劉全慧

(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙　410082)

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讀者來(lái)信

對(duì)《“不確定性原理”的一種新講法》一文的評(píng)述

劉全慧

(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙410082)

近期本刊上，顧學(xué)文、張立云和梁裕民三位作者發(fā)表了題為《“不確定性原理”的一種新講法》一文[1]，提出如下建議：不從電(粒)子單縫衍射實(shí)驗(yàn)出發(fā)，而從一維無(wú)限深勢(shì)阱中的量子力學(xué)定態(tài)解出發(fā)，在大學(xué)工科物理中引入不確定度和不確定性關(guān)系(原理).文獻(xiàn)[1]的立意不錯(cuò)，可惜瑕疵也很明顯.文章的討論基于兩個(gè)誤解，既誤解了粒子單縫衍射實(shí)驗(yàn)中的不確定度的含義，也誤解了一維無(wú)限深勢(shì)阱中定態(tài)的動(dòng)量分布的定義.本評(píng)述希望澄清這兩個(gè)誤解.

第一，關(guān)于粒子單縫實(shí)驗(yàn)中如何討論不確定度及不確定性原理.費(fèi)恩曼的講法代表了正統(tǒng)的理解[2].縫寬為B且記坐標(biāo)在縫寬方向(設(shè)為y方向)的不確定度為Δy.那么，B和Δy之間關(guān)系如何? “比較確切地說(shuō)，我們關(guān)于y坐標(biāo)的知識(shí)的誤差是±B/2.不過(guò)我們現(xiàn)在只對(duì)一般性的思想有興趣，所以我們不必在意因子2.”[2]即可以認(rèn)為Δy和B同量級(jí).在單縫實(shí)驗(yàn)中，不妨把衍射圖像的第一級(jí)極小對(duì)應(yīng)的角度作為角度不確定性的一種量度.由此可得海森伯不確定性原理[2]：

ΔyΔpy≈h

注意，其中的Δy和Δpy都是經(jīng)典力學(xué)中的軌道不確定度和動(dòng)量不確定度.換一個(gè)角度看，海森伯不確定性原理不過(guò)是把分辨率δy和波長(zhǎng)λ同量級(jí)，即δy≈λ，寫成了粒子語(yǔ)言而已.海森伯不確定性原理本來(lái)就是量子力學(xué)創(chuàng)立之初的一個(gè)原理，用來(lái)規(guī)范對(duì)量子力學(xué)的理解和發(fā)展，它本身有其確切的含義.這里的不確定度，原本就不是量子力學(xué)中的概念，而是經(jīng)典的概念.海森伯不確定性原理的一個(gè)重要目的在于限制經(jīng)典概念適用的范圍[3].

量子力學(xué)創(chuàng)立之后，需要在其中找到海森伯不確定性原理的位置，這是另外一件事.量子力學(xué)中有所謂的不確定性關(guān)系.但是，不能把不確定性關(guān)系和海森伯不確定性原理等同起來(lái)，正像不能把2維相空間中的最小面積元ΔyΔpy=h和海森伯不確定性原理等同起來(lái)一樣.但是，可以把不確定性關(guān)系當(dāng)成海森伯不確定性原理在量子力學(xué)中的一個(gè)表達(dá)，不過(guò)很可能不是最恰當(dāng)?shù)谋磉_(dá)，至少未必是唯一表達(dá).例如，近年來(lái)的研究發(fā)現(xiàn)，量子力學(xué)中的誤差——干擾關(guān)系更加接近海森伯不確定性原理的精神[4].當(dāng)然，即便如此，也并不能抹殺不確定性關(guān)系的物理學(xué)價(jià)值.

而文獻(xiàn)[1]從三方面批評(píng)了單縫實(shí)驗(yàn)中粒子不確定度的定義，認(rèn)為該不確定度在邏輯上有瑕疵，概念不夠嚴(yán)謹(jǐn)，暗含了經(jīng)典軌道的概念等.都是不對(duì)的.

第二，關(guān)于一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子的不確定性關(guān)系.文獻(xiàn)[1]認(rèn)為其中的定態(tài)是兩列波相反方向傳播形成的駐波，相應(yīng)地，粒子的動(dòng)量至少有兩個(gè)可能值，并把這兩個(gè)可能值之差定義為動(dòng)量的不確定度.進(jìn)而得到ΔxΔpx～nh≥h，其中n=1,2,3,...為量子數(shù).

問(wèn)題是，無(wú)限深勢(shì)阱中的定態(tài)不是駐波.利用歸謬法證明如下.如果量子力學(xué)定態(tài)真是駐波，則有兩列行進(jìn)方向相反的行波.那么這些行波滿足什么運(yùn)動(dòng)學(xué)方程? 如果是薛定諤方程，則只能直接給出定態(tài).且這個(gè)定態(tài)已經(jīng)是基本解，在量子力學(xué)中就不能再進(jìn)行進(jìn)一步的分解.如果不是薛定諤方程，那么就有比薛定諤方程更為基本的動(dòng)力學(xué)方程，這和量子力學(xué)矛盾.還有個(gè)簡(jiǎn)單的理由可以排除駐波說(shuō).如果是駐波，系統(tǒng)的哈密頓算符和動(dòng)量算符同時(shí)具有確定值，而對(duì)于無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子，哈密頓算符和動(dòng)量算符不對(duì)易，不可能同時(shí)具有確定值.

關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，Cohen-Tannoudji, Diu和Lalo?的作法代表了正統(tǒng)的理解[5].按徹底的量子力學(xué)理解，動(dòng)量的本征函數(shù)必須定義在全空間，否則動(dòng)量算符不是自伴算符.盡管一維無(wú)限深勢(shì)阱中的定態(tài)在阱外為零，但是這個(gè)態(tài)定義在全空間，對(duì)于基態(tài)而言，動(dòng)量分布的主要部分是一個(gè)單峰，和“兩個(gè)相反方向傳播的波形成的駐波”這一觀點(diǎn)相距甚遠(yuǎn)!

僅僅在進(jìn)行近似處理，或者半經(jīng)典意義、或者取大量子數(shù)極限時(shí)，粒子的動(dòng)量才基本上取大小相等

方向相反的兩個(gè)值.盡管國(guó)內(nèi)的一些量子力學(xué)教材(例如文獻(xiàn)[6-8])也用了駐波說(shuō)，國(guó)外的主要教材找不到這個(gè)說(shuō)法.甚至一些網(wǎng)絡(luò)材料，都非常小心地處理了這個(gè)說(shuō)法.例如美國(guó)尤西紐斯學(xué)院(Ursinus College)的“Classical and Quantum Mechanical Waves”課程的教學(xué)網(wǎng)站中的講義中，先處理了駐波，然后說(shuō)這些處理 駐波“can describe (approximately) a physically reasonable system - the infinite square well”[9]. 這里，括弧中的一個(gè)單詞就強(qiáng)調(diào)了駐波說(shuō)的近似性.

最后指出，從文獻(xiàn)[1]的行文和引用的文獻(xiàn)可以看出，作者對(duì)不確定性原理中的不確定度的定義感到迷惑，有違和感，故而有所抵觸.而對(duì)量子力學(xué)不確定關(guān)系中的不確定度定義感覺比較親切，接受起來(lái)比較容易.這種感覺很多人都有.那么，可以完全不講不確定性原理，或者僅僅從淺易的程度上介紹.然后把重點(diǎn)放在量子力學(xué)不確定關(guān)系的講解中.這也未嘗不可.但是，不能把個(gè)人的感覺當(dāng)成普遍的理解.如果覺得無(wú)限深勢(shì)阱中的定態(tài)和駐波有些類似，必須注意到這僅僅是類似，它們的物理完全不同.

致謝本文受到國(guó)家自然科學(xué)基金的資助(批準(zhǔn)號(hào)11175063)、湖南大學(xué)教改基金資助，特此致謝.

[1]顧學(xué)文，張立云，梁裕民.“不確定性原理”的一種新講法[J].大學(xué)物理， 2015，34(12):6-8

[2]Feynman R P, Robert B Leighton, Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics Volume Ⅲ [M].Mass: Addison-Wesley, 1989: 2-2—2-4.

[3]Wichmann E H.Quantum Physics: Berkeley Physics Course, Volume 4[M]. New-York : McGraw-Hill，1971: 20.

[4]Busch P，Lahti P，Werner R F.Quantum root-mean-square error and measurement uncertainty relations [J]. Rev Mod Phys, 2014，86：1261-1281.

[5]Cohen-Tannoudji C, Diu B, Lalo? F.Quantum Mechanics Volume 1[M].New-York : Wiley, 1997:269-274.

[6]周世勛.量子力學(xué)教程[M].2版.北京：高教出版社，2009: 28.

[7]蘇汝鏗.量子力學(xué)[M].2版.北京：高教出版社，2002: 32.

[8]鄒鵬程.量子力學(xué)[M].2版.北京：高教出版社，2003: 66.

[9]Riley L A. http://webpages.ursinus.edu/lriley/courses/p212/lectures/node35.html.