◎高福嵐

(河北衡水一中，河北 衡水 053000)

問渠哪得清如許，為有源頭活水來
——一道數(shù)列問題的探究與反思

◎高福嵐

(河北衡水一中，河北 衡水 053000)

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中掌握方法，可以不變應(yīng)萬變，歸納重要題型的解題方法尤為重要.

例 已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2，n≥3，n∈N*，求數(shù)列{an}通項公式.

解法一 由題意得，an+an-1=3an-1+3an-2=3(an-1+an-2),

即：{an+an-1}是一個公比為3的等比數(shù)列，

an+1+an=(a2+a1)×3n-1=7×3n-1，

解法一首先把相鄰三項的關(guān)系的遞推公式轉(zhuǎn)化為相鄰兩項的關(guān)系的遞推公式，構(gòu)造新等比數(shù)列，在新等比數(shù)列通項公式(兩項的遞推公式)基礎(chǔ)上再轉(zhuǎn)換為熟悉的兩項的遞推公式.最后構(gòu)造等比數(shù)列求解.

解法二 由題意得，an+an-1=3an-1+3an-2=3(an-1+an-2),

即：{an+an-1}是一個公比為3的等比數(shù)列，

an+1+an=(a2+a1)×3n-1=7×3n-1，

an+an-1=7×3n-2，

于是有an+1-an-1=14×3n-2，

已知a1=5，所以有

(a3-a1)+(a5-a3)+…+(a2k-1-a2k-3)

=a2k-1-a1=14×32-2+14×34-2+…+14×32k-4

同理已知a2=2，所以有

(a4-a2)+(a6-a4)+…+(a2k-a2k-2)

=a2k-a2=14×33-2+14×35-2+…+14×32k-3

水擊中流揚帆進(jìn)，乘風(fēng)破浪正當(dāng)時。今天，云南民營經(jīng)濟(jì)已成為云南省拉動投資增長的主要動力、創(chuàng)業(yè)就業(yè)的主力軍、財政收入的重要來源、促進(jìn)對外貿(mào)易的主要力量、繁榮市場的主體力量。東風(fēng)已至，在改革開放的偉大歷史進(jìn)程中，云南民營經(jīng)濟(jì)將繼續(xù)演繹“春天的故事”。

解法二也是首先把相鄰三項的關(guān)系的遞推公式轉(zhuǎn)化為相鄰兩項的關(guān)系的遞推公式，構(gòu)造新等比數(shù)列，在新等比數(shù)列通項公式(兩項的遞推公式)基礎(chǔ)上構(gòu)造奇(偶)數(shù)項的遞推公式(熟悉的兩項的遞推公式)，最后累加求解.

解法三：

由題意得，an+an-1=3an-1+3an-2=3(an-1+an-2),

即：{an+an-1}是一個公比為3的等比數(shù)列，

an+1+an=(a2+a1)×3n-1=7×3n-1，

當(dāng)n為奇數(shù)時，

解法三也是首先把相鄰三項的關(guān)系的遞推公式轉(zhuǎn)化為相鄰兩項的關(guān)系的遞推公式，構(gòu)造新等比數(shù)列，在新等比數(shù)列通項公式(兩項的遞推公式)基礎(chǔ)上求得前n項和.進(jìn)而數(shù)列求解.

反思 人們常說“飲水思源”，我們做題又何嘗不是呢？筆者不禁想到南宋詩人朱熹《觀書有感》的一句詩“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”.只要我們抓住問題的相似處和本質(zhì)，多聯(lián)系，多想象，就能做到砸實基礎(chǔ)，舉一反三，觸類旁通，提升思維能力與創(chuàng)新能力.