曾　鵬

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“數(shù)與形”教學(xué)實踐與反思

曾鵬

“數(shù)與形”是人教版六年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，本單元“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容承載了數(shù)形結(jié)合、極限思想的教學(xué)，以兩道習(xí)題為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的滲透和教學(xué)。例1側(cè)重在找規(guī)律的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生歸納，結(jié)合正方形，初步體會數(shù)形結(jié)合的好處；例2側(cè)重于通過畫圖來體會極限思想。依據(jù)教材的安排，教學(xué)都是從“以形助數(shù)”的角度展開的。那么，如何在教學(xué)中讓學(xué)生理解“以數(shù)解形”，即從數(shù)的角度去揭示形的規(guī)律以及數(shù)形結(jié)合的好處呢？在一個課時中要滲透數(shù)形結(jié)合、極限等數(shù)學(xué)思想，會不會有“夾生飯”的現(xiàn)象出現(xiàn)？

帶著這樣的思考，我在教學(xué)中選擇例1進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計，并從“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形結(jié)合”三個方面進(jìn)行了教學(xué)實踐，收到了較好的效果。

教學(xué)過程：

一、談話導(dǎo)入，初步感受數(shù)與形

師：看到“數(shù)與形”這一課題，你有什么想說的嗎？

生1：數(shù)學(xué)和形狀有什么關(guān)系嗎？

生2：是不是數(shù)學(xué)里面的形狀問題？

生3：是不是討論數(shù)學(xué)和形狀的問題？

……

師：下面讓我們帶著自己的思考和好奇一起走進(jìn)今天的數(shù)學(xué)課堂。

二、以核心問題引領(lǐng)，以形助數(shù)

師：從1開始，連續(xù)n個奇數(shù)相加的和是多少？（學(xué)生發(fā)出哇的聲音）怎么會有這么大的反應(yīng)？

生4：老師，有n個奇數(shù)，怎么算得出來。

師：你說的好像有道理。我們不妨換個角度思考，如果你來做，你希望n是幾？

生5：我希望n是1，但算不出來。

生6：我希望n是2，1+3=4。

生7：我希望n是3，1+3+5=9。

生8：我希望n是4，1+3+5+7=16。

……

師：很好，我們先不急著往下算，看看這幾個式子，你能發(fā)現(xiàn)點什么嗎？

生9：我發(fā)現(xiàn)它們的和分別是1的平方、2的平方、3的平方、4的平方……

生10：我發(fā)現(xiàn)了每個式子的前面有幾個連續(xù)的奇數(shù)，它們的和就是幾的平方。

生11：我猜測：從1開始，連續(xù)n個奇數(shù)相加的和就是n的平方。

生12：老師，我還有一點疑問，前面這幾個式子是有這樣的規(guī)律，有沒有更好的辦法讓我們弄清楚n為更大的數(shù)的時候，也是這樣的規(guī)律？

師：你的問題太好了，你的意思是說有沒有更加直觀、清晰、明了的方法讓我們看得更清楚，理解得更透徹，從1開始，連續(xù)n個奇數(shù)相加的和到底是多少？請同學(xué)們在抽屜里拿出正方形的紙片擺一擺，看你有什么發(fā)現(xiàn)。（學(xué)生動手操作，然后展示操作的結(jié)果）

生13：我們小組拼成了長方形，沒有什么發(fā)現(xiàn)。

生14：我們小組拼成的是正方形，發(fā)現(xiàn)了：當(dāng)n為1時，就是1個正方形；當(dāng)n為2時，就是4個正方形；當(dāng)n為3時，就是9個正方形；當(dāng)n為4時，就是16個正方形；當(dāng)n為5時，就是25個正方形。

生15：我們小組發(fā)現(xiàn)拼成圖形的正方形總個數(shù)就是邊長的個數(shù)乘邊長的個數(shù)。

生16：我們發(fā)現(xiàn)：有幾個奇數(shù)，拼成的大正方形的一邊就有幾個正方形，所以就是奇數(shù)的個數(shù)與個數(shù)相乘。

生17：我看明白了，n是1，1×1=1；n是2，1+3=2×2=4；n是3，1+3+5=3×3=9；n是4，1+3+5+7=4×4= 16；n是5，1+3+5+7+9=5×5=25。

師：同學(xué)們通過動手操作，確實發(fā)現(xiàn)了其中的奧妙。如果圖中再加一個數(shù)，和是多少？

生18：下一個數(shù)就是11，和是6×6=36。

師：如果再往下呢？一直加到第n個奇數(shù)呢？

生19：接著加下去，它們的和是7的平方，8的平方，……，一直到n的平方。

圖1

師：的確，從1開始，連續(xù)奇數(shù)相加的和就等于加數(shù)個數(shù)的平方。剛剛這道看似很難的題目，通過“以形助數(shù)”的方式，我們更加直觀地發(fā)現(xiàn)了其中的奧秘。

三、運用結(jié)論，深化理解

利用課件出示：1+3+5+7=（）21+3+5+7+9+11+13=（）2（）+（）+（）+…=92

生20：第一題是4的平方，從1開始，連續(xù)4個奇數(shù)的和是4的平方。

生21：從1開始，連續(xù)7個奇數(shù)的和是7的平方。

生22：根據(jù)從1開始，連續(xù)9個奇數(shù)的和是9的平方。那前面9個連續(xù)的奇數(shù)的和就是1+3+5+7+9+11+13+15+17的和。

師：看來同學(xué)們都掌握得很好，下面我們加大難度了。（課件出示）

1+3+5+7+5+3+1=（）

1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+ 1=（）

生23：第一題可以看作是4的平方與3的平方相加，和是16+9=25；第二題可以看作是7的平方與6的平方相加，和是49+36=85。

四、以數(shù)解形，拓展思維

師：請大家在小組內(nèi)討論一下，這道題應(yīng)該怎么做？（出示圖2）

圖2

生24：第一個圖有1個；第二個圖有1+2=3（個）；第三個圖有1+2+3=6（個）；第四個圖有1+2+3+4 =10（個）；按照這樣的規(guī)律，第10個圖形就是：1+2+3 +4+5+6+7+8+9+10=55（個）。

師：很好，大家通過思考，會用數(shù)來解形。我們再來算一算相鄰之和，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生25：1+3=4，就是2的平方；3+6=9，就是3的平方；6+10=16就是4的平方。我們可以把相鄰的兩個圖形擺在同一個圖中，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。

圖3

師：你們的思考很深入，確實是這樣。古希臘著名科學(xué)家畢達(dá)哥拉斯把像1，3，6，10，15，21…這樣可以排成三角形的數(shù)稱為三角形數(shù)（如圖2）；把像1，4，9，16…這樣的數(shù)稱為正方形數(shù)。我們發(fā)現(xiàn)，把兩個相鄰的三角形數(shù)相加就是一個正方形數(shù)（如圖3）?？磥?，當(dāng)“形”比較難發(fā)現(xiàn)其中的奧秘時，我們不妨從“數(shù)”的角度來考慮——以數(shù)解形。

五、回顧與反思，體會數(shù)形結(jié)合的好處

師：回顧一下，我們以前的學(xué)習(xí)中是否也用到過數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題？

生：分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法、圓的面積計算公式推導(dǎo)、畫線段圖分析題目的數(shù)量關(guān)系式……（師相機(jī)出示圖4）

圖4

師：那你覺得用數(shù)形結(jié)合的方法對你解決問題有什么幫助呢？

生26：能幫助我們更加直觀、清晰地理解題意，找到算法。

生27：能讓我們更清楚地看懂題中的奧秘，幫助我們解決問題。

生28：能幫助我們更好地思考，更快、更準(zhǔn)地發(fā)現(xiàn)隱藏的問題。

……

師：通過這堂課的學(xué)習(xí)以及剛剛的回顧，同學(xué)們進(jìn)一步體會了數(shù)形結(jié)合的好處。華羅庚先生寫過一首關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”的詩：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。其實，不僅數(shù)學(xué)題中，植物中也隱藏著很多“數(shù)與形”的知識，我們來欣賞下面的這些圖片（如圖5）。

圖5

師：欣賞完這些美麗的圖片，我們會發(fā)現(xiàn)其中有這樣一個現(xiàn)象，這些花的花瓣都是按照螺旋形狀排列的，且花瓣數(shù)是按：0，1，1，2，3，5，8…依次排列的。第三個數(shù)是前面兩個數(shù)之和（如圖6）。這就是非常有趣的斐波那契數(shù)列……

圖6

教學(xué)反思：

作為數(shù)學(xué)廣角的教學(xué)內(nèi)容，“數(shù)與形”的知識著重向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)中，如果以找規(guī)律的形式引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，再觀察圖形中的規(guī)律進(jìn)行教學(xué)的話，學(xué)生勢必?zé)o法體會到數(shù)學(xué)結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的價值。此外，僅通過兩個例題的教學(xué)，學(xué)生實際上很難深入體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的價值。因此，在教學(xué)中，筆者對教材進(jìn)行了取舍，選取了例1，以三個層次展開教學(xué)。第一個層次是以形助數(shù)。課始，拋給學(xué)生一個大問題，然后倒逼著學(xué)生去思考、去嘗試。發(fā)現(xiàn)幾個數(shù)的規(guī)律之后，學(xué)生產(chǎn)生了疑問，但又難以直觀地發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。教師趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生用圖形去擺，去說理，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。學(xué)生在這一動手操作的過程中，發(fā)現(xiàn)借助圖形可以更加清晰、直觀地分析數(shù)字中蘊含的規(guī)律。第二個層次是以數(shù)解形。三角形數(shù)中圖形的個數(shù)，如果僅從“形”的角度去觀察，學(xué)生很難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，特別是圖形復(fù)雜時，要發(fā)現(xiàn)“形”的規(guī)律就更困難，于是教師引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度揭示“形”的規(guī)律，幫助學(xué)生辯證地思考數(shù)與形的問題，體會以數(shù)解形的好處。第三個層次是體會數(shù)形結(jié)合的價值。無論是以形助數(shù)還是以數(shù)解形，都是從單一的方面幫助學(xué)生體會。而回顧以往的學(xué)習(xí)中用到過數(shù)形結(jié)合，具體有什么好處，學(xué)生能夠深入體會和感悟數(shù)形結(jié)合的價值。對三角形數(shù)、正方形數(shù)、斐波那契數(shù)列的介紹，既可以拓展學(xué)生的視野，也能夠讓學(xué)生深入體會數(shù)形結(jié)合的思想。

（作者單位：廣東省中山市大布小學(xué)）