小學(xué)數(shù)學(xué)模型思想及培養(yǎng)策略

韓焱龍

【關(guān)鍵詞】模型思想 《四則運(yùn)算》教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）01A-0021-02

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出了十個(gè)核心概念，“模型思想”是新增的核心概念之一，并且是唯一以“思想”指稱的概念。模型思想的基本內(nèi)涵是什么？數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)有哪幾個(gè)基本環(huán)節(jié)？其教育價(jià)值體現(xiàn)在哪些方面？怎樣培養(yǎng)學(xué)生的模型思想？本文試圖結(jié)合《四則運(yùn)算》這一單元的教學(xué)實(shí)例談一些認(rèn)識(shí)。

一、模型思想的基本內(nèi)涵

人民教育出版社課程教材研究所王永春老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理（三）》一文中這樣闡述：“數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系等都是數(shù)學(xué)模型。”

學(xué)生通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)的概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系。在義務(wù)教育階段，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的基本途徑。也就是說，我們應(yīng)建立這樣的認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)與外部世界是緊密聯(lián)系的，連接它們之間的“橋梁”是數(shù)學(xué)模型。

二、數(shù)學(xué)建模過程的三個(gè)主要環(huán)節(jié)

王永春老師認(rèn)為，建立和求解模型的活動(dòng)應(yīng)體現(xiàn)“問題情境→建立模型→求解驗(yàn)證”的過程。模型思想的建立首先要“從現(xiàn)實(shí)生活或具體的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題”，這表明現(xiàn)實(shí)的生活原型或情境是建模的源點(diǎn)，從中抽象出數(shù)學(xué)問題是建模的起點(diǎn)，此“從情境到問題”的環(huán)節(jié)可稱為“建模準(zhǔn)備”。然后“用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、判斷、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)完成模式抽象，得到模型，這是建模的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，可稱為“構(gòu)建模型”。最后是“求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義”，要對(duì)模型進(jìn)行分析、檢驗(yàn)，看模型在別的同類問題中是否合理可用，如不合理，就要再次假設(shè)、修改、完善，這是模型檢驗(yàn)、應(yīng)用和拓展的過程，此“求解驗(yàn)證”的過程可稱為“求解模型”。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的價(jià)值取向

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透模型思想的價(jià)值取向可歸咎為三個(gè)層面?；A(chǔ)層面是有利于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，通過構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，能使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與外部世界是緊密聯(lián)系的，建模的過程是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界“數(shù)學(xué)化”的過程。核心層面是有利于學(xué)生解決問題和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，數(shù)學(xué)建模是一種縝密的推理活動(dòng)，感悟模型思想的過程是一種思維不斷演進(jìn)與發(fā)展的過程，能更好地落實(shí)數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等課程目標(biāo)，增強(qiáng)其數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。發(fā)展層面是有利于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展，建模是初中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在小學(xué)階段滲透模型思想能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)能更好地與初中課程銜接，有利于學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)。

四、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的策略

（一）從生活問題到數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)源于生活，又用于生活，數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的認(rèn)識(shí)水平出發(fā)，聯(lián)系生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)。

【案例1】《加、減法的意義和各部分間的關(guān)系：逆推》教學(xué)片段

教師提供一個(gè)現(xiàn)實(shí)的生活情境引入新課，提問：（1）早上上學(xué)怎么走？（2）放學(xué)回家怎么走？（3）上學(xué)和放學(xué)所走的路線有什么關(guān)系？（4）怎樣才能原路返回？

上述教學(xué)片段，教師從一個(gè)現(xiàn)實(shí)的生活情境引入，讓學(xué)生調(diào)用已有的舊知識(shí)（方向和路程）和生活經(jīng)驗(yàn)，在思考解決“怎樣原路返回”這一問題的過程中感悟到“要回去就得逆向走”，初步感知互逆關(guān)系和逆推策略。這樣引入新課，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，并有效遷移，有利于學(xué)生領(lǐng)悟加減法和乘除法的互逆關(guān)系，為今后繼續(xù)探索逆推策略作好心理準(zhǔn)備。

（二）從數(shù)學(xué)問題到數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與外部世界之間的橋梁。數(shù)學(xué)模型來自于現(xiàn)實(shí)世界，從現(xiàn)實(shí)抽象出數(shù)學(xué)問題，從數(shù)學(xué)問題出發(fā)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型又用于解決類似的問題。如何幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型？這就需要教師指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)和思想方法一步一步建立數(shù)學(xué)模型。

【案例2】《租船問題：優(yōu)化思想與有序思考》教學(xué)片段

怎樣租船最省錢？

師：要最省錢，應(yīng)該選擇租什么船？怎么租？

生1：租小船，因?yàn)?2÷4=8（條）。剛好，不浪費(fèi)座位。

生2：租大船，因?yàn)榇蟠咳烁?元，小船每人要付6元，所以要租6條大船。

生3：租6條大船，浪費(fèi)4個(gè)座位，所以要盡量多租大船，再租小船，并且要盡量沒有空位。

師：這3種方案都各有理由，究竟哪種最省錢，需要通過計(jì)算來比較。

學(xué)生通過一系列計(jì)算、比較得出方案三最省錢后，教師讓學(xué)生討論如何快速有序找出最佳方案并計(jì)算費(fèi)用：32=6×5+2，32=6×4+4×2，30×4+24×2=168（元），再引導(dǎo)學(xué)生建立初步的數(shù)學(xué)模型：總?cè)藬?shù)=大船限乘人數(shù)×大船數(shù)量+小船限乘人數(shù)×小船數(shù)量，租大船是最佳選擇，應(yīng)該優(yōu)先考慮，且要省錢就不能有空位。

上述案例，教師從租船這一生活情境引入，讓學(xué)生聯(lián)系已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“有序思考”或“逆推策略”尋找問題中隱含的二元一次方程4x+2y=32的解，在思考和解決“怎樣租船最省錢”這一問題的過程中初步感知優(yōu)化策略與有序思考。“有序思考”還要“有序表達(dá)”，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)“有序表達(dá)”，在運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)分析問題的同時(shí)理解模型結(jié)構(gòu)化。

（三）從數(shù)學(xué)模型到數(shù)學(xué)問題

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)模型大致有兩種途徑：一是基本模型的學(xué)習(xí)，即學(xué)習(xí)教材中以例題為代表的新知識(shí)，這是一個(gè)探索的過程；二是利用基本模型去解決各種問題，這是一個(gè)應(yīng)用、拓展的過程。

【案例3】《解決問題的策略：逆推》教學(xué)片段

學(xué)生獨(dú)立解答后交流自己的思考過程，教師即時(shí)板書，使學(xué)生明確自己使用的是逆推策略：從右往左逆推時(shí)，加法要變減法，乘法要變除法，逆推策略可以幫助我們解決一些數(shù)學(xué)問題。

學(xué)生在初步建立逆推模型（已知現(xiàn)在求原來的基本策略是要‘回去就得‘倒著走）后，就可以應(yīng)用、拓展到習(xí)題中，幫助學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和應(yīng)用意識(shí)。上述案例中，教師沒有直接提出讓學(xué)生應(yīng)用逆推策略進(jìn)行推算，而是結(jié)合學(xué)生的交流思考過程演變成一個(gè)顯性的逆推題圖，使學(xué)生獲得更為深刻的感性認(rèn)識(shí)：逆推策略和“回家的路”很相似，已知現(xiàn)在求原來，可以“倒著算”。

（四）從數(shù)學(xué)問題到生活問題

數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。”這段話闡述了這樣一個(gè)觀點(diǎn)：現(xiàn)實(shí)世界中的“故事”可以用數(shù)學(xué)來闡述，數(shù)學(xué)可以幫助我們解決生活問題。

【案例4】《解決問題的策略：逆推和有序思考》在現(xiàn)實(shí)中的應(yīng)用

1.基本應(yīng)用。

師：剛才我們以租船為例，學(xué)習(xí)了用優(yōu)化、有序思考和逆推的方法解決問題，你能用這種方法快速計(jì)算出練習(xí)三中的第4題嗎？

春游：我校共有老師14人，學(xué)生326人。大車可坐40人，租金900元；小車可坐20人，租金500元。怎樣租車最省錢？

解答：14+326=340人，340=40×8+20，900×4+500=4100（元）。

2.拓展應(yīng)用。

①王叔叔要購買220千克大米，怎樣買合算？一共要多少元？（注：20千克，96元/袋；30千克，135元/袋。）解答：220=30×7+10，220=30×6+20×2，135×6+96×2=1002（元）。

②現(xiàn)在有一批貨物，重50噸，準(zhǔn)備用大貨車和小貨車運(yùn)輸。怎樣安排最省錢？（注：小貨車載重量5噸，運(yùn)輸費(fèi)80元/次；大貨車載重量8噸，運(yùn)輸費(fèi)110元/次。）解答：50=8×6+2，50=8×5+5×2，110×5+80×2=710（元）。

上述案例，讓學(xué)生對(duì)基本模型（總?cè)藬?shù)=大船限乘人數(shù)×大船數(shù)量+小船限乘人數(shù)×小船數(shù)量）分層次地進(jìn)行檢驗(yàn)、拓展。以購物、載貨等現(xiàn)實(shí)原型為背景，對(duì)模型進(jìn)行逐步完善，抽象出二次模型：總數(shù)=最佳選擇×數(shù)量+次佳選擇×數(shù)量。這些習(xí)題，加深了學(xué)生對(duì)有序思考和逆推策略的認(rèn)識(shí)，也使學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)和生活的密切聯(lián)系，有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用意識(shí)。

特級(jí)教師徐斌老師在《為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)》講座中指出：數(shù)學(xué)要從生活出發(fā)培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)，數(shù)學(xué)與生活緊密關(guān)聯(lián)，它們之間的關(guān)系可以理解為：

顯然，本文所敘策略正是對(duì)徐老師所揭示的生活與數(shù)學(xué)的關(guān)系的理解和具體運(yùn)用。

一個(gè)單元必定有幾個(gè)串聯(lián)的主要知識(shí)節(jié)點(diǎn)，“四則運(yùn)算”的節(jié)點(diǎn)是從生活問題入手揭示四則運(yùn)算各部分間的關(guān)系，再運(yùn)用這種關(guān)系和順向、逆向的計(jì)算方法有效解決問題。當(dāng)然，從“四則運(yùn)算”這一單元中的計(jì)算和問題解決兩個(gè)方面來探索模型思想的培養(yǎng)策略只是一個(gè)小小的視覺。模型思想涵蓋于各數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在教學(xué)中，需要教師在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四大領(lǐng)域的教學(xué)中進(jìn)行有機(jī)滲透。讓學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識(shí)和技能的過程中體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程，這個(gè)過程有助于學(xué)生初步形成模型思想，也有助于教師在現(xiàn)實(shí)中探尋培養(yǎng)策略，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)模型思想的形成和發(fā)展，最終提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（責(zé)編 林 劍）