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一類二元函數(shù)值域求法的探究

許正

(江蘇省江陰高級中學，214443)

二元函數(shù)值域問題是高中數(shù)學?？嫉念}型,學生在遇到此類題型時,往往錯誤率較高.本文先介紹一些解決此類問題的幾種基本解法,如消元法、不等式法、向量法、三角換元法、化歸法等,再通過變題介紹一些特殊解法,從而讓學生能更有效地解決此類問題.下面筆者就從幾個例題出發(fā)系統(tǒng)闡述這類問題的解決方法.希望對學生有所啟發(fā).

例1已知a,b>0且ab=a+b+3.

(1)求ab的取值范圍；

(2)求a+b的取值范圍.

思路1由條件可知a,b∈R*,所以想到基本不等式,通過已知的條件等式構(gòu)造關(guān)于ab和a+b的不等式.

思路2消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的值域問題(注意自變量范圍的求解).

解法1(不等式法)

(1)∵a,b>0,

當且僅當a=b時取等號.

由條件可得

解得ab≥9.

(2)由(1)可得a+b=ab-3≥6.

解法2(消元法)

變題已知a,b>0且ab=a+b+3,求a+2b的取值范圍.

分析很明顯此題已經(jīng)不能使用不等式的解法了,所以不等式法不能解決所有不等式問題,但可用消元法解決.

例2已知x2+xy-y2=1,求t=2x+y的取值范圍.

分析我們發(fā)現(xiàn)以上介紹的方法都不能解決這個二元函數(shù)值域問題,我們可以采用化歸的思想方法把這個問題轉(zhuǎn)化為一個二元方程有解的問題,即可解決．

解由t=2x+y，得y=t-2x，代入題設(shè)條件等式得

x2+x(t-2x)-(t-2x)2=1，整理得

5x2-5tx+t2+1=0，

則原問題等價于此方程有解,故Δ≥0，即得t≥2或t≤-2.

思路1我們發(fā)現(xiàn)根號下的和是定值,可以利用向量的工具解決.

z=m·n=|m||n|cosθ

上題還可用兩邊同時平方的方法解決,若只是要求其最大值還可用基本不等式法,三角換元、柯西不等式等方法直接求得,留由讀者練習.

例4已知變量x,y滿足條件

例5已知m,n∈R,且m+2n=2,則m·2m+n·22n+1的最小值為______.

分析此題可看作二元函數(shù)的值域問題,通過條件可先消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),可設(shè)一元函數(shù)為f(x)=x·2x+(2-x)22-x,再由函數(shù)單調(diào)性即可求得最小值.

解(構(gòu)造函數(shù))令m=x,f(x)=x·2x+(2-x)22-x易知f(x)=f(2-x)，則f(x)圖象關(guān)于x=1對稱.

當x>1時，

f′(x)=x2xln 2+2x-(2-x)22-xln 2-22-x

=(2x-22-x)+ln 2[x2x-(2-x)22-x].

易知函數(shù)y=x2x與y=2x均為增函數(shù),故x>1時x>2-x,∴f′(x)>0，即f(x)是增函數(shù),由對稱性可知x<1時f(x)遞減,所以f(x)min=f(1)=4，從而原式的最小值為4.

二元函數(shù)的值域是高中數(shù)學中的?？嫉闹仉y點,本文通過系統(tǒng)的解題方法介紹了解決此類問題的常用方法,希望對讀者有所啟發(fā).