一種改進的耗散型接觸力模型及實驗驗證

胡 世 武，　郭 杏 林，　郭 　 強

( 大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室, 遼寧 大連　116024 )

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一種改進的耗散型接觸力模型及實驗驗證

胡 世 武，郭 杏 林*，郭 強

( 大連理工大學 工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室, 遼寧 大連116024 )

摘要：為了研究含間隙運動副對連桿機構動態(tài)性能的影響，基于能夠描述碰撞過程中能量損失的連續(xù)接觸模型，建立了一個新的耗散型接觸力模型．在這個新模型下對含間隙連桿機構進行動力學仿真，并進行了實驗研究．主要考察了間隙尺寸和加載強度對連桿受力的影響．結果表明：間隙的存在會影響傳遞力曲線，使機構產生明顯的振動沖擊，間隙大小和加載速度是影響機構動態(tài)響應的主要因素．該仿真結果得到了實驗的驗證．

關鍵詞：間隙；接觸力模型；碰撞；操作機；連桿機構

0引言

在實際工程中，構件在設計、制造和裝配過程中的誤差、磨損等因素決定了鉸接間隙的必然存在．在運動過程中運動副構件間會因為間隙的存在而出現(xiàn)從分離到接觸所產生的碰撞力，這種碰撞力在極端工況條件下甚至會超過原本的傳遞力，這極大地影響了機構的動力學行為．上述運動副間隙的不良影響，在高速、重載和微機械系統(tǒng)中表現(xiàn)尤為嚴重．因此，由間隙而引起的碰撞問題，已經成為一個具有實用價值的課題．

近年來國內外諸多學者對多體系統(tǒng)動力學中的接觸碰撞問題進行了大量的研究[1-6]．其中常用的接觸理論是Hertz接觸理論[7]，它僅適用于處理理想彈性體間含有大間隙小荷載的低速無摩擦的接觸問題．數(shù)十年來許多學者基于這個理論發(fā)展了眾多的接觸力模型[8-14]，文獻[1-3]詳細地研究對比了這些模型．這些模型主要分為兩大類：一類是不考慮能量損失的接觸力模型；另一類是引入了阻尼系數(shù)(代表能量損失)的接觸力模型．前一類不考慮能量損失,而且該類接觸力模型精度較低,因而不符合實際情況．相比之下后一類模型更進了一步，這類模型之間整體形式基本一致，區(qū)別在于黏滯阻尼因子的不同，所以考慮能量損失的這一類模型進展的本質是黏滯阻尼因子的進展，其目的是不斷提高黏滯阻尼因子對能量損失的描述精度．此外，含黏滯阻尼因子的接觸力模型的適用范圍還受到恢復系數(shù)和接觸形式的限制．例如：Hunt-Crossley接觸力模型[8]、Lankarani-Nikravesh接觸力模型[9]在推導接觸力模型的過程中沒有考慮碰撞整個過程中壓縮和恢復階段之間能量損失的不一致，導致得到的接觸力模型只適用于高恢復系數(shù)(e>0.7)的接觸碰撞問題；Gonthier接觸力模型[10]受到接觸形式的限制，適合于大面積接觸問題；Flores接觸力模型[11]則適用于0

本文結合文獻[11]的優(yōu)點，即在推導接觸力模型過程中考慮整個碰撞過程中的壓縮和恢復階段的能量損失不同而分別計算，同時還采用一個合適的變形速度和變形量之間的關系式來計算能量損失，最后得到一個新的接觸力模型，既適用于彈性碰撞，又能提高黏滯阻尼因子的計算精度．在此基礎上，把結合了法向和切向接觸力的動力學模型應用到連桿機構的動力學仿真中，同時利用一套實驗系統(tǒng)進行實驗驗證．在仿真和實驗中分別考察不同的間隙尺寸、加載頻率和加載力幅值對連桿受力的影響．

1接觸力模型

1.1經典的接觸力模型

首先假設兩個彈性球是中心法向碰撞，下面分析兩個球的碰撞過程．

Fn=Kδn

(1)其中δ為接觸球體間的相對法向變形(也稱為碰撞深度)，非線性指數(shù)n的通常取值為3/2．K為局部接觸剛度[15]，它取決于材料參數(shù)和球體半徑，即

(2)

其中材料參數(shù)

(3)

El和μl分別是彈性模量和泊松比．

上述的Hertz接觸模型是純彈性模型完全彈性碰撞(e=1)，碰撞后，物體完全恢復原形，能量無損失，它不考慮能量損失，因而不符合實際情況，并且該接觸力模型精度較低．

在Hertz接觸模型的基礎上，Hunt等[8-11]引入了一個阻尼函數(shù)來代表能量損失，在模型建立過程中，采用一個等效系統(tǒng)來描述兩彈性球間的碰撞過程．這個碰撞過程可以簡化為一個單自由度動力學系統(tǒng)，如圖2所示．

在這個系統(tǒng)下，兩球體間碰撞過程中的壓縮和恢復階段都被表示成一個物體碰撞下的壓縮和恢復過程．在這里，假設了能量損失是由碰撞物體材料的阻尼以熱量的形式耗散的[1]．D代表阻尼系數(shù)，

δ.

(-)為接觸點上的初始相對速度，δm為等效彈簧產生的最大變形量，也表示兩球體間碰撞過程中相對速度為0時的變形量，m為兩物體的等效質量，即m=mimj/(mi+mj)．

圖1　兩彈性球的碰撞過程

圖2　碰撞過程的等效系統(tǒng)

這個由等效彈簧力和阻尼力組成的兩球體的法向接觸力表示為[16-17]

Fn=Kδn+D

(4)

在這個接觸力模型中，K和n與式(1)相同；

δ.

為相對變形速度；另外阻尼系數(shù)D被Hunt和Crossley定義為

D=cδn

(5)

其中c被稱為黏滯阻尼因子．因此，式(4)變化為

Fn=Kδn+cδn

(6)

式(6)是典型的能量耗散型接觸力模型的通用形式．這類耗散型接觸力模型的主要區(qū)別在于黏滯阻尼因子的不同．文獻[1]詳細對比了8種能量耗散型接觸力模型的黏滯阻尼因子．這些模型都屬于彈性碰撞(0

1.2變形速度和變形量之間的關系

為了方便下一步關于能量損失的積分計算，需要建立一個變形速度和變形量之間的關系．具體過程如下：

引入式(6)，同時注意到指數(shù)n的通常取值為3/2，圖2中單自由度系統(tǒng)的動力學方程表示為

mδ..+cδ32δ.+Kδ32=0

(7)

這個方程是一個二階變系數(shù)常微分方程，難以得到解析解，所以采用Matlab軟件來獲得其數(shù)值解．為了得到有效的數(shù)值解，假設了鋼材料的球作為碰撞物體，兩種具體參數(shù)為

(1)R=0.01 m，E=2.07×1011Pa，μ=0.3，K=1.07×1010N/m1.5，m=0.033 kg，e=0.9，c=2.0×109N·s/m2.5，

δ.

(-)=0.8m/s，δ(0)=0；

(2)R=0.01m，E=2.07×1011Pa，μ=0.3，K=1.07×1010N/m1.5，m=0.033kg，e=0.9，c=2.0×1010N·s/m2.5，

δ.

(-)=0.1m/s，δ(0)=0．

圖3中顯示了整個碰撞過程的變形速度和變形量隨時間變化曲線．通過對比圖3(a)和(b)可以發(fā)現(xiàn)這種變形速度隨變形量變化的趨勢非常接近．

為了獲得速度和變形之間的關系，同時考慮到圖3中壓縮和恢復階段曲線變化基本一致，選擇在壓縮階段來討論．在壓縮階段，將圖中的變形量作為變形速度的自變量，得到兩者間一一對應的數(shù)值(由Matlab計算)，如圖4中黑實線所示．要找到一種合適的函數(shù)形式來描述這種速度與變形量之間關系，在圖4中給出了由3種函數(shù)表示的曲線，通過對比數(shù)值解與這3種函數(shù)曲線的差異從而得到合適的函數(shù)形式．其中這3種函數(shù)分別為Flores[11]函數(shù)、線性函數(shù)和階躍函數(shù)，即

δ.=δ.(-)1-δδm?è???÷2

(8)

(9)

(10)

(a)

δ.

(-)=0.8m/s

(b)

δ.

(-)=0.1m/s

圖3　變形速度和變形量隨時間的變化

(a)

δ.

(-)=0.8m/s

(b)

δ.

(-)=0.1m/s

圖4變形速度與變形量之間的關系

Fig.4Deformation velocity-deformation relationship

從圖4中可以看出數(shù)值解曲線近似于Flores函數(shù)曲線，于是將數(shù)值解假設為如下形式：

δ.=δ.(-)1-δδm?è???÷β

(11)

通過對這個數(shù)值解按照上式進行擬合，可以得到β=2.408(

δ.

(-)=0.8 m/s)和β=2.395 (

δ.

(-)=0.1 m/s)．另外，圖4還給出了β=5/2時的關系曲線，可以看出其與數(shù)值解曲線基本一致，因此，為了便于后續(xù)積分，將β取為5/2，于是式(11)可以表示為

δ.=δ.(-)1-δδm?è???÷52

(12)

式(12)的曲線如圖4所示．這樣就得到了在壓縮階段中描述速度與變形之間關系的方程，同理可得在恢復階段的這個關系，即

δ.=δ.(+)1-δδm?è???÷52

(13)

1.3能量損失的計算

下面將分別從兩個方面來計算碰撞過程中的能量損失．

一方面，考慮到能量平衡，碰撞過程中的能量損失可以表示為

ΔT=T(-)-T(+)=

(14)

其中T(-)和T(+)分別表示碰撞前和碰撞后的動能．考慮到碰撞前后的動量平衡，即

(15)

同時引入恢復系數(shù)e，式(14)可以表示為

(16)

這就得到了含恢復系數(shù)的能量損失，它可以簡化為

ΔT=12m(δ.(-))2(1-e2)

(17)

其中m、

δ.

(-)和e分別為

m=mimjmi+mj, δ.(-)=v(-)i-v(-)j

，

e=-v(+)i-v(+)jv(-)i-v(-)j=-δ.(+)δ.(-)

(18)

另一方面，能量損失還可以由阻尼力做功來計算[9-11]，即

ΔE=∮Dδ.dδ=∮cδ32δ.dδ

(19)

上式中的積分包含了壓縮階段和恢復階段的能量損失，所以總的能量損失也可以看作壓縮和恢復階段的能量損失之和，將式(12)和(13)代入式(19)可得

ΔEc=∫δm0cδ32δ.(-)1-δδm?è???÷52dδ=415cδ.(-)δ52m

(20)

ΔEr=

∫δm0cδ32δ.(+)1-δδm?è???÷52dδ=

415cδ.(+)δ52m

(21)

在這里還需要考慮最大變形量δm與初始速度

δ.

(-)及c之間的關系，這可以由壓縮階段中的開始和結束時間點上的能量平衡得到，該能量平衡表示為

T(-)=T(m)+U(m)+ΔEc

(22)

式中：T(-)為初始動能，T(m)為壓縮階段結束時的動能，U(m)為壓縮階段結束時的彈性變形能，其可以計算為

(23)

于是式(22)可以表示為

12(mi+mj)(v(m)ij)2+25Kδ52m+415cδ.(-)δ52m

(24)

同時代入一個動量平衡，即

(25)

聯(lián)立式(24)和(25)，得到最大變形量δm和初始速度

δ.

(-)之間的關系：

δ52m=15m4(2cδ.(-)+3K)(δ.(-))2

(26)

將式(26)和(18)代入式(20)和(21)中，得到總的能量損失

ΔE=ΔEc+ΔEr=c(1+e)m2cδ.(-)+3K(δ.(-))3

(27)

1.4法向和切向接觸力模型

通過對比式(17)和(27)的右邊項，就得到了黏滯阻尼因子，即

c=3K(1-e)2eδ.(-)

(28)

最后得到法向接觸力模型

Fn=Kδn1+3(1-e)2eδ.δ.(-)é?êêêù?úúú

(29)

需要指出的是當恢復系數(shù)e為零時就屬于塑性變形了，這時物體的變形不能恢復，所以該接觸力模型只適用于彈性碰撞情況．同時該計算也只適用于碰撞速度低于彈性波在固體中的傳播速度時的情形，因為碰撞速度超過臨界值，則物體會發(fā)生局部塑性變形．

對于該接觸力模型的適用范圍，可以由圖5表示出來．當設定一個恢復系數(shù)ein，經過引入接觸力模型進行碰撞分析后可以得到物體碰撞后速度，將之與初始速度相比得到碰撞后的實際的恢復系數(shù)eout．理論上來說ein應該等于eout，但是由于各種模型描述能量損失的精確性不同，造成了前后碰撞速度的不同，所以從圖中可以看出這些模型的適用范圍也不同．從圖5中可以看出本文給出的eout-ein曲線非常接近于eout=ein這條直線，這說明了本文提出的接觸力模型適用范圍為0

圖5　不同接觸力模型的eout-ein關系

切向接觸力由Columb摩擦模型[18-21]來計算，其表達式為

Ft=-μdFnsgn(υ)

(30)

式中：sgn(υ)為符號函數(shù)，υ為兩物體在碰撞點的相對滑動速度，μd為滑動摩擦因數(shù)．

2仿真和實驗

2.1仿真設計

在連桿機構中，為較好地表現(xiàn)出間隙效應，建立了一個含雙間隙旋轉鉸實體仿真模型，如圖6(a) 所示．結構設計簡圖見圖6(b)，其主要由3個連桿組成，兩兩連桿組成的運動副中分別含有軸套、軸銷．間隙大小由軸套內徑和軸銷外徑之差確定．

(a) 實體仿真模型

(b) 結構設計簡圖

圖6含雙間隙連桿機構的實體仿真圖和設計簡圖

Fig.6Thesimulationstereogramandthediagramofalinkagemechanismwithdoubleclearances

圖7給出了機構鉸剖面的連接方式，其設計參數(shù)見表1．

1.連桿2； 2.軸銷； 3.軸套； 4.連桿1

表1　含間隙運動副設計參數(shù)

將上一章的接觸力模型引入這個連桿機構的多體系統(tǒng)，在多體系統(tǒng)動力學軟件[21]中進行仿真計算．其動力學仿真參數(shù)由表2給出．

2.2實驗裝置

如圖8所示，整個實驗設備主要由兩部分組成．一個是對連桿機構施加作用力的250 kN電液伺服實驗臺系統(tǒng)(其中上夾頭固定連桿，下夾頭施加力)．另一個就是數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)，實驗臺系統(tǒng)將反應信號傳遞給數(shù)據(jù)采集儀并且在計算機中實時顯示．整個實驗框圖如圖9所示．

表2　連桿機構仿真參數(shù)

圖8　連桿機構實驗裝置

圖9　實驗框圖

實驗過程中，一方面改變正弦荷載的幅值，另一方面改變荷載頻率，然后通過更換旋轉鉸中的軸套改變間隙，從而測量出正弦力的幅值、頻率和鉸的間隙大小對荷載傳遞的影響．

3結果和分析

3.1間隙尺寸對碰撞力的影響

為了比較間隙影響效果的差別，分別在間隙大小為0、0.2、0.4 mm這3種情況下進行仿真和實驗．其正弦加載力的頻率為3 Hz，幅值為10 kN，即F=10 000sin(6πt)．結果如圖10所示．

(a) 實驗

(b) 仿真

圖10碰撞力在不同間隙下的響應

Fig.10Response of impact force with different

clearances

由圖10可見，當間隙尺寸為0 mm時，也就是運動副元素間沒有間隙，這時仿真和實驗中的加載力呈現(xiàn)完整正弦形狀，沒有振動現(xiàn)象，仿真和實驗曲線一致．當間隙尺寸增大(0.2和0.4 mm)，即運動副元素間出現(xiàn)間隙時，加載力曲線在正弦曲線附近左右偏離而且出現(xiàn)微小振動．尤其是在加載力為0時，即連桿處于自由碰撞狀態(tài)下，這時運動副元素間會產生較大的碰撞力．從仿真和實驗曲線中可以看到：每半個正弦周期會發(fā)生一次大碰撞，而且碰撞力會維持在一定的大?。抡婧蛯嶒炃€的不同之處在于碰撞力的作用時間不同，這是因為加載力在拉壓交替變換時，實驗測量系統(tǒng)中夾頭在碰撞過程中有緩沖作用，這造成了實驗中碰撞作用時間延長．總的來說，隨著間隙的增大，碰撞力也會隨之增大．仿真和實驗的碰撞力數(shù)值之間的相對誤差不超過5%．

3.2加載頻率對碰撞力的影響

為了比較加載頻率影響效果的差別，分別在加載頻率為2、5、7 Hz這3種情況下進行仿真和實驗．其加載條件為間隙大小0.4 mm，正弦加載力的幅值30 kN，即F=30 000sin(2πft)．結果如圖11所示．

(a) 實驗

(b) 仿真

圖11碰撞力在不同加載頻率下的響應

Fig.11Response of impact force with different

loading frequencies

由圖11可見，仿真、實驗曲線和上文一樣，加載力在拉壓交替變換時運動副元素間會產生較大的碰撞力．同時，由于隨機干擾中存在高頻成分，仿真中加載力曲線上呈現(xiàn)許多毛刺，不光滑；而實驗中，由于運動副元素間的摩擦作用，削弱了干擾項的影響，提高了加載力曲線光滑度．當加載頻率從2 Hz提高到7 Hz，在0加載力處也就是自由碰撞狀態(tài)下，產生的碰撞力大小會連續(xù)增加20%左右．總的來說，隨著加載頻率的增大，碰撞力也會隨之增大．仿真和實驗結果在這一點上表現(xiàn)一致，它們的碰撞力數(shù)值之間的相對誤差不超過5%．

3.3加載力幅值對碰撞力的影響

為了比較加載力幅值影響效果的差別，分別在加載力幅值為10、20、30 kN這3種情況下進行仿真和實驗．其加載條件為間隙大小0.4 mm，正弦加載頻率4 Hz，即F=Asin(8πt)．結果如圖12所示．

(a) 實驗

(b) 仿真

圖12碰撞力在不同加載力作用下的響應

Fig.12Response of impact force with different

loading forces

由圖12可見，當加載力幅值為10 kN時出現(xiàn)明顯的振動毛刺，隨著加載力逐漸增大，加載力曲線呈現(xiàn)正弦曲線越發(fā)明顯，而且光滑度提高了，這是由于加載力的快速變化消除了隨機不規(guī)則趨勢項的高頻成分，同時使得采集離散數(shù)據(jù)繪制成的曲線平滑化．另外，與仿真曲線比較，實驗曲線在低加載力幅值下出現(xiàn)碰撞力延遲現(xiàn)象，其原因為實驗系統(tǒng)中的緩沖作用．總的來說，隨著加載力幅值的增大，碰撞力也會隨之增大．仿真和實驗結果基本一致，它們的碰撞力數(shù)值之間的相對誤差不超過9%．

4結語

本文采用能夠描述碰撞過程中能量損失的連續(xù)接觸模型，結合文獻[11]的優(yōu)點，優(yōu)化了其黏滯阻尼因子，提出了一個新的耗散型接觸力模型．將之應用在連桿機構的動力學仿真計算分析中，并通過實驗進行了驗證．仿真和實驗結果表明，間隙的存在使得機構產生明顯的振動碰撞，其碰撞力大小與間隙尺寸、加載強度息息相關．同時，該碰撞力影響了機構中力的傳遞，使得機構出現(xiàn)多余的附加荷載，這樣降低了設備運行穩(wěn)定性．另外，仿真和實驗結果的一致性說明，這個新的接觸力模型能夠較好地計算出運動副構件之間的碰撞力，可以為這類碰撞接觸建模提供參考幫助．

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An improved dissipative contact force model and experimental verification

HUShi-wu,GUOXing-lin*,GUOQiang

( State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology,Dalian 116024, China )

Abstract：To explore the influence of kinematic pair with clearances on the dynamic performance of linkage mechanism, a new dissipative contact force model is established based on the continuous contact model which can describe energy loss in collision. Using the new model, the dynamics behavior of linkage mechanism with clearances is simulated, and an experiment is conducted. The influence of the clearance size and loading strength to force on linkage is studied. The results show that the existence of clearance will influence the transfers force curve and make the mechanism produce obvious vibration impact. The main factors that influence mechanism′s dynamic response are clearance size and loading velocity. The simulation results are validated by the experiment.

Key words：clearance; contact force model; collision; manipulator; linkage mechanism

中圖分類號：TH112；TH113

文獻標識碼：A

doi:10.7511/dllgxb201603001

作者簡介:胡世武(1984-)，男，博士生，E-mail:hushiwu001@163.com；郭杏林*(1955-)，男，博士，教授，E-mail:xlguo@dlut.edu.cn.

基金項目:“九七三”國家重點基礎研究發(fā)展計劃資助項目(2011CB706504).

收稿日期：2015-12-30；修回日期: 2016-04-08．

文章編號：1000-8608(2016)03-0221-09