無窮耦合電感電路等效電感的多種解法

陳希有, 李冠林, 周惠巍

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 遼寧 大連 116023)

無窮耦合電感電路等效電感的多種解法

陳希有, 李冠林, 周惠巍

(大連理工大學(xué) 電氣工程學(xué)院, 遼寧 大連 116023)

本文介紹了一道習(xí)題的多種分析方法，該習(xí)題要求計算無窮多個并聯(lián)耦合支路的等效電感，其中的一些方法來自對學(xué)生作業(yè)的總結(jié)。由于習(xí)題本身具有趣味性和抽象化特征，因此對提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加深理解等效電感的概念，檢驗和提高他們的思維能力會有很大益處，對任課教師也有很好的參考作用。

電路理論；耦合電感；等效電感； 多種解法

0 引言

筆者在“電路理論”課程教學(xué)中，給學(xué)生布置了一道計算等效電感的練習(xí)題，即參考文獻(xiàn)[1]的習(xí)題5.8，或文獻(xiàn)[2]的231頁第7題。由于在現(xiàn)有出版物中不易找到該題的解答，因此學(xué)生在解題過程中，經(jīng)過努力思考，竟然提出九種不同的分析方法。這些方法各具特色，有的是從互感的基本特性和等效的基本含義出發(fā)；有的是利用已掌握的互感等效變換規(guī)律；有的采用創(chuàng)新性很強的分析方法，例如數(shù)學(xué)歸納法等。這些方法對任課教師也有很好的啟示作用。本文簡要介紹這些方法。

1 問題陳述

如圖1所示電路，無窮多個相互耦合的支路并聯(lián)，每個支路自感系數(shù)均為L、任意兩個支路之間的互感系數(shù)均為M，求等效電感Leq。

圖1 計算該電路的等效電感

2 求解等效電感

2.1 利用并聯(lián)支路電壓相等原理

(1)

在上面過程中利用了KCL，即

將上述n個方程等號左、右兩邊分別相加，得到

將上式等號兩邊同時除以n，就有

所以n個耦合電感并聯(lián)時，等效電感為

(2)

當(dāng)n→∞時，等效電感為

Leq=M

(3)

2.2 利用支路電壓與電流的關(guān)系式

根據(jù)方程組(1)，各支路電壓與電流的關(guān)系可以寫成如下通用關(guān)系式：

(4)

由于n個自感與互感參數(shù)的一致性，所以流過它們的電流一定是相同的，都等于總電流的1/n，即

(5)

由上式得到與式(2)相同的等效電感Leq；n→∞時又與式(3)相同。

這種方法的要點是：

(1)利用歸納的辦法建立各支路電壓與電流的通用關(guān)系式；

(2)利用支路參數(shù)的一致性，直接得出各支路電流都相等的結(jié)論。

2.3 消去互感法之一

對2.1節(jié)中的每一個電壓方程再做改寫，得到:

(6)

仿照兩個耦合電感并聯(lián)時消去互感的原理，得到圖1電路的無互感等效電路，如圖2所示。再根據(jù)電感的并聯(lián)與串聯(lián)等效關(guān)系，便可求得 個耦合電感并聯(lián)時的等效電感：

結(jié)果與式(2)相同。

圖2 消去互感法之一

這種方法著眼于消去互感，這是模仿兩個電感并聯(lián)求等效電感的教學(xué)思路，說明模仿的重要性。

2.4 消去互感法之二

每個電感上的電流都相同，每個電感上的電壓都包括自感電壓和來自n-1個其他支路的互感電壓，可以分別寫作

(7)

(8)

依據(jù)上述方程組，得到圖1電路的無互感等效電路，如圖3所示。再根據(jù)電感的并聯(lián)與串聯(lián)等效關(guān)系，便可求得 個耦合電感并聯(lián)時的等效電感：

(9)

結(jié)果與式(2)相同；n→∞時與式(3)相同。

圖3 消去互感法之二

n→∞時，并聯(lián)中的每一個等效電感以n2速率趨于-∞，串聯(lián)電感則以n1的速率趨于+∞。雖然實際上不會出現(xiàn)這樣的電感，但在人為的等效過程中出現(xiàn)這樣的情況是允許的，如同在消去互感時，出現(xiàn)-M的電感一樣。這正是抽象的作用。

2.5 利用等效前后能量相等原理

含有磁耦合時電感儲存的磁場能量包括自感磁能與互感磁能，前者與自身電流平方成正比，共有n項；后者與存在耦合的兩電感電流之積成正比，共有n(n-1)/2項。總磁能為

+M(i1i2+i1i3+…+in-1in)

(10)

式中電流為瞬時值，推導(dǎo)過程中利用了各電感電流都等于總電流的1/n倍的關(guān)系。

在任意時刻，根據(jù)等效的含義，等效電感的儲能必然與上述儲能相等，即

(11)

由上式得到的等效電感Leq與式(2)相同；n→∞時又與式(3)相同。

這種方法的特點是，把等效建立在能量層面，能夠儲能是電感的重要屬性。

2.6 利用等效前后磁鏈相等原理

每個電感的總磁鏈包括自感磁鏈和互感磁鏈，例如第1個電感磁鏈為

ψ1=Li1+Mi2+Mi3+…+Min=Li1+M(i-i1)

(12)

由上式得到的等效電感Leq與式(2)相同；n→∞時又與式(3)相同。

注：因為各電感都是并聯(lián)的，具有相同的電壓，所以每個電感的總磁鏈及其變化率都相同，并且并聯(lián)后的總磁鏈就等于每個電感各自的自感磁鏈與互感磁鏈。

這種方法的要點是，

(1)把等效建立在磁鏈層面，存在磁鏈?zhǔn)请姼型姾蟮淖匀滑F(xiàn)象，即電生磁。

(2)注意：并聯(lián)后的總磁鏈等于每個電感的磁鏈，不等于每個電感磁鏈之和，而總能量則等于每個電感儲能之和。

2.7 將n個耦合支路等效成2個

首先將 個耦合支路分成兩部分，如圖4(a)、(b)所示。下面研究這兩部分之間的電壓電流關(guān)系。

(a)第一部分 (b)第二部分圖4 將n個耦合支路分成兩部分

根據(jù)耦合電感特性方程，圖4(a)、(b)兩部分電路的端口電壓分別為

(13)

(14)

式中等效自感

(15)

再根據(jù)圖1的連接關(guān)系，將分離的兩部分并聯(lián)起來，得到圖5所示的只含兩個支路的等效電路。由互感并聯(lián)計算等效電感的方法得

(16)

圖5 將n個耦合電感化為兩個耦合電感

這種方法的特點是，化n個支路并聯(lián)為2個支路并聯(lián)，然后可以直接使用2個并聯(lián)支路的等效電感計算公式。從一般意義上看，就是將要求解決的問題化成兩個已經(jīng)解決的問題，進(jìn)而利用已有方法解決新問題。說明了知識之間的鏈接關(guān)系。

2.8 將無窮個耦合支路等效成2個

去掉圖1左邊第一個電感后，將其余部分等效為與第一個電感存在耦合關(guān)系的電感，如圖6(a)、(b)所示。因為第一個電感中的互感電壓為

所以，第一個電感和其余部分的等效電感之間的互感系數(shù)仍為M。

當(dāng)并聯(lián)支路的個數(shù)n→∞時，除第一個電感以外的其余部分的等效電感顯然也是Leq，因為在無窮多個支路并聯(lián)時，增加一個或減少一個并聯(lián)支路，對總的等效電感沒有影響。

(17)

解得Leq=M。

這種方法只能用來計算無窮多個耦合電感并聯(lián)后的等效電感。

(a)無窮多耦會支路

(b)二個耦合支路

2.9 利用數(shù)學(xué)歸納法原理

要點：每次只計算兩個耦合支路的等效電感。

(1)首先考慮只有兩個電感并聯(lián)的情況，如圖題7(a)所示，等效電感為

(18)

(2)在上兩個并聯(lián)的基礎(chǔ)上再并聯(lián)第3個支路，并且二者之間存在互感系數(shù)M，如圖題7(b)所示，等效電感為

(19)

(3)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法思想，設(shè)k個耦合電感并聯(lián)時的等效電感為

(20)

下面將第k+1個電感與前k個耦合電感的等效電感相并聯(lián)，并且二者之間存在互感系數(shù)M，得到圖題7(c)所示的含兩個耦合電感的電路，經(jīng)計算等效電感為(陳希有等文)

(a) (b)

(c)圖7 使用數(shù)學(xué)歸納法的過程

(21)

上式符合式(20)按照k的遞推規(guī)律。所以，當(dāng)有n

個耦合電感并聯(lián)時，等效電感如式(2)所示，n→∞時又與式(3)相同。

這種方法需要根據(jù)電路的重復(fù)性和一致性，預(yù)見到使用數(shù)學(xué)歸納法是可行的。

3 結(jié)語

一道習(xí)題之所以能夠產(chǎn)生這么多種分析方法，除了與習(xí)題本身的趣味性和學(xué)生的獨立思考有關(guān)外，也與找不到公開出版的習(xí)題解答有關(guān)。因此，任課教師在給學(xué)生布置作業(yè)時，適當(dāng)?shù)卦O(shè)計一些在公開出版物中不易找到解答的題目，這對了解學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，提高學(xué)生的思考能力是有益的。

[1] 陳希有. 電路理論教程. 北京：高等教育出版社，2013.8.

[2] 捷米爾強(俄)等編著，趙偉，肖曦，王玉祥等譯. 電工理論基礎(chǔ)(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社，2011.1.

Multi Approaches to Find Equivalent Inductance for Infinite Coupling Inductors

CHEN Xi-you, LI Guan-lin, ZHOU Hui-wei

(FacultyofElectronicInformationandElectricalEngineering,DalianUniversityofTechnology,Dalian116023,China)

Multi approaches to solve an exercise have been presented in this paper, which requires calculating the equivalent inductance of infinite parallel coupling branches. Some of the approaches are summarized from the homework of the students. Because of its characteristics of abstraction and interest, this exercise can help students to improve learning activities, know about the meaning of equivalent inductance deeply, test and improve the thinking capacity, and also can give some references to the teachers.

electric circuit theory; coupling inductor; equivalent inductance; multi approaches

2015-09-08;

2015-11-10

陳希有(1962-)，男，博士，教授，主要從事電路和電工技術(shù)教學(xué)以及電力電子技術(shù)的研究，E-mail:chenxy@dlut.edu.cn

TM13

A

1008-0686(2016)03-0077-05