別為減負(fù)忽視根與系數(shù)的關(guān)系

吳金梅　王斌

中圖分類號(hào)：G633.62 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2016）19-0102-01

人教版實(shí)驗(yàn)教科書把“根與系數(shù)的關(guān)系”用“觀察與猜想”的形式，安插在初三代數(shù)《一元二次方程》一章的后面，沒有練習(xí)題。而修改后的2009年3月第2版，只是將本內(nèi)容改為選學(xué)內(nèi)容，后面安排了兩個(gè)求方程兩根的和與積的練習(xí)題，還是未引起足夠的重視。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)教師在處理這一內(nèi)容時(shí)，也沒有引起必要的重視。我認(rèn)為，這依然不可能動(dòng)搖它與判別式是一元二次方程的兩個(gè)重要理論的地位。實(shí)際應(yīng)用中，它們常常結(jié)伴而行，相互依賴。本文試舉幾例。

例1 “希望杯”（2009年）培訓(xùn)題

當(dāng)a<-1時(shí)，方程（a3+1）x2+（a2+1）x-（a+1）=0的根的情況（ ）。

（A）兩負(fù)根 （B）一正根一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值大

（C）一正根一負(fù)根且負(fù)根的絕對(duì)值小

（D）沒有實(shí)數(shù)根

（分析） 此題第一步要用△判別有無實(shí)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系確定具體是什么樣的根。

解 當(dāng)a<-1時(shí)，a3+1<0，a2+1>0，a+1<0

而△=（a2+1）2+4（a3+1）（a+1）>0，可知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)方程的兩根為x1、x2，則x1·x2=-<0，表明方程的兩根為一正一負(fù)；

而x1+x2=->0，表明負(fù)根的絕對(duì)值小于正根，故選（C）。

例2 廣東?。?009年）中考試題匯

已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=8，求c的取值范圍。

集

（分析） 此題可根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系造出一個(gè)系數(shù)與c有關(guān)的新方程，再由△求出c的取值范圍。

解 由已知，得a+b=-c，ab=故可把a(bǔ)、b看作關(guān)于X的方程x2+cx+=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以△=c2-≥0，即c<0或解得c<0或c≥23。

例3 黃岡市初中數(shù)學(xué)（2009年）中考題

已知菱形ABCD的邊長為13，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)0，且OA、OB的長分別是關(guān)于x的方程x2-（k-1）x+3（k+2）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

求（1）K的值；（2）OA、OB的長；（3）Rt△OAB斜邊的高。

（分析） 解此題的關(guān)鍵是確定K的值，它既要△≥0，又要使方程的兩根符號(hào)實(shí)際情況。而OA、OB既是方程的兩根，又是直角三角形的兩直角邊。由OA、OB作為橋梁把所有的關(guān)系串聯(lián)起來便可求出K的值。

解 （1）由菱形的性質(zhì)，得OA2+OB2=132，則（OA+OB）2-2OA·OB=169，由根與系數(shù)的關(guān)系可知：OA+OB=K-1，OA·OB=3（K+2），所以（K-2）2-6（K+2）=169，解得K=18或K=-10。

經(jīng)檢驗(yàn)： K=18或K=-10都能使△≥0，但是當(dāng)K=-10時(shí)，OA+OB<0，OA·OB<0，不符合實(shí)際，故取K=18。

（2）把K=18代入原方程，可求出符合題意的OA、OB的長分別為12和5。

（3）應(yīng)用面積法這種簡便方法求得Rt△OAB斜邊上的高為。

例4 四平市初中數(shù)學(xué)（2009年）中考試題

已知方程x2+（2t+1）x+（t2+2t+1）=0有兩實(shí)數(shù)根 、 ，求 2+ 2的最小值。

（分析） 此題的解答過程，實(shí)際上是判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的綜合應(yīng)用。因?yàn)?、 既涉及到判別式，又是根與系數(shù)關(guān)系的載體。

解 由已知，得△=（2t+1）2-4（t2+2t+1）≥0，解得t≤-，

又 2+ 2=（ + ）2- =2t2-1

因?yàn)閠≤-，所以當(dāng)t=-時(shí)， 2+ 2有最小值。

因此說，根與系數(shù)的關(guān)系在實(shí)際應(yīng)用中和判別式同樣重要，都是各類數(shù)學(xué)競賽和水平測試的不可或缺的考察內(nèi)容，應(yīng)該引起我們?cè)诮虒W(xué)中的足夠重視。同時(shí)，我們建議人教版實(shí)驗(yàn)教科書修訂時(shí)在初三代數(shù)《一元二次方程》這一章里，把根與系數(shù)的關(guān)系和判別式擺在同樣的位置上，改為課時(shí)教學(xué)內(nèi)容，并在后面安排適當(dāng)?shù)木毩?xí)題目。