論基于學習理論的高等數(shù)學教學設計*1

席　陽　徐章韜

(華中師范大學　數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北　武漢　430079)

論基于學習理論的高等數(shù)學教學設計*1

席陽徐章韜

(華中師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北武漢430079)

摘要數(shù)學三個世界學習理論揭示了人類學習高等數(shù)學的認知發(fā)展順序，為教師重新審視學生的認知發(fā)展過程、促進學生認知能力的發(fā)展提供了理論依據(jù)。文章以微分中值定理為例，從數(shù)學三個世界理論的視角出發(fā)，基于學習理論首先進行教學設計的前端工作，之后設計了具體的教學過程并進行教學實踐，取得了不錯的教學效果：教師上課自然流暢，學生學有所獲。對于高等數(shù)學的學與教而言，這個學習理論的價值還值得進一步挖掘。

關(guān)鍵詞學習理論；數(shù)學三個世界；教學設計；高等數(shù)學；微分中值定理

一、引言

高等數(shù)學雖然以其高度抽象性為顯著特點，然而對于抽象知識的理解仍然需要直觀事物的支持。高等數(shù)學的學習一般都會經(jīng)歷由直觀感知到抽象提煉的過程。這個過程也對應了學習的兩個層次：從初級學習到高級學習。因此對學生而言，他們的學習不能僅僅是達到初級學習的層次，只有達到高級學習的層次才能靈活運用所學知識。要達到高級學習的層次則要求學生能把握概念的復雜性，能根據(jù)具體情況，應用自己的知識、經(jīng)驗建構(gòu)用于指導問題解決的圖式[1]。如，微分中值定理是微分學的基本定理，同時也是微分學教學的重點和難點，它揭示了函數(shù)與其導函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，開創(chuàng)了用導數(shù)研究函數(shù)的新道路并一直引導著函數(shù)性態(tài)的研究方向。已有的教學實踐表明，由于學生認知能力發(fā)展不足，對于這三個微分中值定理的條件、結(jié)論、證明過程以及它們之間關(guān)系等的把握并不靈活，學習只達到了初級學習層次，導致在此后的學習和應用中存在一些困難。為了更好地促進學生認知能力的發(fā)展，提高學習層次，使教學獲得更大的效益，我們需要深入剖析人類在學習數(shù)學時的認知發(fā)展過程是怎樣的，也要清楚地知道人類是怎樣通過學習來促進認知發(fā)展的。有學科特點的學習理論闡述了學習的本質(zhì)和學習過程的規(guī)律，還就這些規(guī)律提出了一些切實有效的、可以促進學生學習的學習策略和教學策略等。教師需要在合適的學習理論的指導下進行數(shù)學的學與教。

對于人類是怎樣學習的這一問題的不同理解使得學習理論出現(xiàn)分歧并產(chǎn)生了四大主要流派：行為主義、認知主義、人本主義和建構(gòu)主義學習理論。不同的流派基于對學習過程及其規(guī)律的不同認識，提出了不同的學習策略和教學策略。(1)行為主義學習理論的核心觀點是，學習是有機體在一定條件下形成刺激與反應的聯(lián)結(jié)從而獲得新經(jīng)驗的過程，強調(diào)強化對學習的作用，提倡用外部條件來控制學習過程[2]。(2)認知主義學習理論的探索視角由外部轉(zhuǎn)移到了學習者的內(nèi)部，強調(diào)學習過程應該是學習者積極主動的過程而不是被動地接受外部環(huán)境的刺激。學習是主體在已有經(jīng)驗的基礎上通過“同化”和“順應”新知識使得原有的認知結(jié)構(gòu)進行組織與重組的過程?；诖耍剪敿{提倡“發(fā)現(xiàn)學習”，奧蘇伯爾主張“有意義的接受學習”并提出了先行組織者策略；加涅將人腦與計算機類比，在融合了行為主義與認知主義學習理論的基礎上提出了信息加工理論。(3)人本主義特別強調(diào)人的整體性，要求從整個人出發(fā)進行學習理論的探索，并且認為每個人都有自我實現(xiàn)的潛能，只是需要一個適當?shù)沫h(huán)境[3]。(4)建構(gòu)主義學習理論是認知主義學習理論的發(fā)展，強調(diào)學習是學習者與學習環(huán)境雙向互動的過程。維果茨基對建構(gòu)主義學習觀的影響極大，提出了“最近發(fā)展區(qū)”理論并強調(diào)支架式教學模式。

這些學習/教學策略固然都有其合理性和有效性，但需要注意的是，它們的合理性和有效性體現(xiàn)在一般、普遍、廣義上的學習，具有普適性卻缺乏針對性，它們并沒有結(jié)合具體的學科特點。在進行數(shù)學教學的時候，必須結(jié)合數(shù)學的學科特點，具體情況具體對待，才能使教學獲得更高的效益。而英國華威大學(Warwick University)David Tall教授于2004年提出的數(shù)學三個世界學習理論就深刻地闡述了數(shù)學的學科特點。該理論是以建構(gòu)主義理論為基礎，結(jié)合當代認知科學、信息科學、新皮亞杰主義等研究成果創(chuàng)立的[4]。不僅如此，該理論還對數(shù)學認知發(fā)展的過程進行了深入的探索，揭示了人類學習數(shù)學時的認知發(fā)展順序，為教師應該怎樣促進學生的數(shù)學認知發(fā)展提供了理論依據(jù)。尤其值得關(guān)注的是該理論的研究對象包括了大學生以及數(shù)學家(這與建構(gòu)主義等以兒童為主要研究對象不同)，因此其研究成果用于高等數(shù)學的教學更具合理性。

本文從數(shù)學三個世界這個認知發(fā)展理論出發(fā)，以微分中值定理的教學設計為例，探討如何基于適當?shù)膶W習理論進行教學設計及其實踐。

二、依據(jù)學習理論做好教學設計的前端工作

“教師如何教將影響學生學到什么”是課堂學習的顯著特征之一。為了做好教學工作，就要先進行課堂教學的預演——設計教學。教材是進行教學設計的重要依據(jù)。從字面上看，教材只是寫出了要傳授的知識點，對于知識點之間的聯(lián)系等并沒有明確地體現(xiàn)。所以為了做好教學設計，需要教師對教材進行深度剖析：不僅要知道本節(jié)課要學習的知識點有哪些，學習的側(cè)重點在哪里，是否闡明了知識點之間的聯(lián)系，還要分析教材是在怎樣的學習理論的支撐下進行行文的，這樣行文對學生的學習有哪些好處；是否教給了學生某些數(shù)學思想和方法，同時又向?qū)W生展現(xiàn)了怎樣的數(shù)學文化等等。此外，對教材進行解讀也是為了在進行教學設計時對選定的教學內(nèi)容做序列化安排，使之既合乎學科本身內(nèi)在的邏輯序列，又合乎學習者認知發(fā)展的順序，從而把學習材料的知識結(jié)構(gòu)與學習者的認知結(jié)構(gòu)有機地結(jié)合起來[5]，為課堂教學的順利展開打下良好的基礎。

(一)依據(jù)學習理論解讀教材，讓學生學會發(fā)現(xiàn)數(shù)學

教材的行文方式使我們看到了做數(shù)學的一般套路。在高等數(shù)學教材中，微分中值定理一般是這樣行文的：首先，引入學習微分中值定理的有力工具——費馬引理，自然產(chǎn)生駐點的概念和性質(zhì)。然后，用微分學的語言把觀察到的特殊幾何現(xiàn)象描述出來，就得到了羅爾定理。接著，把羅爾定理一般化，得到拉格朗日中值定理。最后，改變拉格朗日中值定理中函數(shù)的表達形式，獲得柯西中值定理。教材行文方式的邏輯主線使我們學習到了做數(shù)學研究的一般程序：從平凡出發(fā)(觀察)—選用適當?shù)墓ぞ?費馬引理、分析的語言)—平凡的結(jié)論—結(jié)論一般化或特殊化—結(jié)論再形式化。“授之以魚不如授之以漁”，這條邏輯主線可以幫助學生在學習和研究數(shù)學的道路上有章可循，有法可依，學會學習。

從學習理論出發(fā)可以更好地理解教材，教給學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的方法。教材的行文方式層層遞進，后面定理的學習都以前面學習的定理為出發(fā)點，前面學習的定理為后面定理的學習奠定基礎，新舊知識融合在一起，既指出新舊知識之間的相同點，又點明不同之處，有利于學生數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的擴充和完善。學習就是要求學生能夠前后關(guān)聯(lián)，以舊促新，化新為舊，這其實是建構(gòu)主義學習理論的主張。更進一步，教學要提供有層次、有序列的素材使學生由必須依賴直觀事物理解數(shù)學知識的初級學習層次，順利地上升到可以脫離直觀事物的支持，在抽象世界中學習數(shù)學的高級學習層次，促進認知結(jié)構(gòu)的分化，從而提高認知能力。

Tall認為，人類數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展要經(jīng)歷三個過程，分別對應著三個不同的數(shù)學世界[6]。

1.第一個世界是“概念—具體化世界(Conceptual-embodied World)”

這個世界源自對物理世界和思維世界的感知。學習者基于個人頭腦中已經(jīng)建立起來的關(guān)于以往經(jīng)驗的連接，通過操作、反思來想象并不存在于物理世界中的事物。這就要求我們在教學中結(jié)合實際生活，善用學生的已有經(jīng)驗，引導學生進行充分的觀察和思考。在引導學生觀察時，應該有目的有計劃，選擇被觀察的事物時，被觀察事物應當具備這樣一個重要特征：溝通性。一方面被觀察事物的某些特征是學生可以根據(jù)自己當前已有經(jīng)驗進行合理描述的，另一方面被觀察事物的這些特征可以為將要學習的新知識做鋪墊，是溝通新舊知識之間的橋梁，這同時也體現(xiàn)了引導觀察的目的性和計劃性。比如我們在講授微分中值定理的概念之前，可以引導學生觀察圖1：曲線弧AB是函數(shù)y=f(x)(x∈[a,b])的圖像，并讓學生描述觀察到的幾何現(xiàn)象：這是一條連續(xù)的曲線弧，除端點外處處有不垂直于x軸的切線，兩個端點的縱坐標相等，在曲線的最高點處或最低點處曲線有水平的切線……這里的“連續(xù)的曲線弧”“水平切線”“最高(低)點”等被觀察物的特征是學生可以準確描述的，也可以為后面學習羅爾定理做鋪墊。

圖1

2.數(shù)學第二個世界是“過程符號化世界”(Proceptual-symbolic world)

這個世界始于行為，并在反省抽象的過程中，利用符號將行為壓縮成概念，形成圖式，這些符號有助于學習者在過程和概念之間來回轉(zhuǎn)換，有助于進行算術(shù)、代數(shù)、微積分等的計算和操作。在這個世界里，物理操作中蘊含的道理被凝聚壓縮成心理操作，實現(xiàn)了數(shù)學學習由過程到對象的飛躍。這要求我們在教學中要充分運用現(xiàn)有的工具和語言把觀察到的現(xiàn)象刻畫出來。在進行微分中值定理概念教學的時候，以學生有意義建構(gòu)過的費馬引理為工具，用分析的語言描述觀察到的幾何圖形，得到羅爾定理的條件和結(jié)論，實現(xiàn)由過程到對象的飛躍。在對羅爾定理中的特殊條件“f(a)=f(b)”一般化后，仿照羅爾定理的發(fā)現(xiàn)模式，讓學生用分析的語言描述圖2，獲得拉格朗日中值定理。

圖2

3.第三個世界是“形式公理化世界( Formal-axiomatic World)”

從微分中值定理的發(fā)現(xiàn)與學習過程中可以看到，與初等數(shù)學相比，高等數(shù)學中的很多概念已經(jīng)不能從客觀世界中找到其現(xiàn)實依據(jù)，一般都是經(jīng)過對客觀事物進行初步抽象后進行再抽象獲得的，已經(jīng)完全脫離了現(xiàn)實意義，形成了自己獨特的符號化、形式化表達方式，不能為大多數(shù)人所直接理解。而且高等數(shù)學研究的是更加本質(zhì)的、過程性的、多變量的數(shù)學過程和數(shù)學規(guī)律，得到的定理、定義、運算法則等一般都有嚴格的使用條件和適用范圍，更不易被大多數(shù)人直接感知和運用。數(shù)學三個世界的理論研究了抽象知識的形成和轉(zhuǎn)化過程，并把形式化推理作為最終目標[7]8-11，由高等數(shù)學的種種特點來看，它從本質(zhì)上把握了高等數(shù)學不同于一般學科的特點，非常恰當?shù)亟忉屃巳祟愒趯W習高度抽象的數(shù)學知識時的認知發(fā)展過程，為教師進行教學設計提供了新的視角。

(二)依據(jù)學習理論解讀教材，讓學生學會化歸與證明

化歸思想在數(shù)學思維與數(shù)學方法論中占有非常重要的地位，是解決數(shù)學問題非常常用的一種方法和手段。匈牙利數(shù)學家路莎·彼得在《無窮的玩藝》一書中寫道：數(shù)學家們往往不是對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直到把它轉(zhuǎn)化為已經(jīng)得到解決的問題[8]。比如連著名的費馬大定理證明的獲得都要歸功于各種轉(zhuǎn)化思想。數(shù)學方法論中所論及的“化歸方法”是一種間接解決問題的方法。它在解決數(shù)學問題中的作用就在于轉(zhuǎn)化，把待解決或未解決的問題進行變形、分割、映射，或簡單化、或熟悉化、或具體化、或正難則反化，直至歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或比較容易解決的問題中去[9]。鑒于拉格朗日中值定理和柯西中值定理與羅爾定理的關(guān)系，我們采取化歸的方法來證明這兩個定理。

在定理的證明中，我們設計選取費馬引理為證明工具，后面所有定理的證明均依托于費馬引理展開。費馬引理體現(xiàn)了極值原理的重要性以及從不等到相等的辯證性：極值點處的值雖然可以最大或最小，但其導數(shù)值卻是零。羅爾定理的證明設計主要是依據(jù)極值點處切線的斜率為零得到的，充分體現(xiàn)了極值原理的重要性。由于拉格朗日中值定理是羅爾定理的特殊條件一般化后得到的，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推廣，它們與羅爾定理之間都有密切聯(lián)系，所以對于這兩個定理的證明，在羅爾定理已經(jīng)得證的基礎上，我們考慮設計通過化歸，將后面兩個定理的證明都轉(zhuǎn)化到羅爾定理的證明上。

具體來說，在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f(x)不一定具備f(a)=f(b)這個條件，為此我們設想構(gòu)造一個與f(x)有密切聯(lián)系的函數(shù)φ(x)，使φ(x)滿足條件φ(a)=φ(b)，然后對φ(x)應用羅爾定理，再把對φ(x)所得結(jié)論轉(zhuǎn)化到f(x)上，從而證得所要的結(jié)果。在這里，就引出了一個新問題：如何構(gòu)造輔助函數(shù)。

從上面的證明過程可以看出，拉格朗日中值定理的證明關(guān)鍵在于尋找不變量，利用不變量化歸到羅爾定理的證明。無論直線AB傾斜與否，有向線段NM的值總是曲線與直線之差，這就是不變量。

柯西中值定理的證明實質(zhì)與拉格朗日中值定理的證明是相同的，都是通過構(gòu)造輔助函數(shù)將問題化歸到羅爾定理。因此，學習在某種程度上就是復習。鑒于此，在三個微分中值定理證明的教學設計過程中，教師可先講授羅爾定理的全部證明過程，然后讓學生比較羅爾定理與拉格朗日中值定理之間的異同，重點講授格朗日中值定理的證明過程中的新問題——輔助函數(shù)的構(gòu)造方法，剩下的證明過程則交給學生。最后柯西中值定理的證明全部讓學生自己來思考操作，教師不再贅述。這樣在教授定理證明的過程中，教師的包辦成分在逐步減少，學生的主動成分逐漸增加，教師與學生的相對地位一直處于動態(tài)平衡之中，教師的主導性和學生的主體性均可以得到落實，使新知識得到充分內(nèi)化，學生能力和認知水平得到充分發(fā)展[10]，促進學生的學習由初級層次上升到高級層次。

三、依據(jù)學習理論進行教學

根據(jù)上述前端分析，我們進行了教學實踐，將設計化成了實踐，并取得很好的效果。下面是我們進行依據(jù)數(shù)學三個世界學習理論進行課堂教學的教案。

1.教學目標

深刻理解羅爾定理和拉格朗日中值定理及其幾何意義，了解柯西中值定理；理解羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理三者的聯(lián)系。讓學生看到數(shù)學發(fā)生發(fā)展的過程，初步學會發(fā)現(xiàn)數(shù)學、證明數(shù)學的一些基本方法。使學生初步領(lǐng)略數(shù)學的美妙之處。

2.教學重點、難點

重點：微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其應用。難點：拉格朗日中值定理中輔助函數(shù)的構(gòu)造。

3.教學過程

第一課時：(1)開門見山，提出研究問題。我們要研究函數(shù)的性態(tài)，那么該從哪方面著手？雖然借助導數(shù)可以研究函數(shù)，但是函數(shù)在某一點的導數(shù)只能反映函數(shù)的局部特征，而我們需要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，如何用一個反映局部特征的量去研究整體的量呢？那么我們需要一個與導數(shù)密切相關(guān)但又能反映函數(shù)整體性態(tài)的工具，這就是我們本節(jié)課要學習的新工具——微分中值定理。(2)引導觀察，尋找研究工具：山有最高點，有山谷，但只有平緩變化的山頂和山谷，才是平坦之處。此處意在引出費馬引理這個研究工具。(3)幾何現(xiàn)象數(shù)學化，得到基本結(jié)論——羅爾定理。(4)基本結(jié)論一般化，得到拉格朗日中值定理。(5)定理的應用及練習。(6)小結(jié)——留點懸念：如果改變函數(shù)的表達形式，拉格朗日中值定理將發(fā)生怎樣的變化？

第二課時：(7)形式化，推廣到柯西中值定理。(8)統(tǒng)一性，用行列式把這三個定理統(tǒng)一起來。(9)練習鞏固。(10)總結(jié)。用圖表的方式揭示三個定理之間的關(guān)聯(lián)，并指出這是用導數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)、體現(xiàn)“以直代曲”法的思想和方法的非常好的例子，需要好好體會。

四、分析與討論

教學設計是溝通理論與實踐的橋梁，是課堂教學活動是否有效的關(guān)鍵。這個教學設計經(jīng)過了課堂教學的實踐檢驗，教師感覺上課自然流暢，學生覺得學有所獲。依據(jù)有數(shù)學學科特點的學習理論進行教學設計及教學實踐，使學生對于高等數(shù)學知識的把握不只是停留在初級學習的層面，而是通過同化和順應將新知識內(nèi)化到數(shù)學認知結(jié)構(gòu)當中，使認知結(jié)構(gòu)組織或重組，促進認知能力的發(fā)展，從而使教學獲得較大效益，提高了大學數(shù)學的教學質(zhì)量。

第一，基于學習理論，對教材深入解讀，可以靈活把握教材，準確定位教學目標。在知識與技能層面上，運用“深刻理解”“理解”“了解”等表達程度不同的詞語對學生學習三個微分中值定理采取不同的要求，使得教學過程中有側(cè)重，不會“眉毛胡子一把抓”。在過程與方法層面上，把數(shù)學的思想與方法的發(fā)生發(fā)展過程解構(gòu)出來，使其過程符合學生認知的發(fā)生發(fā)展過程；在情感態(tài)度與價值觀層面上，讓學生充分感受到理趣、智趣而不膚淺的娛樂之處。教學需要有趣味，但這種趣味更多的是指理趣和智趣?！安蹇拼蛘煛惫倘皇箤W生當時感到有趣，但多年之后學生回首往事之時，才會發(fā)現(xiàn)根本沒有學到什么。

第二，基于學習理論，對重點和難點有了更深切的把握。重點是指一節(jié)課的知識核心，難點是學生不易掌握的地方。拉格朗日中值定理處于三個微分中值定理的中樞，可以特殊化，也可以一般化。其證明過程還運用了在數(shù)學方法論中占有重要地位的化歸法：顯然是學生需要學習的重點。證明過程中輔助函數(shù)的構(gòu)造十分巧妙，不易想到。學生能否構(gòu)造輔助函數(shù)，學會化歸，是他們能否從此節(jié)課中獲得認知發(fā)展的重要標志。從學習的角度而言，這是過程—符號化學習階段的良好載體，如果不充分經(jīng)歷這個階段的學習，概念—具體化世界的學習將指向不明，就失去了其奠基性作用，形式化公理世界也將成為空中樓閣。有了學習理論的指引，再結(jié)合教師的專業(yè)素養(yǎng)，對何謂重點，何為難點將有自己獨特的見解。

第三，基于學習理論，對教學過程有整體把握?！耙詫W定教”是教育心理學的重要主張。從教學過程的設計來看，本節(jié)課的設計完全是由學習理論外化而成的。教學設計先由物理世界中的具體形象出發(fā)，再將其數(shù)學化，最后上升到形式化，引導著學生的數(shù)學認知從數(shù)學第一個世界，經(jīng)歷第二個世界，逐步發(fā)展到數(shù)學第三個世界，符合人類數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展規(guī)律，能使學生比較順利地建構(gòu)新知識的意義。在不改變教材內(nèi)容和行文順序的前提下，將整個微分中值定理的內(nèi)容劃分成由一條邏輯主線串起來的4個小知識點，而每一個小知識點的教學又都是由多個相互之間有密切聯(lián)系的小問題組成，使得每一個問題的學習都控制在學生思維的“最近發(fā)展區(qū)”之內(nèi)，讓學生的學習呈現(xiàn)階梯上升狀。此外，考慮到一堂課中學生吸收新知識的“飽和度”，以拉格朗日中值定理為分界點將教學過程設計分為兩個課時，給學生充分的時間消化吸收新知識。每個課時結(jié)束后都有一個關(guān)于微分中值定理的部分小結(jié)，先讓學生對知識的認知形成一個個相對獨立的認知節(jié)點，整個教學結(jié)束后再將有關(guān)節(jié)點關(guān)聯(lián)起來形成關(guān)于微分中值定理完整的認知結(jié)構(gòu)。即將分開講述的三個中值定理再次融合成一個整體(用一個行列式將三個微分中值定理統(tǒng)一起來)，幫助學生將各個認知點相連接形成認知結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡，立足于從整體把握微分中值定理，使得對于該定理的認知由部分上升到整體，提高了認知層次。

五、結(jié)語

數(shù)學三個世界理論深刻揭示了數(shù)學學習由淺入深必須要經(jīng)歷的三個過程，是關(guān)于人類數(shù)學認知發(fā)展研究的最新理論，給人們提供了研究認知發(fā)展的新視角，也可以重新審視學生的認知過程，以此創(chuàng)新教學理論、教學模式[7]8-11，為數(shù)學教學設計提供新的思路。對于高等數(shù)學的學與教而言，這個學習理論的價值還值得進一步挖掘。

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(責任編輯李世萍)

*收稿日期2015-12-20

資助項目華中師范大學中央高?；究蒲袠I(yè)務費項目“基于學習理論的信息技術(shù)與學科教科書的整合”(項目編號：CCNU15A06015)；華中師范大學重大科研課題及創(chuàng)新示范基地培育項目“TPACK視角下卓越數(shù)字化教師的培養(yǎng)研究”(項目編號：CCNUE2015-5).

作者簡介席陽(1991-)女，河南新鄉(xiāng)人，碩士研究生，主要從事數(shù)學教育研究.

中圖分類號G642.4

文獻標識碼A

A Study on Instructional Design of Higher Mathematics Based on the Learning Theory

XI Yang，XU Zhang-tao

(School of Mathematics and Statistics，Central China Normal University，Wuhan，430079，China)

Abstract：The learning theory of the three worlds of mathematics reveals the cognitive development order of human learning higher mathematics，which provides a theoretical base for teachers to reexamine cognitive development process of students and to promote the development of students' cognitive ability.Taking the differential mean value theorem as an example，we begin with the first work of instructional design based on the theory of learning from the perspective of the Three Worlds of Mathematics theory，and then designed a specific teaching process and put it into the teaching practice.Finally，it can comes into a good teaching effect that teachers feel natural and fluent while teaching and students can learn something by this way.For the teaching and learning of higher mathematics，the value of this theory is worth further digging.

Keywords：learning theory；the three worlds of mathematics；instructional design；higher mathematics；the differential mean value theorem