shù)學思想和方法是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和應用過程中，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，是數(shù)學的靈魂，是思維結果的一種形式，帶有一般意義和相對穩(wěn)定的特征，由于它內涵的深刻性和外延的豐富性，需要在長期的思維活動中逐步體會，并形成意向和觀念，此意向和觀念又可以反過來潛意識地影響思維的策略水平，因此在教學中要加強對學生數(shù)學思想方法的滲透，這將有利于學生思維水平的整體提升.

例5 在空間向量的教學中可引導學生運用類比思想，讓學生經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間推廣的過程；在復數(shù)的教學中，可以通過類比實數(shù)、向量等運算性質探究復數(shù)的運算性質；可以將等差數(shù)列與等比數(shù)列、圓與橢圓、橢圓與雙曲線等進行類比，發(fā)現(xiàn)兩者的異同點，這都將有利于學生合情推理思維能力的培養(yǎng)和提升. 在解析幾何教學中，讓學生體會其本質是用代數(shù)方法研究圖形的幾何性質，體現(xiàn)了數(shù)形結合的數(shù)學思想；由三角公式cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ推導出C（α-β）、S（α±β）、T（α±β）、S（2α）、C（2α）、T（2α）公式過程中便體現(xiàn)了化歸思想；在立體幾何“柱、錐、臺體的側面積”教學中，可應用多媒體輔助教學，通過“展開法”把空間曲面轉化為平面圖形的面積來求解，也滲透了化歸思想和方法；在等比數(shù)列前n項和公式的推導與應用、解含參數(shù)不等式中就常體現(xiàn)分類討論思想；在解決直線與圓位置關系時就常用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想兩種解題策略.

當然，對學生思維能力的培養(yǎng)并不是一朝一夕就能解決、提高的事情，這需要教師在教學中有意識的滲透和培養(yǎng)，通過對教材的合理處理，讓學生不斷地經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數(shù)據(jù)處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，突出以人的發(fā)展為目的的教學，促進學生思維水平的提高，培養(yǎng)提升學生終身學習的能力.