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利用直線參數(shù)方程解兩類(lèi)常見(jiàn)題

李東進(jìn)

(江蘇省蘇州新草橋中學(xué)，215011)

眾所周知，平面內(nèi)過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)、傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為

一、解決橢圓中弦對(duì)張直角問(wèn)題

以橢圓中弦對(duì)中心張直角為背景的試題在高考、各地高考模擬試卷中經(jīng)常出現(xiàn),由于計(jì)算繁雜,解決起來(lái)并不輕松．若能利用直線的參數(shù)方程可將繁雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化成關(guān)于角α的代數(shù)式,再利用三角函數(shù)知識(shí)就可以計(jì)算出結(jié)果．

證明設(shè)直線OA的方程為

代入橢圓方程，得

b2t21cos2θ+a2t21sin2θ=a2b2.

設(shè)直線OB的方程為

代入橢圓方程，得

一是依據(jù)短板效應(yīng)原理，對(duì)各評(píng)價(jià)因子各分級(jí)進(jìn)行分類(lèi)賦值（見(jiàn)表2）。其中，強(qiáng)限制性因子具有“一票否決”作用，直接賦值為禁止建設(shè)區(qū)；較強(qiáng)限制性因子，采用專(zhuān)家咨詢(xún)法分別賦值為適宜、有條件適宜、不適宜。

(1)求橢圓E的方程;

(2)過(guò)原點(diǎn)O任作兩條相互垂直的射線交橢圓E于P、Q兩點(diǎn),試判斷直線PQ是否總與圓O相切,并說(shuō)明理由.

二、解決橢圓上四點(diǎn)共圓問(wèn)題

圓是數(shù)學(xué)中優(yōu)美的圖形,具有豐富的性質(zhì)．其中圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的相應(yīng)內(nèi)容也是高考考查的熱點(diǎn).

例2A1,A2,A3,A4是橢圓b2x2+a2y2=a2b2上的四點(diǎn),則直線A1A2與直線A3A4的斜率互為相反數(shù)(或都不存在)時(shí)點(diǎn)A1,A2,A3,A4共圓．

證明若直線直線A1A2與直線A3A4的斜率都不存在或都為零,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性易知,四邊形A1A2A3A4或?yàn)榈妊菪?或?yàn)榫匦?兩者都可得出對(duì)角互補(bǔ),故點(diǎn)A1,A2,A3,A4共圓.

若直線A1A2與直線A3A4的斜率互為相反數(shù)且不為零,易得直線A1A2與直線A3A4相交.設(shè)其交點(diǎn)為P(x0,y0),則直線A1A2與直線A3A4的參數(shù)方程分別為

代入橢圓方程b2x2+a2y2=a2b2,整理得

故得

PA1·PA2=|t1t2|

PA3·PA4=|t3t4|

所以PA1·PA2=PA3·PA4,

由割線定理的逆定理可知,點(diǎn)A1,A2,A3,A4共圓．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)證明P,Q兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平方和為定值;

(3)過(guò)點(diǎn)A,P,Q的動(dòng)圓記為圓C,動(dòng)圓C過(guò)不同于A的定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo).

通過(guò)以上兩類(lèi)問(wèn)題的解決,可以發(fā)現(xiàn)直線參數(shù)方程為我們?cè)诟咧须A段解決直線與圓錐曲線問(wèn)題帶來(lái)了無(wú)限的生機(jī)和廣闊的解題空間；特別是與根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合在一起解決距離有關(guān)的問(wèn)題,會(huì)使人感覺(jué)到耳目一新,起到意想不到的效果.