劉雪琴, 武彩萍, 楊曉晨

(太原理工大學 數(shù)學學院，山西 太原 030024)

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嚴格偏好關系T-S-半傳遞性相關性質的研究*

劉雪琴, 武彩萍, 楊曉晨

(太原理工大學 數(shù)學學院，山西 太原 030024)

摘要:基于可加的φ-模糊偏好結構，研究了嚴格偏好關系的T-S-半傳遞性相關性質.首先，給出了嚴格偏好關系的T-S-半傳遞性的一個充分條件； 其次，得出了P°TP°TI?P與(P°TP)∩T(I°TI)=?之間的一個等價命題； 最后，研究了(P°TP)∩T(I°TI)=?與S2條件之間的等價性.這些結論豐富了模糊偏好結構的研究.

關鍵詞:可加的φ-模糊偏好結構； T-S-半傳遞性； 嚴格偏好關系； 關于Nφ旋轉不變的t-模； 無零因子t-模

0引言

1971年，Chipman[1]首次提出“半傳遞性”概念. 關系Q滿足半傳遞性是指對于論域A中的備擇對象a,b,c,d，若a與b、b與c均具有關系Q，則或者a與d具有關系Q，或者d與c具有關系Q.關系的半傳遞性在生活生產中應用廣泛，因此半傳遞性的研究是眾多研究者關心的問題之一[2-5].由于實際問題的復雜性及人的主觀性，精確的數(shù)據(jù)往往很難獲取.1994年，F(xiàn)odor[6]定義了模糊關系的T-S-半傳遞性.

模糊關系性質的研究對模糊偏好結構的研究至關重要.1978年，Orlovsky[7]已提出了模糊偏好構模理論.1997年，De Baets等[8]給出了可加的-模糊偏好結構的定義.由于該結構具有良好的性質，因而眾多學者在該結構上進行了研究[9-11]. 2011年，Diaz等[11]在該模糊偏好結構下，首次研究了嚴格偏好關系的半傳遞性，在T為無零因子t-模下得到了一些結論. 2015年，劉等[12]在旋轉不變的模下給出了嚴格偏好關系T-S-半傳遞性的必要條件. 鑒于此，本文給出嚴格偏好關系T-S-半傳遞性的充分條件，并進一步研究了嚴格偏好關系T-S-半傳遞性的相關性質.

1預備知識

首先給出自同構、t-模、t-余模、 非等模糊邏輯聯(lián)結運算的定義.

定義 1[13]設φ：[a,b]→[a,b]是嚴格增的連續(xù)函數(shù)，若其滿足φ(a)=a,φ(b)=b，則稱φ為[a,b]上的一個自同構.

定義 2[14]設T：[0,1]×[0,1]→[0,1]，若其滿足：

1) 對稱性： ?x,y∈[0,1],T(x,y)=T(y,x)；

2) 單調性： ?x1≤x2,y1≤y2?T(x1,y1)≤T(x2,y2)；

3) 結合律： ?x,y,z∈[0,1],T(T(x,y),z)=T(x,T(y,z))；

4) 邊界條件： ?x∈[0,1],T(1,x)=x，則稱T是一個t-模.

設S：[0,1]×[0,1]→[0,1]滿足對稱性、 單調性、 結合律且滿足： 4′) ?x∈[0,1],S(0,x)=x，則稱S是一個t-余模.

常見的t-模和t-余模有：

取小t-模：T(x,y)=x∧y，該t-模記為min或TM. 對?T,TM≥T；

取大t-余模：S(x,y)=x∨y，該t-余模記為max.

Lukasiewiczt-模：T(x,y)=max(0,x+y-1)，該t-模記為W；

Lukasiewiczt-余模：S(x,y)=min(1,x+y)，該t-余模記為W′；

定義 3[13]設n：[0,1]→[0,1]，若n單調減且滿足n(0)=1,n(1)=0，則稱n是一個模糊非，簡稱為非. 若n嚴格減且連續(xù)，則稱n是一個嚴格非. 若一個嚴格非n滿足復原律： ?x∈[0,1],n(n(x))=x，則稱n為一個強非.

例如：N(x)=1-x是強非，我們稱之為標準非.

命題 1[13]N:[0,1]→[0,1]為強非，當且僅當存在[0,1]上的自同構φ使得

這里，用Nφ表示由φ生成的強非.

定義 4[13]設T,S分別為t-模和t-余模，n為強非，若T與S滿足n-De Morgan律：n(S(x,y))=T(n(x),n(y))或n(T(x,y))=S(n(x),n(y))，則稱(T,S,n)是De Morgan三元組.

定義 5[13-14]設T是一個t-模，

1) 若T對每個變量均左連續(xù)，則稱T是左連續(xù)的；

2) 若?x,y∈(0,1),T(x,y)≠0，則稱T是無零因子t-模；

3) 若?x,y,z∈[0,1]，T(x,y)≤z?T(x,Nφ(z))≤Nφ(y)，則稱T是關于Nφ旋轉不變的t-模.

如TM是無零因子t-模，W是關于標準非N旋轉不變的左連續(xù)的t-模.

其次介紹模糊關系的有關定義以及相關結論.

定義 7[14]設T,S分別為t-模和t-余模，Q是A上的模糊關系.

1) 若?a,b,c,d∈A,T(Q(a,b),Q(b,c))≤S(Q(a,d),Q(d,c))，則稱Q滿足T-S-半傳遞性.

2) 若?a,b,c∈A,T(Q(a,b),Q(b,c))≤Q(a,c)，則稱Q滿足T-傳遞性.

3) 若?a,b∈A,T(Q(a,b),Q(b,a))=0，則稱Q滿足T-非對稱.

特殊地，?a,b∈A, Q(a,b)=0或Q(b,a)=0, 則稱Q非對稱.

4) 若?a,b∈A, S(Q(a,b),Q(b,a))=1, 則稱Q滿足S-強完全.

特殊地，?a,b∈A, Q(a,b)=1或Q(b,a)=1，則稱Q強完全.

引理 1[10]若T關于Nφ滿足旋轉不變性，則?x,y∈[0,1]，有

引理 2[15]若T關于Nφ旋轉不變，則T是左連續(xù)的.

引理 3[14]設Q1,Q2,Q3是A上的模糊關系，若T左連續(xù)，則

引理 4[11]設Q是A上的模糊關系，T為無零因子t-模，若Q滿足T-傳遞，則Q非對稱.

引理 5[12]若T左連續(xù)，I是任意指標集，則?ai∈[0,1](i∈I)，有

注 1若T左連續(xù)，Q,Q1,Q2,Q3是A上模糊關系，則

2T-S-半傳遞性相關性質研究

本節(jié)首先介紹可加的φ-模糊偏好結構的定義以及文獻中的相關結論，然后進一步討論嚴格偏好關系的T-S-半傳遞性的相關性質.

下面給出了可加的φ-模糊偏好結構的定義及性質.

定義 8[8]設P,I,J是A上的模糊關系，若

1)I是自反，對稱的；

2)

(1)

命題 2[16](P,I,J)是一個A上可加的φ-模糊偏好結構，則下列結論成立：

1)R強完全?J=?且P非對稱.

2)J=?.

許多文獻在可加φ-模糊偏好結構下研究了嚴格偏好關系的T-S-半傳遞性，并得出一些結論.

命題 3[11]設(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結構，若P滿足P°TP°TI?P或I°TP°TP?P或P°TI°TP?P，則P是T-傳遞的.

命題 4[12]設(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結構，R強完全，T關于Nφ旋轉不變，則下列說法等價：

1)P滿足T-S-半傳遞；

2)R°TP°TP?P；

3)P°TP°TR?P.

命題 5[12]設(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結構，(T,S,Nφ)是De-Morgan三元組，且T關于Nφ旋轉不變，考慮下列陳述：

1)P滿足T-S-半傳遞性；

2)P°TP°TI?P；

3)I°TP°TP?P；

4)P°TP∩TI°TI=?；

5)S2條件： ?a,b,c,d∈A，T(T(P(a,b),P(b,c)),I(b,d))≤S(Nφ(I(a,d)),Nφ(I(d,c))), 則1)?2)?4)?5)； 1)?3)?4)?5).

注 3文獻[12]中已舉出反例說明命題5中結論不可逆.

由命題5，注3知，在普通情況下嚴格偏好關系的半傳遞性一些等價結論在模糊情況下已不再不成立.因此下面對嚴格偏好關系T-S-半傳遞性相關性質作進一步研究.

首先，給出了嚴格偏好關系的T-S-半傳遞性的一個充分條件.

命題 6設(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結構，R強完全，(T,S,Nφ)是De-Morgan三元組，T關于Nφ旋轉不變，若P°T(P°TMI)?P，則P滿足T-S-半傳遞性.

證明T關于Nφ旋轉不變且R強完全，故由命題4只需證P°TP°TR?P.

由引理2及注1知： 要證P°TP°TR?P，即證?a,b,c,d∈A,

(2)

由P°T(P°TMI)?P，即對a,b,c,d∈A有

(3)

下面分1)和2)兩種情況進行分類討論.

1) 當I(c,d)≥P(b,c)，則TM(P(b,c)

2) 當

(4)

則TM(P(b,c),I(c,d)=I(c,d), 式(3)即為

(5)

由R強完全得R(c,d)=1或R(d,c)=1.

① 若R(d,c)=1，則由命題2知：P(c,d)=0，所以I(c,d)=R(c,d)， 則又由式(5)知

② 若R(c,d)=1，則由命題2知:P(d,c)=0，故

(6)

故要證式(2)即證

(7)

若P(a,b)=0或P(b,c)=0，則顯然式(7)成立. 下面設P(a,b)>0且P(b,c)>0，則由命題 2(1) 以及Q強完全知P非對稱， 所以，P(c,b)=0且P(b,a)=0. 由P°T(P°TMI)?P知a,b,c,d∈A，

(8)

下面分a)和b)兩種情況進行分類討論.

a) 若P(c,d)≤I(d,a)，此時TM(P(c,d),I(d,a))=P(c,d)，式(8)即為T(P(b,c),P(c,d))≤0. 由T關于Nφ旋轉不變得T(P(b,c),Nφ(0))≤Nφ(P(c,d))，即P(b,c)≤Nφ(P(c,d))=R(d,c). 又由式(6)知：P(b,c)≤I(c,d)，與式(4)矛盾，故這種情況不存在.

b) 若P(c,d)>I(d,a)，則TM(P(c,d),I(d,a))=I(d,a). 故式(8)即為T(P(b,c),I(d,a))=0，由T關于Nφ旋轉不變得：T(P(b,c),Nφ(0))=Nφ(I(d,a))，即P(b,c)≤Nφ(I(d,a))=φ-1(1-φ(I(d,a))). 又由式(1)知

(9)

由R強完全知R(a,d)=1或R(d,a)=1.

b1) 若R(a,d)=1，則由命題2知：P(d,a)=0，式(9)即為φ(P(b,c))≤φ(P(a,d))，故

(10)

由于TM是最大的t-模及P°T(P°TMI)?P，故對于任意的關于Nφ旋轉不變的t-模均有

由引理2，引理3知：P°TP°TI=P°T(P°TI)?P.

由命題3知P滿足T-傳遞性，故對a,b,c∈A,T(P(a,b),P(b,c))≤P(b,c). 又由式(10)知：T(P(a,b),P(b,c))≤P(b,c)≤P(a,d)，即式 (7)成立.

b2) 若R(d,a)=1，則由命題2知：P(a,d)=0.

式(9)即為φ(P(b,c))≤φ(P(d,a))，故

(11)

(反證)若式(7)不成立，即T(P(a,b),P(b,c))>P(a,d)=0, 則由P滿足T-傳遞性知： 對a,b,d∈A,P(d,b)≥T(P(d,a),P(a,b)), 又由式(11) 得，P(d,b)≥T(P(d,a),P(a,b))≥T(P(b,c),P(a,b))>P(a,d)=0, 即

(12)

又由式(4)且R(c,d)=1及φ(R(c,d))=φ(P(c,d))+φ(I(c,d)) 知

故由引理1及P的T-傳遞性知b,c,d∈A,P(c,d)≥T(P(b,c),P(c,d))>0.

故P(b,d)>0.

由P的非對稱性知P(d,b)=0與式(12)矛盾. 所以假設不成立，即式(7)成立.

綜上：P滿足T-S-半傳遞性.

下面我們通過兩個例子來說明條件P°T(P°TMI)?P確實是P滿足T-S-半傳遞性的充分條件，但不是必要條件.

例 1設A={a,b,c,d}，定義A上的模糊關系P,I,J為

當φ(x)=x時，容易驗證(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結構，且R強完全. 令T=W，顯而易見，

且

由命題4知：P滿足T-S-半傳遞性.

例1說明若條件P°T(P°TMI)?P成立，則P滿足T-S-半傳遞性.

例 2設A={a,b,c,d}，定義A上的模糊關系P,I,J為

當φ(x)=x時，容易驗證(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結構，且R強完全.

令T=W，顯而易見，

然而，

由命題4知：P滿足T-S-半傳遞性.

例2說明即使不滿足條件P°T(P°TMI)?P，P也有可能滿足T-S-半傳遞性.

其次，研究P°TP°TI?P與P°TP∩TI°TI=?之間的等價性.

命題 7設(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結構，R強完全，T關于Nφ旋轉不變，T1為無零因子t-模，若P滿足T-傳遞且P°T1P∩T1I°T1I=?，則P°TP°TI?P.

證明由引理2及注1知： 要證P°TP°TI?P，即證

(13)

1) 若P(a,b)=0或P(b,c)=0，則T(T(P(a,b),P(b,c)),I(c,d))=0≤P(a,d)，即式(13)成立.

2) 若P(a,b)>0且P(b,c)>0，所以T1(P(a,b),P(b,c))>0.由P°T1P∩T1I°T1I=?，即對a,b,c,d∈A有

又T1(P(a,b),P(b,c))>0，所以T1(I(a,d),I(d,c))=0，所以I(a,d)=0或I(d,c)=0.

a) 若I(d,c)=0，由I的自反性得I=(c,d)=0. 所以T(T(P(a,b),P(b,c),I(c,d))=0≤P(a,d)，即式(13)成立.

b) 若I(a,d)=0，由命題2知：P非對稱. 所以P(a,d)=0或P(d,a)=0. 若P(d,a)=0，則又由式(1)知：P(a,d)=1，則顯然T(T(P(a,b),P(b,c)),I(c,d))≤1=P(a,d)，即式(13)成立. 若P(a,d)=0，則又由式(1)知：P(d,a)=1，由P滿足T-傳遞得：P(d,c)≥T(P(d,a),P(a,c))=T(1,P(a,c))=P(a,c)， 即

(14)

又由式(1)知： 對c,d∈A,φ(P(d,c))+φ(I(c,d)))≤1，即φ(P(d,c))≤1-φ(I(c,d)). 由φ是[0,1]上的自同構得：P(d,c)≤φ-1(1-φ(I(c,d)))=Nφ(I(c,d)), 即T(P(d,c),1)≤Nφ(I(c,d)). 故由T關于Nφ旋轉不變得

(15)

由式(14)和式(15)知

故式(13)成立.

由命題3，命題5及命題7易得下面的定理.

定理 1設(P,I,J)是A上可加的φ-模糊偏好結構，R強完全，T關于Nφ旋轉不變，T1為無零因子t-模，且T1≤T，則下列說法等價：

1)P滿足T-傳遞且P°T1P∩T1I°T1I=?，

2)P°TP°TI?P.

最后，研究S2條件與P°TP∩TI°TI=?之間的等價性.

命題 8設(P,I)是A上可加的φ-模糊偏好結構，T1為無零因子t-模，P°T1I°T1P?P，若T關于Nφ旋轉不變且S2條件成立，則P°TP∩TI°TI=?.

證明由引理2及注1知： 要證P°TP∩TI°TI=?，即證

(16)

1) 若P(a,b)=0或P(b,c)=0，則T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),I(d,c)))=0，即式(16)成立.

2) 若P(a,b)>0且P(b,c)>0，則T1(P(a,b),P(b,c))>0.

由P°T1I°T1P?P及命題3知：P是T1-傳遞.

對a,b,c∈A,P(a,c)≥T1(P(a,b),P(b,c))>0，由引理4知：P非對稱，故

(17)

由P°T1I°T1P?P即對a,b,d∈A有0=P(a,a)≥T1(T1(P(a,b),I(b,d)),P(d,a)). 因P(a,b)>0且P(b,c)>0知P(a,c)=1. 又由式(1)及式(17)知

(18)

由P°T1I°T1P?P即對a,b,d∈A有0=P(a,a)≥T1(T1(P(a,b),I(b,d),P(d,a)). 因P(a,b)>0，所以I(b,d)=0或P(b,d)=0.

① 當I(b,d)=0，由P非對稱及式(1)得P(b,d)=1 或P(d,b)=1.

A) 若P(b,d)=1，由P是T1-傳遞得：P(a,b)=T1(P(a,b),P(b,d))≤P(a,d)，即

(19)

又由式(1)知:φ(P(a,d))+φ(I(a,d)))≤1，即P(a,d)=T(P(a,d),1)≤Nφ(I(a,d)). 故由T關于Nφ旋轉不變得

(20)

由式(19)，式(20)及t-模的結合對稱性有

故式(16)成立.

B) 若P(d,b)=1，由P°T1I°T1P?P即對b,c,d∈A有0=P(b,b)≥T1(T1(P(b,c),I(c,d)),P(d,b)).

由P(d,b)=1及P(b,c)>0得I(c,d)=0.

又由I的對稱性得I(d,c)=0.

故T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),I(d,c)))=T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),0))=0.

故式(16)成立.

② 當P(b,d)=0，由P°T1I°T1P?P即對a,c,d∈A有0=P(c,c)≥T1(T1(P(c,d),I(d,a)),P(a,c)). 又由式(18)得：I(a,d)=0或P(c,d)=0.

A) 若I(a,d)=0，T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),I(d,c)))=T(T(P(a,b),P(b,c)),T(0,I(d,c)))=0. 即式(16)成立.

B) 若P(c,d)=0，由P°T1I°T1P?P即對a,b,d∈A, 0=P(b,b)=T1(T1(P(b,d),I(d,a)),P(a,b)). 由P(a,b)>0得I(d,a)=0或P(b,d)=0.

a) 若I(d,a)=0，由I的對稱性I(a,d)=0.

故T(T(P(a,b),P(b,c)),T(I(a,d),I(d,c)))=T(T(P(a,b),P(b,c)),T(0,I(d,c)))=0.

故式(16)成立.

b) 若

(21)

由P°T1I°T1P?P即對b,c,d∈A有P(b,b)≥T1(T1(P(b,c),I(c,d)),P(d,b)).又P(b,c)>0 得I(c,d)=0或P(d,b)=0.

b1) 若I(c,d)=0，由I的對稱性I(d,c)=0. 得

(22)

即式(16)成立.

b2) 若P(d,b)=0，則由式(1)及式(21)知：I(b,d)=1，S2條件成立得

由T關于Nφ旋轉不變得

即式(16)成立.

由命題5和命題8易得下面的定理.

定理 2設(P,I)是A上可加的φ-模糊偏好結構，T1為無零因子t-模，P°T1I°T1P?P，若T關于Nφ滿足旋轉不變性，則下列說法等價：

1)P°TP∩TI°TI=?，

2)S2條件成立.

3結束語

我們知道，在普通情況下，嚴格偏好關系的半傳遞性、P°P°I?P以及(P°P)∩(I°I)=?是等價的，但是由命題5可以看出，在模糊情況下這些等價性已不再成立.其中，嚴格偏好關系的T-S-半傳遞性強于P°TP°TI∩P，P°TP°TI∩P強于(P°TP)∩T(I°TI)=?， (P°TP)∩T(I°TI)=?強于S2條件.有鑒于此，本文首先給出嚴格偏好關系的T-S-半傳遞性的一個充分條件(命題6)； 其次對P°TP°TI?P進行了研究，給出了它的一個充分條件(命題7)，并且得到了它與(P°TP)∩T(I°TI)=?之間的關系(命題8，定理1)； 最后研究了(P°TP)∩T(I°TI)=?與S2條件之間的等價性(定理2). 從本文的研究中得到P°T(P°TMI)?P是嚴格偏好關系的T-S-半傳遞性的一個充分條件，那么，I°TMP°TP?P是否也是嚴格偏好關系的T-S-半傳遞性的充分條件還有待進一步研究.

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Study on theT-S-Semitransitivity Properties of Strict Preference Relation

LIU Xue-qin, WU Cai-ping,YANG Xiao-chen

(College of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Abstract:Based on additive φ-fuzzy preference structures, the T-S-Semi-transitivity properties of the strict preference relation was studied. Firstly, a sufficient condition of the T-S-Semi-transitivity of the strict preference relation was given. Secondly, an equivalent conclusion between P°TP°TI?P and (P°TP)∩T(I°TI)=? was presented. Finally, the equivalence between (P°TP)∩T(I°TI)=? and the condition S2 was investigated. The results enrich the research of the fuzzy preference structures.

Key words:additive φ-fuzzy preference structure; T-S-Semitransitivity; strict preference relation; rotation invariance t-norm; t-norm without zero divisor

文章編號:1673-3193(2016)02-0097-07

*收稿日期:2015-07-15

基金項目：山西省自然科學基金資助項目(2013011004-1)； 山西省留學回國人員科研資助項目(2013052)； 山西省研究生教育改革研究課題(20142028)

作者簡介：劉雪琴(1989-)，女，碩士生，主要從事模糊偏好研究.通信作者： 武彩萍(1967-)，女，副教授，碩士，主要從事模糊決策的研究.

中圖分類號:O159

文獻標識碼:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.02.001