梁 斌，陳金曉，李 戎，張 偉

（1.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 洛陽 471023；2.九州工業(yè)大學(xué)機(jī)械系，日本 北九州 804-8550）

水下環(huán)肋功能梯度材料圓柱殼耦合振動的波動解

梁 斌1，陳金曉1，李 戎2，張 偉1

（1.河南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 洛陽 471023；2.九州工業(yè)大學(xué)機(jī)械系，日本 北九州 804-8550）

研究了考慮功能梯度材料的水下環(huán)肋圓柱殼耦合振動特性。根據(jù)Flügge理論和正交各向異性板殼理論，采用波動法推導(dǎo)出靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合振動特征方程，運(yùn)用牛頓迭代法得到靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼的耦合頻率值。經(jīng)過退化計算，與已有文獻(xiàn)的研究結(jié)果進(jìn)行對比，驗證了文中計算的正確性和有效性。通過算例，分析了靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼在不同靜水壓力、材料組分、體積分?jǐn)?shù)、殼體尺寸、肋條尺寸和數(shù)目等情況下耦合振動的變化規(guī)律，以及這些因素對耦合頻率的影響。

功能梯度材料；靜水壓力；環(huán)肋；圓柱殼；波動法；耦合頻率

0 引 言

功能梯度材料（functionally graded material，簡稱FGM）是一種特殊的各向異性材料，自從其設(shè)計概念由日本科學(xué)家在1984年提出以來，由于功能梯度材料體現(xiàn)出的優(yōu)異性能和新穎材料的設(shè)計思想，引起了廣大學(xué)者的高度重視并開展了功能梯度材料結(jié)構(gòu)性能的研究。環(huán)肋圓柱殼是工程中常用的一類結(jié)構(gòu)形式，如火箭、潛艇耐壓殼以及海洋平臺樁腿等，這類結(jié)構(gòu)工作環(huán)境非常復(fù)雜和極端，常受到強(qiáng)空氣動力作用、極端氣候環(huán)境及流體的作用，需要對這類結(jié)構(gòu)的動力特性進(jìn)行深入研究。

目前，關(guān)于功能梯度材料、環(huán)肋或水下圓柱殼的動力性能研究已取得一些研究成果。Loy等[1-3]在經(jīng)典薄殼理論的基礎(chǔ)上，利用Rayleigh法建立FGM圓柱殼自由振動的特征方程，并根據(jù)特征方程求出FGM圓柱殼的固有頻率，分析了邊界條件、體積分?jǐn)?shù)、材料組分等因素對FGM圓柱殼自由振動的影響。Li[4]利用波動法研究了圓柱殼的振動特性，并將該方法與數(shù)值有限元建模研究進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)該方法計算結(jié)果對復(fù)雜邊界條件和長殼結(jié)構(gòu)更精確。Rahimi等[5]基于Sander殼體理論，運(yùn)用能量法研究了功能梯度材料的體積分?jǐn)?shù)呈指數(shù)分布時，加肋FGM圓柱殼的振動特性。Liu[6]采用Love殼體理論和波動法分析了環(huán)肋形式、肋條尺寸和數(shù)目等因素對充液環(huán)肋圓柱殼耦合振動的影響。甘等[7]采用Flügge經(jīng)典殼體理論和正交各向異性分析方法，研究了在薄膜簡支邊界條件下和靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼的自由振動基頻，并分析了基頻最低包絡(luò)面。陳[8]根據(jù)無損預(yù)報方法計算了靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼彈性失穩(wěn)的臨界荷載，分析了邊界條件對靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼臨界荷載的影響。以及其他研究文獻(xiàn)[9-12]。但是由于振動控制方程的高度非線性問題，尚未發(fā)現(xiàn)綜合考慮功能梯度材料、環(huán)肋及靜水壓力等組合因素下圓柱殼振動特性的研究文獻(xiàn)。

本文在Flügge理論和圓柱殼正交各向異性理論的基礎(chǔ)上，首次采用波動法建立靜水壓力下環(huán)肋功能梯度材料圓柱殼耦合振動頻率的特征方程，運(yùn)用牛頓迭代法求解特征方程得到耦合頻率。通過兩類退化計算對比，驗證本文研究方法的有效性和正確性。最后通過算例，探討靜水壓力、加肋形式、肋條尺寸和數(shù)目、功能梯度材料組分、體積分?jǐn)?shù)、殼體參數(shù)、邊界條件等因素對水下環(huán)肋功能梯度材料圓柱殼耦合振動的影響。

1 力學(xué)模型

假定水下環(huán)肋（外加肋）圓柱殼力學(xué)模型如圖1所示，R表示平均半徑，L表示圓柱殼長度，h表示圓柱殼壁厚，hr表示肋條截面高度，br表示肋條截面寬度，d2表示肋條間距，e2表示環(huán)肋的偏心距，本文在圓柱殼的中面上建立正交坐標(biāo)系（x,θ, ）z，其中x,θ和z分別為圓柱殼的軸向、環(huán)向和徑向坐標(biāo)。

圖1 環(huán)肋圓柱殼及其環(huán)肋截面模型Fig.1 Geometry of ring-stiffened cylindrical shell and stiffener

圓柱殼和肋條均采用相同的功能梯度材料。假設(shè)圓柱殼沿厚度方向的彈性模量與材料組分的百分比有關(guān)，則其函數(shù)表達(dá)式為：

其中：V1和V2分別是圓柱殼內(nèi)、外表面材料的體積百分比，P為冪率指數(shù)，其取值范圍為0≤P≤∞。

當(dāng)圓柱殼的組分材料為兩種時，假定內(nèi)、外表面材料參數(shù)分別為彈性模量E1，E2、質(zhì)量密度ρ1，ρ2和泊松比υ1，υ2，環(huán)肋FGM圓柱殼的等效彈性模量E，泊松比υ，材料密度ρ表示如下：

2 理論推導(dǎo)

根據(jù)Flügge理論和正交各向異性理論，靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼的運(yùn)動方程表示如下[9]：

用波動法表示的圓柱殼振動位移方程如下：

其中：Um，Vm，Wm分別表示x,θ,z方向的波幅，ω表示固有角頻率，km的大小與邊界條件有關(guān)。

計算中需要考慮流體與圓柱殼結(jié)構(gòu)的耦合效應(yīng)，在流體中用柱坐標(biāo)表示的聲壓場為：

其中：Jn（）表示n階Bessel函數(shù)，軸向波數(shù)km和徑向波數(shù)kr滿足的關(guān)系表達(dá)式為：

其中：ρf表示流體密度，Jn′（）表示函數(shù)對變量krR的一階導(dǎo)數(shù)。將（5）式代入（4）式，并結(jié)合方程（6）得到用矩陣表示的耦合系統(tǒng)運(yùn)動方程：

其中：FL表示流體聲場作用所產(chǎn)生的流體荷載項：

將方程（12）代入到方程（11）中求解方程，可以得到：

3 數(shù)值計算及分析

本文通過退化計算來驗證理論研究的有效性和正確性，退化計算結(jié)果見表1與表2。表1給出了簡支條件下各向同性材料環(huán)肋圓柱殼固有頻率的退化計算，結(jié)果與參考文獻(xiàn)[11]進(jìn)行了對比。表2則給出了三種邊界條件和靜水壓力下圓柱殼的耦合頻率退化計算，結(jié)果與參考文獻(xiàn)[12]進(jìn)行了對比。兩類退化計算表明了本文研究方法的正確性和有效性。表中m表示軸向半波數(shù)，n表示周向波數(shù)，Q表示靜水壓力。

表1 簡支條件下環(huán)肋圓柱殼固有頻率計算結(jié)果對比分析Tab.1 Comparison between the results of calculation of the natural frequencies for stiffened cylindrical with SS-SS

表2 不同邊界條件下靜水壓力下圓柱殼耦合頻率計算結(jié)果對比分析Tab.2 Comparison of fundamental natural frequencies under different hydrostatic pressures in various boundary conditions

續(xù)表2

本文通過多組算例研究了靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼的耦合振動特性，通過變化材料組分、靜水壓力、邊界條件、殼體尺寸、肋條數(shù)目等多種因素，分析了耦合頻率的變化規(guī)律，計算結(jié)果見圖2-9?？紤]到圓柱殼在靜水壓力狀態(tài)下的穩(wěn)定性，計算中通?？紤]耦合頻率為0時的靜水壓力值為臨界靜水壓力值。本文計算時，靜水壓力值均控制在臨界靜水壓力值以下。算例中，規(guī)定圓柱殼的功能梯度材料組分為外表面不銹鋼、內(nèi)表面氧化鋯，文中所用到的組分材料參數(shù)見表3，計算中所選用的材料參數(shù)為：h/R=0.01，L/R=20，hr=0.005 82 m，br=0.002 18 m，P=1，m=1，n=2肋條數(shù)目Nr=19。

表3 材料參數(shù)表Tab.3 Material parameters

圖2 不同靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率變化規(guī)律曲線Fig2 Coupling frequency of submerged FGM cylindrical shell under different hydrostatic pressure

圖3 不同軸向半波數(shù)m時靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼的耦合頻率變化規(guī)律曲線Fig.3 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different axial half wave numbers

圖2給出了兩端固支和一端固支、一端自由條件下，不同周向波數(shù)n時，靜水壓力對環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率的影響規(guī)律曲線。從圖中可以看出，隨著靜水壓力的增大，耦合頻率逐漸減小，但減小幅度不明顯。兩種邊界條件下，耦合頻率隨著n值增大的變化規(guī)律不同，兩端固支時，耦合頻率隨著n值的增大先減小后增大；一端固支一端自由時，耦合頻率隨著n值的增大而增大。當(dāng)n=1時，靜水壓力對耦合頻率的影響在一定程度上可以忽略不計。

圖3給出了在兩端固支和一端固支、一端自由時，環(huán)肋FGM圓柱殼的耦合頻率隨著周向波數(shù)n和軸向半波數(shù)m的變化規(guī)律曲線。取Q=10 kPa，從圖中可以看出，邊界條件和m值對耦合頻率的影響主要表現(xiàn)在n值較小的情況下。當(dāng)n=1～4時，兩種邊界條件下的耦合頻率均隨著m值的增大而顯著增大，其中n=1和n=2時，增大幅度是成倍的；n=3和n=4時增大幅度明顯減?。籲＞4時，m值和邊界條件對耦合頻率的影響可忽略。

圖4 不同材料組分的靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率變化規(guī)律曲線Fig.4 Coupling frequency of submerged FGM cylindrical shell with various material components

圖5 不同體積分?jǐn)?shù)下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率變化規(guī)律曲線Fig.5 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different volume fraction

以下取n=2。圖4給出了兩端固支條件下，不同材料組分對連續(xù)靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合頻率的影響規(guī)律曲線。從圖中可以看出，不同材料組分的環(huán)肋圓柱殼耦合頻率均隨著靜水壓力的不斷增大而降低，在離臨界靜水壓力值較遠(yuǎn)時，耦合頻率的下降幅度比較均勻；在接近臨界靜水壓力值時，耦合頻率的下降幅度增大。材料組分對耦合頻率的影響比較顯著，這種影響主要體現(xiàn)在對振動強(qiáng)度的改變上，對耦合頻率的變化規(guī)律并無太大的影響。

圖5給出了兩端固支條件時，不同體積分?jǐn)?shù)下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率的變化規(guī)律曲線。從圖中可以看出，不同體積分?jǐn)?shù)的耦合頻率變化規(guī)律相似，P=0（環(huán)肋圓柱殼材料為不銹鋼）時，耦合頻率最大，P→∞（環(huán)肋圓柱殼材料為氧化鋯）時，耦合頻率最小。隨著P值的不斷增大，耦合頻率不斷減小，但耦合頻率一直介于兩種單一材料的耦合頻率之間。當(dāng)P＞10時，體積分?jǐn)?shù)對耦合頻率的影響可以忽略不計。

圖6 不同h/R條件下靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率變化規(guī)律曲線Fig.6 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different thickness-radius ratio

圖7 不同L/R時靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率變化規(guī)律曲線Fig.7 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different length-radius ratio

圖6給出了兩端固支條件下，靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼的耦合頻率在不同h/R時的變化規(guī)律曲線。從圖中可以看出，耦合頻率均隨著h/R的增大而顯著增大，且增大幅度比較均勻；不同h/R下的耦合頻率均隨著靜水壓力的增大而連續(xù)下降。

圖7給出了兩端固支條件下，不同L/R對靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合頻率影響規(guī)律變化曲線。從圖中可以看出，耦合頻率均隨著L/R的增大而減小，且下降速度隨著L/R的增大迅速減小，在L/R≤15時，下降速度較快，在L/R＞15時，下降速度相對緩慢許多。

圖8給出了兩端固支條件下，不同hr/br時靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率變化規(guī)律曲線，從圖中可以看出，不同hr/br下的耦合頻率變化規(guī)律相似，且耦合頻率非常接近，即hr/br對耦合頻率的影響并不明顯。

圖9給出了兩種邊界條件下，不同肋條數(shù)目對靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼耦合頻率影響規(guī)律變化曲線。從圖中可以看出，耦合頻率均隨著Nr的增大而不斷增大，但這種增大幅度并不明顯。兩端固支的耦合頻率明顯大于一端固支、一端自由的。h/R=0.05時的耦合頻率比h/R=0.01時的大幾倍之多。

圖8 不同hr/br時靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率變化規(guī)律曲線Fig.8 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different hr/br

圖9 不同Nr時靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率變化規(guī)律曲線Fig.9 Coupling frequency of FGM cylindrical shell with different number of ring ribs

4 結(jié) 論

（1）環(huán)肋FGM圓柱殼的耦合頻率均隨著靜水壓力的增大而減小。當(dāng)靜水壓力遠(yuǎn)離臨界靜水壓力值時，耦合頻率的減小速度比較均勻；當(dāng)靜水壓力接近臨界靜水壓力值時，耦合頻率減小速度增大。

（2）不同材料組分和不同體積分?jǐn)?shù)時，靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼的耦合頻率值不同，但耦合頻率變化規(guī)律相似；考慮功能梯度材料這一因素之后，環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動強(qiáng)度發(fā)生變化，臨界靜水壓力值亦隨之發(fā)生變化。

（3）在兩端固支和一端固支、一端自由兩種邊界條件下，當(dāng)m值不同時，靜水壓力下環(huán)肋FGM圓柱殼耦合頻率隨n值增大的變化規(guī)律不同；邊界條件和m值對耦合頻率的影響主要表現(xiàn)在n值較小的情況下；當(dāng)n增大到一定值時（一般為4），邊界條件和m值對耦合頻率的影響可以忽略不計。

（4）環(huán)肋圓柱殼的幾何尺寸對耦合頻率的影響比較明顯，耦合頻率隨著h/R的不斷增大而增大，增大幅度比較均勻；耦合頻率隨著L/R的不斷增大而減小，在L/R較小時，減小幅度比較明顯，當(dāng)L/R增大到一定值時，L/R對耦合頻率的影響減弱許多；與殼體尺寸相比，肋條截面尺寸和肋條數(shù)目對耦合頻率的影響相對弱很多，在一定條件下，這種影響可以忽略不計。

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Study on the coupled vibration of submerged ring-stiffened cylindrical shells with functionally graded material using wave propagation approach

LIANG Bin1,CHEN Jin-xiao1,LI Rong2,ZHANG Wei1
(1.Civil Engineering School,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China;2.Department of Mechanical Engineering,Kyushu Institute of Technology,Kitakyushu-city,804-8550,Japan)

The coupled vibration characteristics of submerged ring-stiffened cylindrical shells based on functionally graded material(FGM)is studied.According to Flügge theory and orthotropic theory,the coupled vibration characteristic equations of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shells are derived by wave method.The coupled frequency of submerged ring-stiffened FGM cylindrical shells is obtained by the Newton iteration method.The present analysis is validated by comparing results with those in the literature. By numerical examples,the effects of hydrostatic pressure,material component,volume fraction,shell size, ring size and number,and boundary condition on the natural frequencies of submerged ring-stiffened cylindrical shell are illustrated.

functionally graded material;hydrostatic pressure;ring-stiffened;cylindrical shell; wave method;coupled frequency

U661.44

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2016.08.009

1007-7294（2016）08-0999-08

2016-05-05

國家自然科學(xué)基金資助項目（51105132，11402077）；河南省自然科學(xué)基金項目（122300410112）

梁 斌（1963-），男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:liangbin4231@163.com；陳金曉（1991-），女，碩士生，E-mail:chenjinxiao0520@163.com。