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深化知識(shí)理解完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)
——一道試題的錯(cuò)解分析及其教學(xué)啟示

劉永良

(廣東省廣州市玉巖中學(xué),510530)

一、題目與錯(cuò)解

題目已知函數(shù)f(x)=(x2-ax+a)ex-x2,a∈R.若函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,求a的取值范圍.

這是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí),學(xué)生作業(yè)中的一道題目,由于經(jīng)驗(yàn)型思維錯(cuò)誤及思維不嚴(yán)謹(jǐn),學(xué)生中出現(xiàn)了以下兩種錯(cuò)解.

錯(cuò)解1因?yàn)閒′(x)=(x2-ax+2x)ex-2x,而f(x)在x=0處取得極小值,于是f′(0)=0,所以a∈R.

錯(cuò)解2由于函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.

因?yàn)閒′(x)=(x2-ax+2x)ex-2x=x[(x-a+2)ex-2]，所以

(x-a+2)ex-2>0,

其中x∈(-∞,0)∪(0,+∞),

a

令h′(x)=0,得x=ln 2.

所以a的取值范圍(-∞,3+ln 2).

二、剖析與正解

這兩種錯(cuò)解對幫助學(xué)生理解函數(shù)極值存在的條件是很好的材料,我們將以上解法展示給學(xué)生,請學(xué)生進(jìn)行判斷.很快有學(xué)生提出質(zhì)疑,認(rèn)為兩種解法均是錯(cuò)誤的.他們是用特殊值法驗(yàn)證的:

若a=2,則f(x)=(x2-2x+2)ex-x2,

f′(x)=x2ex-2x=x(xex-2).

當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈(0,ln 2)時(shí),f′(x)<0,從而當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)f(x)取得極大值,因此x=0不是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn).

因此前面兩種解法均是錯(cuò)誤的.于是筆者請學(xué)生進(jìn)一步思考.錯(cuò)誤出在哪一步呢?

函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,除了f′(0)=0外,是否一定要滿足條件.當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0嗎?

其實(shí)，函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,除了f′(0)=0外,不一定要x∈(-∞,0)時(shí),f′(x)<0;x∈(0,+∞)時(shí),f′(x)>0.而應(yīng)該是函數(shù)f(x)在x=0的左右兩側(cè)的區(qū)間內(nèi),左邊是減函數(shù),右邊是增函數(shù)就可以了.

學(xué)生們似有所悟!一會(huì)兒有學(xué)生給出了如下正確解法.

正解f′(x)=(x2-ax+2x)ex-2x=x[(x-a+2)ex-2],顯然f′(0)=0,因此要使函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,需使f′(x)在x=0的左側(cè)為負(fù),右側(cè)為正.

令h(x)=(x-a+2)ex-2,則只需h(x)在x=0的左、右兩側(cè)均為正.

h′(x)=(x-a+3)ex.

由h′(x)=0,得x=a-3，所以a≠3.

這時(shí)h(x)在(-∞,a-3)上是減函數(shù),在(a-3,+∞)上是增函數(shù),從而h(x)在x=a-3處取得最小值,且h(a-3)=-ea-3-2<0,

因此,要函數(shù)f(x)在x=0處取得極小值,只要h(0)=-a>0,即a<0.

所以a的取值范圍是(-∞,0).

三、教學(xué)反思

1. 解題中的經(jīng)驗(yàn)型思維錯(cuò)誤值得反思

由于求解這類題目“已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m),設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn),求m”時(shí)，學(xué)生常常采用的就是利用f′(0)=0,從而求出m=1,而教師也未明確地指出其問題,因此形成了學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)化,他們很快將新信息同化到原有的信息中,沒有作精確分化,于是形成了錯(cuò)解1.這種由于受已有的數(shù)學(xué)知識(shí)和以往的解題經(jīng)驗(yàn)影響而造成的思維障礙就是經(jīng)驗(yàn)型思維錯(cuò)誤,在教學(xué)中尤其值得反思.學(xué)生的這種解題錯(cuò)誤往往是基于經(jīng)驗(yàn)而產(chǎn)生的不正確的遷移,其根源還是在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,對函數(shù)極值存在的充分與必要條件理解不準(zhǔn)確.

2. 解題中思維不嚴(yán)謹(jǐn)導(dǎo)致的錯(cuò)誤值得反思

對于錯(cuò)解2的形成,則是由于平時(shí)教學(xué)時(shí)把知識(shí)分解成了一個(gè)一個(gè)的小模塊,從而導(dǎo)致學(xué)生局部地看問題,在思維的嚴(yán)謹(jǐn)性上有缺陷,這也是教學(xué)中值得思考的一個(gè)問題.錯(cuò)解2中有兩處值得注意的問題.一是函數(shù)f(x)取得極小值的充分條件學(xué)生沒有弄清楚.二是函數(shù)只有一個(gè)導(dǎo)數(shù)為0的值時(shí),它是不是函數(shù)的最值,這些都是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方.教學(xué)時(shí)要對知識(shí)結(jié)構(gòu)精心組織,賦予知識(shí)點(diǎn)更多的信息,使它與其他知識(shí)發(fā)生一些外顯的或內(nèi)隱的聯(lián)系,讓學(xué)生在知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)之間建立起豐富的聯(lián)系,形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu),從而使學(xué)生在解決問題的過程中形成全面嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S.

3. 解題教學(xué)要在如何完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上展開反思

學(xué)生解題中折射出的解題錯(cuò)誤尤其值得深思,函數(shù)與導(dǎo)數(shù)滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合思想,這需要教師通過各種問題對學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)的積累.除了定性研究,也必須開展定量研究,在定性與定量上適時(shí)切換.在解題中引導(dǎo)學(xué)生自覺地對“數(shù)”與“形”進(jìn)行觀察與化歸,往往可以突破數(shù)學(xué)解題中的思維受阻狀況.而學(xué)生得出的正確解法就得益于學(xué)生對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解題中的數(shù)形結(jié)合思想理解較為深刻,對函數(shù)極值存在的充分與必要條件理解得較好.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)建立、擴(kuò)展、精致認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.“精致”或者是對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組,或者是對原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺陷的修補(bǔ).高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要在完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上開展教學(xué),使學(xué)生已學(xué)的知識(shí)得到完整的理解,只有當(dāng)知識(shí)結(jié)構(gòu)得以概括化和系統(tǒng)化而形成高度整合時(shí),知識(shí)技能才能轉(zhuǎn)化為能力,這是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力和提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的必然途徑.(本文系廣州市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“基于知識(shí)心理發(fā)生的數(shù)學(xué)教學(xué)研究與實(shí)踐”(課題編號(hào)2013B385)階段研究成果之一.)