回歸模型中異方差性的檢驗(yàn)與消除研究

韓前菊

摘要：經(jīng)典線性回歸模型的一個(gè)重要假設(shè)就是回歸方程的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，具有相同的方差，也稱同方差性。但在大多數(shù)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，這種假設(shè)不一定成立，有時(shí)擾動(dòng)項(xiàng)的方差隨觀察值的不同而變化，這就是異方差性。在經(jīng)濟(jì)研究中，異方差性的存在使得回歸模型失效。本文以SPSS為分析工具，來(lái)研究回歸模型中異方差性檢驗(yàn)和消除。

關(guān)鍵詞：異方差性 SPSS分析工具 異方差檢驗(yàn)和消除一、引言

回歸分析是處理隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種統(tǒng)計(jì)方法。即研究一個(gè)被解釋變量與一個(gè)或多個(gè)解釋變量之間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系。

異方差性會(huì)導(dǎo)致嚴(yán)重的后果，所以對(duì)異方差性的檢驗(yàn)無(wú)疑是非常重要的。對(duì)異方差檢驗(yàn)的方法有很多，如殘差圖分析法、等級(jí)相關(guān)系數(shù)法、格萊斯?fàn)枡z驗(yàn)等等，本文采用殘差圖和等級(jí)相關(guān)系數(shù)法進(jìn)行異方差性檢驗(yàn)。

二、檢驗(yàn)方法

（一）散點(diǎn)圖檢驗(yàn)法

1、散點(diǎn)圖檢驗(yàn)法以殘差e為縱坐標(biāo)，以自變量為橫坐標(biāo)畫散點(diǎn)圖。其中殘差e是指觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的差，即實(shí)際觀察值與回歸估計(jì)值的差。但需要指出的是，散點(diǎn)圖檢驗(yàn)法只能粗略、簡(jiǎn)單地判斷異方差的存在與否，要想準(zhǔn)確判斷異方差是否存在，必須通過(guò)下面即將介紹到的等級(jí)相關(guān)系數(shù)法。

2、判定

當(dāng)回歸模型滿足所有假定時(shí)，殘差圖上的幾個(gè)點(diǎn)的散布應(yīng)是隨機(jī)的，無(wú)任何規(guī)律。此時(shí)隨機(jī)誤差項(xiàng)為齊性；如果回歸模型存在異方差，殘差圖上的點(diǎn)的散布呈現(xiàn)出相應(yīng)的趨勢(shì)，e值會(huì)隨自變量值增大而增大或減小，有明顯的規(guī)律，這時(shí)可以認(rèn)為模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)為非齊性。

（二）等級(jí)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法

Y關(guān)于X的回歸方程為：

等級(jí)相關(guān)系數(shù)：r|e|·x=1-6∑ni=1d2in（n2-1），其中，n為樣本容量，di為對(duì)應(yīng)于xi和|ei|的等級(jí)的差數(shù)。對(duì)總體的等級(jí)相關(guān)系數(shù)ρ|e|·x進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)：

1、假設(shè)：H0：ρ|e|·x=0H1：ρ|e|·x≠0

當(dāng)n>8時(shí)，構(gòu)造t檢測(cè)模型。

2、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

t=re·xn-21-r2e·x～t（n-2）

3、給定顯著性水平α

4、確定臨界值：tα/2（n-2）

5、判定：

三、異方差消除方法

（一）加權(quán)最小二乘法

以一元線性回歸方程為例，yi=β0+β1xi+εi（1）

如已知εi的方差與解釋變量的某種函數(shù)成比例 ，即：Var（εi）=σ2εi=f（xi）σ2，其中，σ2是一個(gè)有限常數(shù)，若f（xi）=1時(shí)，εi具有同方差Var（εi）=σ2，若f（xi）≠1，則σ2=Var（εi）f（xi），其中f（xi）為大于0且不等于的值。對(duì)于上述模型，若滿足E（εi）=0，Var（εi）=σ2εi，則該回歸方程存在異方差?，F(xiàn)用1f（xi）分別乘以該回歸方程，得到：

需要指出的是，加權(quán)最小二乘法可以減少一部分異方差的影響，有時(shí)候不能完全消除異方差，要和其他方法結(jié)合使用。

（二）方差穩(wěn)定化變換

常見(jiàn)到方差穩(wěn)定化變換有如下幾種：

（1）如果σ2i與E（Yi）存在一定的比例關(guān)系，使用y′=y

（2）如果σi與E（yi）存在一定的比例關(guān)系，使用y′=logy

（3）如果σi與E（yi）存在一定的比例關(guān)系，使用y′=1y

如選用了某種變換，得到y(tǒng)′，就可用OLSE（最小二乘估計(jì)）建立y′x與x的回歸方程。

參考文獻(xiàn)：

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[3]《METLAB6刀與科學(xué)計(jì)算》，王沫然， 電子工業(yè)出版社，2001年