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      分?jǐn)?shù)的乘法和除法

      2016-04-18 06:49:39胡重光
      湖南教育 2016年9期
      關(guān)鍵詞:加減法分母整數(shù)

      胡重光 周 志

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      分?jǐn)?shù)的乘法和除法

      胡重光周志

      分?jǐn)?shù)的加減法本文不作探討,但需要指出一點(diǎn):由于異分母分?jǐn)?shù)的加減法可轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)的加減法,而同分母分?jǐn)?shù)的加減法只需將分子相加減,所以整數(shù)加減法的運(yùn)算定律和性質(zhì)都適合分?jǐn)?shù)加減法。

      一、分?jǐn)?shù)乘法

      分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一,教材分為分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)三類分別教學(xué)。這一分法就表明,乘法是需要區(qū)分因數(shù)順序的。從教材中的例題可知,分?jǐn)?shù)乘整數(shù)表示若干個(gè)相同的分?jǐn)?shù)相加,整數(shù)乘分?jǐn)?shù)則表示求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少,意義完全不同。

      (一)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)

      分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的教學(xué)過程如下圖所示。

      這里有一個(gè)矛盾:既然把分?jǐn)?shù)乘整數(shù)與整數(shù)乘分?jǐn)?shù)分開教學(xué),就表明兩者的意義是不相同的,但是上面的“男嘉賓”卻說3個(gè)既可寫成×3,又可寫成3×。那么兩者就沒有區(qū)別了。

      還有一個(gè)問題是,這里其實(shí)不需要畫圖分析。因?yàn)閷α昙壍膶W(xué)生來說,分?jǐn)?shù)的加法無論是意義還是算法都已非常熟悉。不必要的重復(fù)不但浪費(fèi)時(shí)間,而且影響學(xué)習(xí)興趣。這個(gè)問題完全可以讓學(xué)生獨(dú)立解答,自己列式、自己計(jì)算,以提高他們獨(dú)立思考和主動(dòng)探索的能力。

      (二)整數(shù)乘分?jǐn)?shù)

      這里采用了類比的方法,先給出一個(gè)整數(shù)的例子,再將分?jǐn)?shù)的情況與它作類比。但既然是類比,第二個(gè)“想”就應(yīng)與第一個(gè)“想”結(jié)構(gòu)相同,即應(yīng)為:

      但是純粹從數(shù)學(xué)的角度教學(xué),兒童是難以理解的,必須從兒童熟悉的實(shí)例出發(fā)。教材雖然舉了實(shí)例,接下來卻沒有繼續(xù)貫徹“現(xiàn)實(shí)數(shù)學(xué)”的原則。這時(shí)應(yīng)該首先揭示問題的數(shù)量關(guān)系:水的總升數(shù)=每桶升數(shù)×桶數(shù)。

      然后與學(xué)生討論:如果桶數(shù)為分?jǐn)?shù)怎樣列式計(jì)算?最后得出,由于數(shù)量關(guān)系相同,不管是為整數(shù)還是為分?jǐn)?shù),都應(yīng)用同樣的算法,所以求桶的升數(shù)應(yīng)該用每桶升數(shù)乘。

      由此我們看到,抽象的數(shù)學(xué)與學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)問題相結(jié)合,就變得具體、親切,容易接受了。緊密聯(lián)系兒童的生活實(shí)際,是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)法寶。

      例如:火車每小時(shí)行駛120公里,照這樣的速度,3小時(shí)行駛多少公里?小時(shí)行駛多少公里?

      分析:根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”的數(shù)量關(guān)系式,第一問的算式是:120×3,其意義是:求120的3倍是多少。

      綜上所述我們得到:整數(shù)乘分?jǐn)?shù),把這個(gè)整數(shù)與分子相乘作積的分子,分母不變。

      這一法則與分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的法則相同。由此立即得出,乘法交換律對整數(shù)乘分?jǐn)?shù)也成立。

      以上的推導(dǎo)過程有兩點(diǎn)值得注意,一是始終根據(jù)實(shí)際意義得出算法。這樣做不但聯(lián)系了生活實(shí)際,兒童感興趣,而且道理表述清楚,兒童容易理解。二是先學(xué)習(xí)分子是1的情況,再學(xué)習(xí)分子不是1的情況,則后者的推導(dǎo)就很容易了。

      (三)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)

      這一部分內(nèi)容的教學(xué)過程如下圖所示。

      與整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的教學(xué)不同,這里用圖詳細(xì)地介紹了算理和算法,有理有據(jù)。但這一過程是相當(dāng)繁瑣的。實(shí)際上,分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理和算法都可以用實(shí)例很簡單地得出。例如:拖拉機(jī)每小時(shí)耕地公頃,小時(shí)耕地多少公頃?

      因?yàn)椤案乜偯娣e=每小時(shí)耕地面積×耕地時(shí)間”,所以算式是:×,其意義是:求的是多少,因此算法是:先將平分成4份,再乘3,即:

      這表明,兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘,只需將分子、分母分別相乘即可。由此我們得出:分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù),把分母與分母相乘作積的分母,分子與分子相乘作積的分子。

      這里利用了這樣一個(gè)道理:將一個(gè)分?jǐn)?shù)縮?。〝U(kuò)大)幾倍,相當(dāng)于將它的分母擴(kuò)大(縮?。妆丁8鶕?jù)分?jǐn)?shù)的意義,這是很明顯的。類似地,將一個(gè)分?jǐn)?shù)擴(kuò)大(縮?。妆?,相當(dāng)于將它的分母縮小(擴(kuò)大)幾倍。這兩條性質(zhì)很有用,我們完全可以在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)把它們作為推論提出來(當(dāng)然不出現(xiàn)“推論”這一術(shù)語)。

      有了交換律和結(jié)合律,幾個(gè)分?jǐn)?shù)相乘就可以按任意的順序進(jìn)行,十分方便。

      三、分?jǐn)?shù)的除法

      (一)分?jǐn)?shù)除以整數(shù)

      分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的教學(xué)與分?jǐn)?shù)乘整數(shù)類似,過程如下圖所示。

      這類問題意義明確,算法簡單,既然已要求學(xué)生“自己試著折一折,算一算”,教材再畫圖分析、詳細(xì)推導(dǎo),似乎就越俎代庖了。

      由此我們得到:分?jǐn)?shù)除以整數(shù),可以用分?jǐn)?shù)的分子除以整數(shù)的商作分子,分母不變。但是第二問÷3不能用這種方法,因?yàn)?不能被3整除。這時(shí)聯(lián)想到前面一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義或分?jǐn)?shù)的性質(zhì)可知也就是說:除以整數(shù),等于乘這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。

      二、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)

      這兩類問題教材用同一個(gè)例子引入,教學(xué)過程如下圖所示。這里應(yīng)對“÷”寫成“×”的道理進(jìn)行細(xì)致的教學(xué),不能簡單地要求學(xué)生說出來。一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)比分?jǐn)?shù)乘法更難理解,需要結(jié)合實(shí)例并與整數(shù)除法作類比。

      分析:第一問的數(shù)量關(guān)系是:速度=路程÷時(shí)間,算式是:6÷2,其意義是:已知一個(gè)數(shù)的2倍是6,求這個(gè)數(shù)是多少。第二問的數(shù)量關(guān)系相同,算式應(yīng)該是:÷,其意義是:已知一個(gè)數(shù)的(或倍)是,求這個(gè)數(shù)是多少。

      于是我們得到:分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù),等于乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。

      綜合前面分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的法則,我們得到:分?jǐn)?shù)除以一個(gè)數(shù),等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。(本文是基金項(xiàng)目湖南省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃課題(編號(hào):XJK013 CGD051),“課程標(biāo)準(zhǔn)小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材研究”、湖南省教育科學(xué)規(guī)劃課題(編號(hào):XJK013CJC004)、湖南省省級重點(diǎn)建設(shè)學(xué)科“課程與教學(xué)論”建設(shè)項(xiàng)目部分成果)

      (作者單位:湖南第一師范學(xué)院長沙市實(shí)驗(yàn)小學(xué))

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