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      基于思維導圖的線性代數復習策略

      2016-06-18 19:48:45陳曉艷
      考試周刊 2016年42期
      關鍵詞:線性代數引言思維導圖

      陳曉艷

      摘 要: 線性代數是碩士研究生入學考試《高等數學》科目的必考內容之一,概念抽象,性質,結論眾多,考生在復習過程中不易把握,本文以思維導圖為工具,從線性代數的核心概念——矩陣的可交換性入手,分析相關的考研試題,繪制出導圖,得到本類問題的本質特征,進而指出思維導圖對于學生形成自己的學習模塊有輔助作用。

      關鍵詞: 思維導圖 線性代數 可交換矩陣一、引言

      思維導圖(Mind Mapping)是英國Tony Buzan在20世記70年代初期所創(chuàng)的一種使人類更有效地利用大腦的筆記方法,是一種將放射性思考具體化的方法,它能幫助我們進行思考、理清思路。在我們不清楚問題、概念之間的關系時,從其中的一個問題或概念入手,利用思維導圖可以把頭腦中的信息聯系起來,形成可視化的圖表,從而使問題空間呈現可視化效果,以便深入了解這個問題,同時也加深對問題空間的認識[1][2]。

      線性代數是碩士研究生入學考試高等數學科目的必考內容之一,在復習過程中,學生時常感到概念多、性質多,同時在做題的時候感到似曾相識卻無從下筆。其實線性代數是一個整體的體系,如果我們在復習的時候有意識引入思維導圖,就可以幫助我們把其中相關的模塊聯系起來,進而找到它們的關系,從整體上把握它們。

      二、實例構建導圖

      下面我們就以矩陣中的一個小結論入手,看看思維導圖能幫助我們獲得什么。

      我們從矩陣中的可交換矩陣入手,之所以選擇它,是因為首先矩陣是線性代數里的一個核心概念,它和線性變換是不同形式下的同一事物,其次矩陣的乘積一般不滿足交換律,但是當它滿足交換律后,便帶來了很多好的結論,因此是考研題型的熱點之一。

      我們收集了涉及可交換矩陣的考研試題,部分有代表性的如下:

      (1)證明:設若n階方陣A、B滿足A+B=AB,則A、B可交換;(2)證明:若A,B為n階方陣,滿足AB=BA,則A,B有公共的特征向量;(3)證明:若A,B為n階方陣,滿足AB=BA,則存在n階可逆陣T使得:

      (4)若A,B為n階可對角化方陣(也可說它們的初等因子皆為一次的),滿足AB=BA,則存在n階可逆陣T使得A,B可同時對角化。(5)若A,B為n階實對稱陣,則AB=BA的充要條件是存在n階正交陣T使得A,B可同時對角化。

      我們在分析以上各題的解題思路基礎上,以mind manager為工具,最終繪制導圖如下:

      從下圖可以看出:

      1.作為第一優(yōu)先級級的是可交換矩陣和可交換線性變換,也即我們這里列出的所有有關可交換矩陣的概念和結論,在可交換線性變換中同樣適用。

      2.作為第二級的有概念、性質

      (1)概念

      A,B可交換的概念有兩個,第一個是顯概念,也即一般的教科書上給的定義,我們遇到的題目(我們把它歸到第三級)一般是已知一個低階矩陣,要求可與它相交換的矩陣的集合,其中需要用到矩陣乘積、相等,解線性方程組等知識點。

      第二個概念是一類考研題,我們把它稱為可交換矩陣的隱概念,也即當滿足A±B=AB時,有AB=BA。要證明這個結論,需要用到可逆矩陣的定義(即AB=BA=I)。一般來說,考研試題中會把它作為一個條件,加入到一個大題中,其本質是A,B滿足可交換性。

      (2)性質:當A,B滿足可交換時,A,B中至少有一個相同的特征向量。

      這是一個關鍵性質,需要用到特征子空間和不變子空間的概念,也即A的屬于某個特征根的特征子空間V是B的不變子空間;

      這個性質可得到好的結論:存在可逆矩陣P,使得均為上(下)三角陣。其證明思路是從的這個特征子空間的基入手,構建的基,利用數學歸納法可以證明。

      3.考研熱點

      考研試題中經常出現的有關可交換矩陣的一類較難的試題是在第4級和第5級,但通過思維導圖會發(fā)現,它們的條件、形式雖然不同,但均需要利用A,B有相同的特征向量這一條件,但性質中給出的是當A,B滿足可交換時,A,B中至少有一個相同的特征向量,為了得到有完全相同的特征向量,需要加強條件:“A可對角化”。也即:

      當AB=BA,并滿足A可對角化時,B也可對角化,且A,B有相同的特征向量。這里需要用到的結論有:(1)當A為對角陣,且AB=BA時,B也為對角陣;(2) 存在可逆陣P,使P為對角陣。

      (1)當有個互異的特征根時(有的考研題在這里也會設個套,即給出關于的特征多項式的根的特征: (f(λ),f′(λ)=1),顯然A可對角化,其結論有三個:

      ①A,B有相同的特征向量(其作成的列向量組即為矩陣P);

      ②B也可對角化;

      ③B可表示為的多項式形式。

      結論1、2 是A可對角化的兩個結論,第三個需要用到待定系數法,設出形式多項式,通過矩陣的相等,方程組的解結構,行列式的性質等證明。

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