楊華明 陶應(yīng)奇

【摘 要】本文以消耗戰(zhàn)博弈為基本原型，對戰(zhàn)爭的起因與結(jié)束問題進(jìn)行分析。戰(zhàn)爭從某種程度上來說，是一個(gè)雙方付出戰(zhàn)爭的代價(jià)以實(shí)現(xiàn)一定目的的過程。這與消耗戰(zhàn)博弈所討論的問題具有很大的相似性。

【關(guān)鍵詞】消耗戰(zhàn)博弈模型 戰(zhàn)爭 起因 結(jié)束

在阿富汗戰(zhàn)爭和伊拉克戰(zhàn)爭中，美國剛一開始都迅速取得勝利。如，2003年3月20日，美國對伊拉克發(fā)動(dòng)戰(zhàn)爭，歷時(shí)42天，美國總統(tǒng)布什就宣布地面戰(zhàn)爭結(jié)束。2010年8月，美國戰(zhàn)斗部隊(duì)撤出伊拉克，歷時(shí)7年。美伊戰(zhàn)爭中，美國使用了大量的現(xiàn)代化新式武器，這些新式武器的費(fèi)用十分高昂，所以美國戰(zhàn)爭成本非常之大。分析美伊戰(zhàn)爭美國的得失，美國的得益在于：加強(qiáng)了對中東地區(qū)能源生產(chǎn)基地和供給通道的控制;促進(jìn)了美國軍事工業(yè)的發(fā)展，刺激了美國經(jīng)濟(jì)的復(fù)蘇;排擠了中東地區(qū)主要的戰(zhàn)略競爭對手。美國的損失在于：一是美伊戰(zhàn)爭損害了美國的大國形象，影響其全球戰(zhàn)略利益;二是巨額的戰(zhàn)爭消耗使美國出現(xiàn)巨額財(cái)政赤字;三是大量的人員傷亡，進(jìn)一步激化了美國國內(nèi)矛盾;四是恐怖主義勢力有所抬頭，威脅美國反恐戰(zhàn)爭成果，中東地區(qū)高漲的反美情緒影響美國全球戰(zhàn)略利益。戰(zhàn)爭把美國一步一步拖入泥潭，美國的損失遠(yuǎn)大于得到的。為什么會(huì)引發(fā)戰(zhàn)爭，戰(zhàn)爭開始了為什么不能速戰(zhàn)速?zèng)Q呢？

一、通常的幾種分析結(jié)果

我們知道，兩個(gè)國家在沒有利益爭奪的情況下，戰(zhàn)爭與和平博弈模型如圖1：

這個(gè)博弈有兩個(gè)純戰(zhàn)略納什均衡：（戰(zhàn)爭，戰(zhàn)爭）和（和平，和平）。顯然，后者帕累托優(yōu)于前者，（和平，和平）是本博弈的一個(gè)帕累托占優(yōu)均衡。我們知道，在沒有利益沖突的前提下，戰(zhàn)爭發(fā)生的概率的確很小。

Rubinstein于1982年提出了輪流出價(jià)的討價(jià)還價(jià)博弈模型，其簡化的情形是假設(shè)有兩個(gè)局中人1和2共同分配大小為1個(gè)單位的利益，1先動(dòng)，提出分配方案，將這稱為1先“出價(jià)”;2接著在觀察到1提出的方案后選擇接受或拒絕，如果拒絕，2再提出自己的分配方案，稱為2的“還價(jià)”，然后再由1考慮是否接受;若1接受，博弈就結(jié)束，否則1再出價(jià)……直到有一方的出價(jià)被另一方接受為止。令表示1的份額，則就是2的份額，記和分別是1出價(jià)時(shí)1和2的份額，和分別是2出價(jià)時(shí)1和2的份額，并設(shè)兩個(gè)局中人的折損因子分別為和。于是，若博弈在時(shí)刻結(jié)束，且在時(shí)刻是局中人的出價(jià)階段，則局中人1和2的各階段支付貼現(xiàn)值總和作為博弈支付函數(shù)就分別為和。當(dāng)博弈是無限次進(jìn)行下去時(shí)，博弈就成為無限次完美信息博弈。若，則輪流出價(jià)的討價(jià)還價(jià)博弈有唯一的子博弈精煉納什均衡，其均衡結(jié)果為：

我們把折損看成戰(zhàn)爭的成本，Rubinstein模型研究的是完全信息的討價(jià)還價(jià)過程，因?yàn)榫饨獾拇嬖冢J(rèn)為信息完全時(shí)戰(zhàn)爭不會(huì)發(fā)生。因?yàn)槠渲幸环娇偰芴岢鲆粋€(gè)雙方滿意的分配方案。斯蘭謝夫（ Bran islav L. Slantchev）分析了信息不完全時(shí)國家1和國家2分為三種類型，雙方通過戰(zhàn)爭和談判能夠甄別出博弈方的不同類別，從而戰(zhàn)爭結(jié)束達(dá)到均衡分配。

二、建立消耗戰(zhàn)模型

我們設(shè)兩國家對一利益進(jìn)行爭奪，其價(jià)值對于雙方來說分別為Va和Vb，戰(zhàn)爭的成本分別為ca和cb。不妨設(shè)，。博弈標(biāo)準(zhǔn)式如圖2：

（一）一次博弈

對于這個(gè)博弈來說，純策略納什均衡有兩個(gè)：參與人國家1選擇戰(zhàn)爭，參與人國家2選擇退出;參與人國家1選擇退出，參與人國家2選擇戰(zhàn)爭。其結(jié)果為：和。按照純策略納什均衡，就不可能發(fā)生戰(zhàn)爭。

但該博弈還有一個(gè)混合均衡：設(shè)國家1、2分別以概率和選擇戰(zhàn)爭，那么國家1、2分別以概率和選擇退出。國家1按照均衡策略行為時(shí)，選擇戰(zhàn)爭和退出的收益，于是有：，得到。類似的有：。當(dāng)國家1認(rèn)為時(shí)（作為國家1的信念），國家1最優(yōu)策略選擇退出;當(dāng)國家1認(rèn)為時(shí)（作為國家1的信念），國家1最優(yōu)策略是選擇戰(zhàn)爭。同時(shí)也可以看出，當(dāng)爭奪物對國家1的價(jià)值上升，則國家2選擇戰(zhàn)爭的概率下降，如果每一輪國家1付出的成本上升，則國家2選擇戰(zhàn)爭的概率上升。國家2也有類似的結(jié)論。這樣我們發(fā)現(xiàn)，戰(zhàn)爭的概率與各自的信念有關(guān)，還與爭奪物的價(jià)值及戰(zhàn)爭成本有關(guān)。

（二）無限次重復(fù)博弈情況

在消耗戰(zhàn)博弈中，時(shí)間可以是連續(xù)的和離散的。由于討論的是戰(zhàn)爭問題， 我們把其中的時(shí)間離散化，得到如下博弈原型：

在這個(gè)博弈中， 如果任何一方在某一輪退出， 博弈就在此時(shí)結(jié)束。由于我們的關(guān)注點(diǎn)是其中涉及的機(jī)理， 為了簡化計(jì)算， 設(shè)雙方的時(shí)間貼現(xiàn)因子。這個(gè)博弈試圖解決的問題是：一場爭斗（有時(shí)通過虛張聲勢的方式進(jìn)行） 會(huì)進(jìn)行多久？

我們通過逆向歸納法很容易可以求出該博弈純策略子博弈精煉納什均衡，分別是：1選擇永不放棄，2選擇永遠(yuǎn)退出;或者1選擇永遠(yuǎn)退出，2選擇永不放棄。在求解過程中我們發(fā)現(xiàn)，戰(zhàn)爭的成本成為沉沒成本，無限重復(fù)博弈與第一次博弈的模型一樣。通過求解混合策略子博弈精煉納什均衡，我們發(fā)現(xiàn)了國家1、國家2，，而n輪次發(fā)生戰(zhàn)爭結(jié)束的概率，可以得出，消耗大量成本的戰(zhàn)爭隨著時(shí)間慢慢走向結(jié)束。這是一個(gè)漫長的過程，同時(shí)消耗也是極大的。

我們可以得出分析的結(jié)果： （1）如果戰(zhàn)爭中的一方認(rèn)為最終的失敗不可避免，它不會(huì)坐等最終失敗的來臨， 而是在此之前就會(huì)嘗試媾和;（2）當(dāng)認(rèn)識到繼續(xù)堅(jiān)持下去而不能獲勝時(shí)， 盡早結(jié)束敵對的僵持狀況符合參與人的利益;（3）由于通過堅(jiān)持而在下一輪獲勝比在本輪就做出讓步更符合行為體的利益， 當(dāng)參與人都認(rèn)為自己會(huì)獲勝時(shí)， 這個(gè)博弈一旦開始， 就無法停止下來， 從而使得對雙方都不利的戰(zhàn)爭持久進(jìn)行， 直到其中有一方認(rèn)識到自己最終無法堅(jiān)持下去時(shí)為止。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張維迎.博弈論與信息經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].上海：格致出版社，1996.

[2][法]讓·梯若爾，朱·弗登博格.博弈論[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2010.