劉 倫，曹登慶，孫述鵬，龍 鋼

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，西安710065）

彈性邊界約束的正交加肋圓柱殼振動(dòng)特性分析

劉 倫1，曹登慶1，孫述鵬1，龍 鋼2

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2.西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，西安710065）

使用Gram-Schmidt正交化構(gòu)造了滿足圓柱殼自由邊界條件的一組正交多項(xiàng)式，并以此為基函數(shù)構(gòu)造圓柱殼的振動(dòng)位移表達(dá)式；在此基礎(chǔ)上，基于Sanders殼體理論，利用Rayleigh-Ritz法，提出了一種用于分析彈性邊界約束的正交加肋圓柱殼振動(dòng)特性的方法。利用該方法，求解了兩端簡支的正交加肋圓柱殼的自由振動(dòng)固有頻率，將其與文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了文中方法的正確性；該文還分析了邊界各方向約束剛度對(duì)正交加肋圓柱殼振動(dòng)特性的影響。研究表明，本文的方法收斂性好，計(jì)算效率高，且可用于分析受經(jīng)典邊界約束的加肋殼振動(dòng)特性，具有很強(qiáng)的通用性。

正交加肋圓柱殼；彈性邊界；正交多項(xiàng)式；振動(dòng)特性；Rayleigh-Ritz法

0 引 言

正交加肋圓柱殼被廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)中，比如潛艇、壓力容器、航空發(fā)動(dòng)機(jī)和航天器外殼等。這些殼體結(jié)構(gòu)所受的動(dòng)力學(xué)荷載復(fù)雜多變，其振動(dòng)特性對(duì)此類結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)十分重要，因此對(duì)正交加肋圓柱殼的振動(dòng)特性研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

根據(jù)對(duì)肋條處理方式的不同，目前的研究方法可以分為兩類。一類是將肋條的剛度和質(zhì)量分布到整個(gè)殼體上，得到一個(gè)等效的正交異性圓柱殼，即所謂“Smearing-out”技術(shù)或者平均法[1-2]，這類方法適用于處理加密肋圓柱殼（肋間距較?。┑恼駝?dòng)問題，但由于所用的等效方法依賴于圓柱殼振動(dòng)的環(huán)向波數(shù)和肋條間距，因此，當(dāng)肋條間距相對(duì)較大（加稀肋）或者振動(dòng)波長小于肋條間距時(shí)，該類方法不再適用。另一類是將各肋條看作殼體上的離散單元，這類方法適用于研究加密肋和加稀肋的圓柱殼振動(dòng)問題，適應(yīng)性很好，因此得到了很大的發(fā)展。孟憲舉等[3]根據(jù)圓柱殼的Hamilton正則方程及其半解析解法，提出了一種對(duì)圓柱殼厚度和肋條高度沒有限制的有限元模型。Forsberg[4]將加環(huán)肋圓柱殼分割成殼節(jié)段和肋節(jié)段，使用傳遞矩陣法對(duì)加環(huán)肋圓柱殼振動(dòng)特性進(jìn)行了研究；Huang[5]使用導(dǎo)納法對(duì)兩端簡支的高速旋轉(zhuǎn)加環(huán)肋圓柱殼進(jìn)行了研究；此外，波傳播法也被用于加肋圓柱殼的振動(dòng)特性分析，代表性的工作有Zhang等[6]、Gan等[7]和Liu[8]等。Sun等[9]使用傅里葉級(jí)數(shù)展開，提出了一種能求解多種邊界條件下旋轉(zhuǎn)薄壁圓柱殼振動(dòng)響應(yīng)的方法；還有學(xué)者使用能量法研究加肋圓柱殼的振動(dòng)問題，如Wang和Lin[10]、李學(xué)斌[11]；此外，Rayleigh-Ritz法也被廣泛用于研究加肋圓柱殼振動(dòng)特性，例如：Jafari和Bagheri[12]研究了不均勻加肋圓柱殼的振動(dòng)問題，李正良等[13]求得了正交加肋圓柱殼—球殼組合結(jié)構(gòu)在固定—自由及簡支—自由邊界條件下的自由振動(dòng)頻率。第二類方法適用性好，無論加密肋還是稀肋都能得出準(zhǔn)確的結(jié)果，但由于要分別處理多個(gè)肋條與圓柱殼之間的變形相容條件，因此這類方法往往都隨著肋條數(shù)量增加而變得異常復(fù)雜。

以上文獻(xiàn)的分析方法大都只能用于分析受經(jīng)典邊界條件約束（如固支、簡支）的圓柱殼振動(dòng)特性，鮮有針對(duì)彈性邊界約束的圓柱殼振動(dòng)分析方法。雖然當(dāng)下的有限元軟件，如ANSYS，可以用于處理彈性約束的加肋圓柱殼振動(dòng)問題，但不利于對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。另外，實(shí)際工程中殼體所受的復(fù)雜邊界條件不能簡單地考慮為經(jīng)典邊界條件，但可以等效為彈性支承。因此，基于以上幾點(diǎn)，有必要提出針對(duì)彈性邊界約束下的加肋圓柱殼振動(dòng)分析方法。

Sun等[14]使用彈簧模任意邊界，研究了轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱殼的自由振動(dòng)特性。在此基礎(chǔ)上，本文將肋條看作是離散的單元作用在圓柱殼上，用Rayleigh-Ritz法推導(dǎo)了彈性約束下正交加肋殼的頻率方程?；静襟E為：（1）基于Sanders殼體理論，寫出圓柱殼、肋條的動(dòng)能和應(yīng)變能，以及彈性邊界的應(yīng)變能；（2）使用Gram-Schmidt正交化構(gòu)造滿足圓柱殼自由邊界條件的一組正交多項(xiàng)式，將其作為基函數(shù)，構(gòu)造柱殼中曲面振動(dòng)位移函數(shù)；（3）用振動(dòng)位移函數(shù)對(duì)加肋殼結(jié)構(gòu)（包括彈性邊界）能量進(jìn)行離散，使用Rayleigh-Ritz法推導(dǎo)出彈性邊界約束的正交加肋殼頻率方程。該分析方法可以用于分析受彈性邊界約束的加肋圓柱殼振動(dòng)特性，在使用與經(jīng)典邊界條件相對(duì)應(yīng)的邊界約束剛度時(shí)，此方法還可用于分析受經(jīng)典邊界約束的加肋圓柱殼振動(dòng)問題。

1 正交加肋圓柱殼振動(dòng)理論分析

圖1 兩端彈性約束的正交加肋圓柱殼模型Fig.1 Model of orthogonal stiffened cylindrical shells constrained by elastic boundary at two ends

考慮如圖1所示的長L、厚H、半徑為R的薄壁正交加肋圓柱殼，環(huán)肋數(shù)量Nr，縱肋數(shù)量Ns，第i條環(huán)肋的寬度和高度分別為bri和dri，第i條縱肋的寬度和高度分別為bsi和dsi，各環(huán)肋（縱肋）尺寸一致，且均勻布置；殼兩端各受一圈彈性支承約束，單位長度上的徑向、切向、法向和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的約束剛度分別為ku、kv、kw和k?。殼體材料密度為ρ，楊氏彈性模量為E，剪切模量泊松比為μ；第i條環(huán)肋的密度為ρri，楊氏彈性模量為Eri，剪切模量為Gri；第i條縱肋的密度為ρsi，楊氏彈性模量為Esi，剪切模量為Gsi。下標(biāo)ri代表第i條環(huán)肋，si代表第i條縱肋。

1.1 正交加肋圓柱殼的動(dòng)能和勢(shì)能

設(shè)ξ=x/L，由于所考慮的圓柱殼為薄壁，故可忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，因而圓柱殼的動(dòng)能可表示為：

利用Sanders殼體理論，圓柱殼的應(yīng)變能可以寫成：

考慮環(huán)肋偏心和繞x、z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的影響，其動(dòng)能可表示為：

考慮縱肋偏心的影響，其動(dòng)能可表示為：

環(huán)肋的應(yīng)變能為：

縱肋的應(yīng)變能為：

正交加肋圓柱殼兩端彈性約束的勢(shì)能可以寫為：

其中：下標(biāo)0和l分別代表圓柱殼的兩端x=0和x=l。

1.2 利用Rayleigh-Ritz法推導(dǎo)正交加肋圓柱殼頻率方程

Bhat[15]在研究矩形板的振動(dòng)時(shí)首先使用正交多項(xiàng)式構(gòu)造振型函數(shù)，Lim和Liew[16]使用正交多項(xiàng)式構(gòu)建了圓柱殼的軸向振型函數(shù)。對(duì)于兩端自由的圓柱殼，其滿足幾何邊界條件的正交多項(xiàng)式組可用Gram-Schimidt正交化構(gòu)造，其首項(xiàng)表達(dá)式如下：

根據(jù)Bhat[15]的推導(dǎo)，可以得到一組正交多項(xiàng)式：

使用由（10）、（11）式所得到的正交多項(xiàng)式組作為基函數(shù)，可設(shè)兩端自由的圓柱殼環(huán)向波數(shù)為n時(shí)中曲面的振動(dòng)位移函數(shù)表達(dá)式為：

式中：ω是正交加肋圓柱殼的固有圓頻率，Nt是圓柱殼的振動(dòng)位移基函數(shù)的項(xiàng)數(shù)，ajn、bjn和cjn是待定常數(shù)。

忽略阻尼，由能量守恒有：

將（13）式代入（14）式，由Rayleigh-Ritz法，得瑞利商：

其中：

ω*2對(duì)ajn、bjn和cjn取極小值，即：

可得到彈性邊界約束下正交加肋圓柱殼的頻率方程：

2 結(jié)果與討論

2.1 有效性及收斂性分析

為了便于陳述，針對(duì)表1給出的具有不同材料常數(shù)、幾何參數(shù)和加肋形式的正交加肋圓柱殼，分別用模型M1和M2表示。為驗(yàn)證本文方法的正確性，計(jì)算了模型M1的固有頻率，并與已有文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。模型M1兩端簡支，縱肋和環(huán)肋等間距布置，且偏心距一致。簡支邊界對(duì)應(yīng)的幾何邊界條件為：殼兩端環(huán)向和徑向位移為零，也即這兩個(gè)方向上的約束剛度無窮大，從（19）式可知，環(huán)向和徑向無量綱約束剛度比有量綱剛度小109量級(jí)（有量綱剛度值kv、kw與E（109量級(jí)）相除），因此，取無量綱剛度時(shí)，環(huán)向和徑向約束剛度為1011量級(jí)，可近似地描述無窮大的約束剛度；軸向和轉(zhuǎn)動(dòng)方向自由，則相應(yīng)的約束剛度為零，由（19）式得在表2中列出了利用（18）式計(jì)算的軸向振型階數(shù)m=1、環(huán)向波數(shù)n=1～5模態(tài)下模型M1的固有頻率以及與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)果的比較，rt表示本文Nt=13的結(jié)果與相應(yīng)文獻(xiàn)結(jié)果的相對(duì)差異。從中可以看出，由于本文和文獻(xiàn)[17]都考慮了環(huán)肋和縱肋偏心的影響，因此本文的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[17]的結(jié)果最接近，相對(duì)差異不超過3%，這也說明通過使用合適的彈性邊界約束剛度可以模擬簡支邊界，也即本文分析彈性邊界下正交加肋殼的方法可用于分析受經(jīng)典邊界約束的加肋殼振動(dòng)特性，這表明該方法具有很強(qiáng)的通用性。本文在表達(dá)環(huán)肋動(dòng)能時(shí)還計(jì)入了轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的影響，因此結(jié)果比文獻(xiàn)[17]的更接近真實(shí)值。文獻(xiàn)[1]、[18]和[19]運(yùn)用了Love殼體理論，都未考慮肋條偏心的影響，且文獻(xiàn)[19]用梁函數(shù)近似圓柱殼軸向振型函數(shù)，因此這三篇文獻(xiàn)的結(jié)果與本文的存在一定差異。從表2可以看出，使用本文所提出的方法計(jì)算正交加肋圓柱殼固有頻率時(shí)，振動(dòng)位移基函數(shù)僅需截取Nt=7項(xiàng)就可得到m=1、n=1～5模態(tài)下固有頻率的收斂值。

表1 模型M1/M2材料和幾何參數(shù)Tab.1 Material and geometric parameters for Model 1 and Model 2

表2 模型M1頻率及與文獻(xiàn)結(jié)果的比較f(Hz)(m=1)Tab.2 Comparisons of natural frequencies with results from literature for Model 1 f(Hz)(m=1)

在計(jì)算正交加肋圓柱殼的固有頻率時(shí)，截取的振動(dòng)位移基函數(shù)項(xiàng)數(shù)越多，即Nt取得越大，計(jì)算結(jié)果就越接近精確值。因此，可以根據(jù)實(shí)際工程的需要而取適當(dāng)?shù)腘t以獲得足夠精確的結(jié)果。

為進(jìn)一步分析本文方法的收斂性，檢驗(yàn)其計(jì)算效率，針對(duì)某一模態(tài)，定義截取Nt項(xiàng)振動(dòng)位移基函數(shù)時(shí)所求得的固有頻率fNt的相對(duì)誤差RtNt為：

圖2 模型M2固有頻率在六種經(jīng)典邊界下的收斂性（m=1，n=2）Fig.2 Convergence of natural frequencies for Model 2 with six classical boundary conditions(m=1,n=2)

其中： fref是該模態(tài)下正交加肋圓柱殼的具有足夠精度的固有頻率。從表2可以看出，在m=1，n= 1～4的模態(tài)下，Nt=7、9、13時(shí)柱殼的固有頻率基本保持不變，僅m=1，n=5模態(tài)下的頻率發(fā)生了細(xì)微變化。因此，為了使收斂性分析更精確，本文用Nt=19時(shí)所得固有頻率作為fref，即fref=f19。本文用F、S和C分別代表自由、簡支和固支邊界約束，借鑒對(duì)簡支邊界的分析，各邊界條件所對(duì)應(yīng)的無量綱約束剛度分別為利用（18）式計(jì)算了表1所示模型M2在六種經(jīng)典邊界條件下各振動(dòng)位移基函數(shù)截取項(xiàng)（Nt=3～19）所對(duì)應(yīng)的固有頻率及其相對(duì)誤差，如圖2所示，圓柱殼模態(tài)為m=1，n=2。從圖2可以看出，在各邊界條件下，針對(duì)所取的模態(tài)，隨著截取的振動(dòng)位移基函數(shù)項(xiàng)數(shù)Nt逐漸增大，對(duì)應(yīng)的固有頻率相對(duì)于精確值的誤差逐漸降低，最終有收斂于零的趨勢(shì)。當(dāng)Nt=7時(shí)，各邊界條件所對(duì)應(yīng)的固有頻率的相對(duì)誤差已在1%以內(nèi)，而表2中針對(duì)模型M1的計(jì)算結(jié)果也是在Nt=7時(shí)就已收斂。對(duì)比圖2中各條收斂曲線可以發(fā)現(xiàn)，就模型M2而言，在所取的模態(tài)下，簡支-簡支（S-S）、固支-簡支（C-S）和固支-固支（C-C）所對(duì)應(yīng)的固有頻率收斂速度要比其他邊界條件下的更快。

2.2 邊界剛度對(duì)正交加肋圓柱殼固有頻率的影響

圖3 彈性約束和固支-簡支約束下加肋殼和不加肋殼固有頻率隨n變化曲線（m=1）Fig.3 Variation of natural frequencies for stiffened and unstiffened shells with respect to the circumferential wavenumber n for elastic boundary and C-S boundary condition (m=1)

圖3 表示了肋條和邊界剛度對(duì)正交加肋圓柱殼固有頻率的影響。所用殼和肋的材料及幾何參數(shù)見表1模型M2，邊界條件分別為固支-簡支（C-S）和彈性支承，其中彈性支承所用的邊界各方向無量綱約束剛度值分別為從圖3可以看出，在環(huán)向波數(shù)n較小時(shí)，邊界條件對(duì)加肋殼固有頻率的影響很大，肋條的影響則很小，固支-簡支（C-S）邊界約束下的不加肋圓柱殼的固有頻率甚至高于彈性支承下正交加肋圓柱殼的固有頻率。隨著環(huán)向波數(shù)n的增大，對(duì)不加環(huán)肋圓柱殼而言，邊界條件的影響逐漸降低，n足夠大時(shí)，彈性支承下的殼體固有頻率與固支-簡支（C-S）邊界下的殼體固有頻率幾乎一致；對(duì)正交加肋圓柱殼而言，邊界條件的影響仍然很大，彈性支承下（邊界約束較弱）的正交加肋圓柱殼固有頻率始終小于固支-簡支（C-S）邊界下加肋殼的頻率；此外n較大時(shí)加肋殼的頻率始終高于光殼的頻率，肋條的影響逐漸增大。

假定正交加肋圓柱殼兩端受相同的彈性邊界約束，可得圖4與圖5所示的在m=1、n=2和m=2、n=5兩種模態(tài)下邊界各方向上的約束剛度對(duì)殼體固有頻率的影響。所用模型參數(shù)見表1模型M2。綜合分析圖4與圖5可以看出，圖5（a）和（b）中殼體固有頻率變化幅度要遠(yuǎn)小于圖4（a）和（b）中的頻率變化幅度，這表明對(duì)于高階頻率（較大的m和n，這里是m=2、n=5），邊界約束剛度的影響要小很多，這一點(diǎn)也在圖3中反映出來；另外，對(duì)不同的模態(tài)，邊界各方向上的約束剛度對(duì)正交加肋圓柱殼固有頻率的影響趨勢(shì)一致，為簡便起見，本文只具體分析圖4。在圖4（a）中，轉(zhuǎn)動(dòng)方向和軸向的無量綱約束剛度保持為0，環(huán)向和徑向無量綱約束剛度從0逐漸增大到100，也即正交加肋圓柱殼的邊界約束由自由-自由（F-F）逐漸發(fā)展到簡支-簡支（S-S）。在此過程中，環(huán)向約束剛度與徑向約束剛度對(duì)殼體固有頻率有著相似的影響趨勢(shì)，均使得殼體固有頻率逐漸增大，增大的速率先快后慢，最終趨于零。從圖4（a）中可以看出，當(dāng)足夠大時(shí)，殼體固有頻率收斂于一個(gè)值，這便是簡支-簡支（SS）邊界下正交加肋圓柱殼的固有頻率。在圖4（b）中，環(huán)向和徑向的無量綱約束剛度均保持在100，軸向和轉(zhuǎn)動(dòng)方向上的無量綱約束剛度從0逐漸增大到100，也即正交加肋圓柱殼的邊界約束由簡支-簡支（S-S）逐漸發(fā)展到固支-固支（C-C）。在此過程中，轉(zhuǎn)動(dòng)方向上的約束剛度對(duì)殼體固有頻率幾乎沒有影響，相比之下，軸向約束剛度的增加則使殼體固有頻率顯著增大，增大速率由慢到快再變慢。從圖4（b）中可以看出，當(dāng)足夠大時(shí)，殼體固有頻率收斂于一個(gè)值，這便是固支-固支（C-C）邊界下加環(huán)肋圓柱殼的固有頻率。

圖4 正交加肋圓柱殼固有頻率與邊界約束剛度關(guān)系曲面（m=1，n=2）：（a）=0，（b）=100Fig.4 Variation of natural frequencies for orthogonal stiffened cylindrical shells with respect to restraint stiffness(m=1,n=2):(a)=0,(b)=100

圖5 正交加肋圓柱殼固有頻率與邊界約束剛度關(guān)系曲面（m=2，n=5）：（a）=0，（b）=100Fig.5 Variation of natural frequencies for orthogonal stiffened cylindrical shells with respect to restraint stiffness(m=2,n=5):(a)=0,(b)=100

3 結(jié) 論

本文將肋條看作是作用在殼體上的離散單元，使用Rayleigh-Ritz法，提出了一種用于分析兩端彈性約束的正交加肋圓柱殼振動(dòng)特性的方法。該方法采用了Sanders殼體理論，在假設(shè)圓柱殼中曲面振動(dòng)位移時(shí)，使用了一組由Gram-Schmidt正交化得到的滿足圓柱殼自由邊界條件的正交多項(xiàng)式作為基函數(shù)。驗(yàn)證了該方法的正確性，分析了其收斂性，并基于此方法分析了邊界約束剛度對(duì)殼體固有頻率的影響。研究表明：

（1）本文提出的分析方法收斂性好，計(jì)算效率高，能方便地用于加肋殼優(yōu)化設(shè)計(jì)。該方法雖是針對(duì)受彈性約束的正交加肋殼提出的，但也可用于受經(jīng)典邊界約束的加肋殼振動(dòng)特性分析，具有很強(qiáng)的通用性；與邊界識(shí)別相結(jié)合時(shí)，該方法能用于受任意邊界約束的加肋圓柱殼振動(dòng)特性分析。

（2）環(huán)向波數(shù)n較小時(shí)，邊界約束剛度對(duì)正交加肋圓柱殼的振動(dòng)特性影響大于肋條的影響，但當(dāng)n增大時(shí)，邊界約束剛度的影響逐漸降低，肋條的影響增大，也即邊界條件對(duì)高頻影響不大。

（3）對(duì)于某一方向上的邊界約束剛度，在不同模態(tài)下，對(duì)正交加肋圓柱殼固有頻率有著相似的影響。環(huán)向和徑向約束剛度增加，均使得殼體頻率增大，增大速率逐漸降低，最終趨于零，且環(huán)向約束剛度能更有效地增大殼體頻率；轉(zhuǎn)動(dòng)方向上的約束剛度變化對(duì)殼體頻率幾乎沒有影響，但軸向約束剛度增加，能顯著增大殼體頻率，增大速率先升后降。

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[17]Mustafa B A J,Ali R.An energy method for free vibration analysis of stiffened circular cylindrical shells[J].Computer and Structures,1989,32(2):335-363.

[18]Lee Y S,Kim Y W.Vibration analysis of rotating composite cylindrical shells with orthogonal stiffeners[J].Computers and Structures,1998,69:271-281.

[19]Lee Y S,Kim Y W.Effect of boundary conditions on natural frequencies for rotating composite cylindrical shells with orthogonal stiffeners[J].Advances in Engineering Software,1999,30:649-655.

附錄

Vibration analysis of orthogonal stiffened cylindrical shells constrained by elastic boundary

LIU Lun1,CAO Deng-Qing1,SUN Shu-peng1,LONG Gang2
(1.School of Astronautics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China; 2.Xi’an Modern Control Technology Research Institute,Xi’an 710065,China)

A set of characteristic orthogonal polynomials satisfying free-free boundary condition is constructed directly by employing Gram-Schmidt procedure,and then is employed to represent the general formulations for the displacements in any axial mode of free vibrations for shells.Based on Sanders’shell theory,a method using to analyze vibration characteristics for orthogonal stiffened cylindrical shells constrained by elastic boundary is proposed by employing Rayleigh-Ritz method.Comparing with the available analytical results for a simply supported orthogonal stiffened cylindrical shell,the method proposed in this paper is verified and it is proved that this method can also be used to analyze vibration characteristics of shells with classical boundaries.Strong convergence is observed from convergence study.Further,the effects of the restraint stiffness for elastic boundary in axial,circumferential,radial and rotational directions, on the natural frequencies are studied.

orthogonal stiffened cylindrical shells;elastic boundary;characteristic orthogonal polynomials; vibration characteristics;Rayleigh-Ritz method

O326

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.08.011

1007-7294（2016）08-1016-12

2016-02-25

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（90816002）

劉 倫（1990-），男，碩士研究生，E-mail:lnhgdht@sina.com；曹登慶（1958-），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:dqcao@hit.edu.cn。