鄒少偉

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，但現(xiàn)行教材中卻沒有推證，有些輔助刊物中的證明又過于繁鎖，大多數(shù)的教學(xué)參考書也只是給出結(jié)論而已，其實(shí)下面的推導(dǎo)還是容易接受的.

首先給出函數(shù)單調(diào)性的一個等價(jià)定義：設(shè)D是函數(shù)y=f（x）定義域上的一個子區(qū)間，對于任意x1，x2∈D，當(dāng)x1≠x2時，都有：（x1-x2）（y1-y2）>0（或<0），其中y1=f（x1），y2=f（x2），我們就稱y=f（x）在D上嚴(yán)格單調(diào)遞增（或遞減），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義容易驗(yàn)證該結(jié)論成立，這里證明從略.從此定義可知，函數(shù)值對應(yīng)增量和自變量增量同號為增函數(shù)，異號為減函數(shù)；反之亦然.

注：上述定義中，如果存在當(dāng)x1≠x2時y1=y2，則y=f（x）在D上不是嚴(yán)格單調(diào)，需要把D細(xì)分.

下面我們來證明復(fù)合函數(shù)y=f（φ（x））的單調(diào)性，設(shè)復(fù)合函數(shù)由y=f（u）和u=φ（x）復(fù)合而成，令u1=φ（x1），u2=φ（x2），y1=f（u1），y2=f（u2）.

（1）如果內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相同，則（x1-x2）（u1-u2）和（u1-u2）（y1-y2）同號，且都不為0，所以（x1-x2）（u1-u2）2（y1-y2）>0，又（u1-u2）2>0則（x1-x2）（y1-y2）>0故復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞增.

（2）如果內(nèi)外層函數(shù)單調(diào)性相異，則（x1-x2）（u1-u2）和（u1-u2）（y1-y2）異號，且都不為0，所以（x1-x2）（u1-u2）2（y1-y2）<0，又（u1-u2）2>0，則（x1-x2）（y1-y2）<0，故復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞減.

最后讓我們看幾個應(yīng)用的實(shí)例：

例1 求函數(shù)y=x4-3x2+2的單調(diào)區(qū)間.

解 令u=x2則y=u2-3u+2，原函數(shù)由它們復(fù)合而成.內(nèi)層單調(diào)性分界點(diǎn)x=0，外層單調(diào)性分界點(diǎn)u=32.由x2=32得x=±62.

當(dāng)x<-62時，x2>32，內(nèi)層減，外層增，原函數(shù)遞減；

當(dāng)-62≤x<0時，x2≤32，內(nèi)層減，外層減，原函數(shù)遞增；

當(dāng)0≤x<62時，x2<32，內(nèi)層增，外層減，原函數(shù)遞減；

當(dāng)x≥62時，x2≥32，內(nèi)層增，外層增，原函數(shù)遞增.

故函數(shù)遞增區(qū)間有-62，0和62，+∞，遞減區(qū)間有-∞，-62和0，62.

注：對復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同學(xué)們要特別注意內(nèi)外層區(qū)間的對應(yīng)關(guān)系.

例2 已知a>0且a≠1，試討論函數(shù)f（x）=ax2+6x+17的單調(diào)性.

解 令內(nèi)層u=x2+6x+17，則外層為f（u）=au.內(nèi)層在（-∞，-3]遞減，在（-3，+∞）遞增；外層當(dāng)a>1時遞增，當(dāng)01時，在（-∞，-3]遞減，在（-3，+∞）遞增；

當(dāng)0

例3 若函數(shù)y= loga（2-ax）在[0，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）.

A.（0，1） B.（0，2） C.（1，2） D.（2，+∞）

解 因?yàn)閍>0，則內(nèi)層u=2-ax在[0，1]遞減，又復(fù)合函數(shù)y=loga（2-ax）在[0，1]上是減函數(shù)，則外層y=logau是關(guān)于u的增函數(shù)，所以a>1；又2-ax>0在定義域上恒成立，且內(nèi)層u=2-ax遞減，故只需x=1處成立，則2-a>0，即a<2，所以1

注 討論函數(shù)單調(diào)性，大家千萬不要忽視函數(shù)的定義域.

從以上討論可知，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)質(zhì)還是變量增量符號的乘積運(yùn)算（同號相乘得正，異號相乘得負(fù)），簡單記為四個字“同（內(nèi)外層單調(diào)性相同）增異（內(nèi)外層單調(diào)性不同）減”.對于多層可類推，需要注意的是函數(shù)定義域和內(nèi)外層的對應(yīng)關(guān)系不能錯漏.