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談構(gòu)造立體幾何模型解題

由國(guó)清

(遼寧省建平縣職業(yè)教育中心，122400)

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們常常采用構(gòu)造法.在運(yùn)用構(gòu)造法解題時(shí)，可以針對(duì)具體問(wèn)題構(gòu)造不同的數(shù)學(xué)模型，如函數(shù)、方程、向量等等，也可以構(gòu)造圖形，如構(gòu)造立體模型.為增強(qiáng)學(xué)生的發(fā)散思維能力,在解題方法上加以創(chuàng)新,筆者在教學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn),有些問(wèn)題通過(guò)構(gòu)造立體模型來(lái)解決,會(huì)收到事半功倍的效果.本文在從以下幾個(gè)方面作出嘗試,以便拋磚引玉．

一、求函數(shù)的最值

分析函數(shù)f(x)可化為

構(gòu)造如圖1所示的長(zhǎng)方體,其棱長(zhǎng)分別為AB=2，BB1=5，BC=3.設(shè)BE=x則

f(x)=AE+EC1.

二、證明三角不等式

例2已知αβγ均為銳角,且cos2α+cos2β+cos2γ=1，求證tanα+tanβ+tanγ.

分析長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成角的余弦值的平方和等于1,為此我們可構(gòu)造一個(gè)相應(yīng)的長(zhǎng)方體ABCD——A1B1C1D1(如圖2),使∠C1AD=α，∠C1AB=β，∠C1AA1=γ.設(shè)AD=a,AB=b,AA1=c，則

∴tanα+tanβ+tanγ

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).

三、證明代數(shù)不等式

例3設(shè)x，y為正數(shù),求證:

在?ABC中，顯然有不等式|AB|+|BC|>|AC|，故原不等式成立．

四、在幾何中構(gòu)造模型

例4如圖4，正四面體O—ABC的各棱長(zhǎng)均為1,點(diǎn)D,E分別為棱OA,BC的中點(diǎn).

(1)求DE的長(zhǎng)；

(2)點(diǎn)O到平面ABC的距離．

分析由于正四面體可以放在正方體中得到,所以,我們可以將正四面體O—ABC放到一個(gè)正方體中，如圖5所示.

(2)求點(diǎn)O到平面ABC的距離,可以采用等積法，即

VO-ABC=V正方體-4VG-OAB.

設(shè)點(diǎn)O到平面ABC的距離為h,則

本文從四個(gè)方面闡述了利用構(gòu)造幾何模型的來(lái)進(jìn)行解題.構(gòu)造幾何模型能使問(wèn)題從一般到特殊,從抽象到具體,從陌生到熟悉,是一種化難為易的解題思想．這類(lèi)題型不僅開(kāi)闊學(xué)生的視野,而且還有助于發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維能力,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,為今后學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)．