單家俊，龍倫海，楊　成，王司晨

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南 海口 570228)

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2類變形Sierpinski地毯的Hausdorff維數(shù)

單家俊，龍倫海，楊成，王司晨

(海南大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南 海口 570228)

摘要：構(gòu)造了圓心角小于180°的扇環(huán)與正方形之間的某種雙Lipschitz映射，首先證明了若將經(jīng)典Sierpinski地毯的初始圖形正方形換成此類扇環(huán)，則得到的變形Sierpinski地毯與經(jīng)典的Sierpinski地毯具有相同的Hausdorff維數(shù)；其次證明了若將初始圖形換成圓心角小于180°的扇形，則其生成的變形Sierpinski地毯的Hausdorff維數(shù)也有同樣的結(jié)果.

關(guān)鍵詞：分形； 變形Sierpinski地毯；Hausdorff維數(shù)； 雙Lipschitz映射

a　　　　　　　　　　　　　　　　　　　b圖 1　圓心角小于180°的扇環(huán)和扇形

首先將其初始圖形換成圓心角小于180°的扇環(huán)，利用定比分點(diǎn)構(gòu)造了此類扇環(huán)與正方形之間的雙Lipschitz映射，從而證明了此類變形Sierpinski地毯的Hausdorff維數(shù)是log8/log3. 在此基礎(chǔ)上證明了如果將其初始圖形換成圓心角小于180°的扇形，則得到的分形集的維數(shù)也為log8/log3. 本文主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)E和E′分別為上述生成的變形Sierpinski地毯，則dimH(E)=dimH(E′)=log8/log3.

1預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)Rn中的任意非空子集E，{Ui}為E的一個(gè)有限或可數(shù)個(gè)直徑不超過(guò)δ的覆蓋，E?∪Ui，則稱{Ui}為E的一個(gè)δ覆蓋. 設(shè)s≥0，稱

為E的Hausdorff測(cè)度，稱

dimHE=sup{s:Hs(E)=∞}=inf{s:Hs(E)=0}

為E的Hausdorff維數(shù).

C1·d(x1,x2)≤D(f(x1),f(x2))≤C2·d(x1,x2)

成立，則稱f是雙Lipschitz映射. 對(duì)于雙Lipschitz映射，有以下引理成立：

引理1[1]如果f為雙Lipschitz映射，則dimHE=dimHf(E).

平面上扇環(huán)和扇形中，利用定比分點(diǎn)計(jì)算容易得到以下性質(zhì).

對(duì)于平面上的三角形，有以下性質(zhì)成立.

為了證明本文的結(jié)論，還需要用到以下不等式.

性質(zhì)40≤λ≤1，0≤θ≤π，不等式1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ)≥0成立.

證明令f(θ)=1-cos(λθ)-λ2(1-cosθ)，則

f′(θ)=λsin(λθ)-λ2sinθ，f″(θ)=λ2(cos(λθ)-cosθ).

因?yàn)楹瘮?shù)y=cosx在[0,π]上是單調(diào)遞減，0≤λ≤1，所以cos(λθ)-cosθ≥0,故f″(θ)≥0. 從而有f′(θ)在[0,π]上是單調(diào)遞增，于是得到f′(θ)≥f′(0)=0，所以函數(shù)f(θ)在[0,π]上也單調(diào)遞增，故f(θ)≥f(0)=0，不等式成立.

2定理1的證明

2.1E的Hausdorff維數(shù)根據(jù)引理1，如果能夠構(gòu)造一個(gè)雙Lipschitz映射f，將正方形映射成扇環(huán)，且將由正方形分割生成的極限集映射為由扇環(huán)分割生成的極限集，則二者的Hausdorff維數(shù)相等. 下面構(gòu)造雙Lipschitz映射f.

定義映射f：f((λ1，λ2))=[λ1，λ2]. 顯然映射f是雙射，且對(duì)所有的0≤λ1，λ2≤1，f將正方形映射為扇環(huán).

現(xiàn)在需要證明：1)映射f為雙Lipschitz映射；2)映射f將由正方形分割生成的極限集映射為由扇環(huán)生成的極限集E.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

結(jié)合式(5)和(6)，故存在常數(shù)C1，C2>0，使得不等式

成立，于是f為雙Lipschitz映射. 因?yàn)榻?jīng)典Sierpinski地毯的Hausdorff維數(shù)[1]為log 8/log 3，故由扇環(huán)分割得到的分形集E的Hausdorff維數(shù)也為log 8/log 3.

現(xiàn)在證明E′的Hausdorff維數(shù)也為log 8/log 3.

(7)

diam(Pk)≤2D03-k，diam(Qk)≤2D03-k.

又因?yàn)??0<δ<1，存在k0，使得2D03-(k0-1)≤δ≤2D03-k0，根據(jù)Hausdorff維數(shù)的定義，有

令δ→0，得到Hlog 8/log 3(E′)≤(2D0)log 8/log 3，故dimH(E′)≤log 8/log 3.

另一方面，記Q=Q1∩E′，則由上節(jié)的討論可知dimH(Q)=log 8/log 3，而Q?E′，再由Hausdorff維數(shù)的單調(diào)性，故有l(wèi)og 8/log 3=dimH(Q)≤dimH(E′)成立.

綜合上述，dimH(E′)=log 8/log 3，定理1得證.

參考文獻(xiàn)：

[1]FalconerKJ.Fractalgeometry-mathematicalfoundationsandapplications[M].[S.l.]:JohnWiley,2014.

[2]FalconerKJ.Fractalgeometry:mathematicalfoundationsandapplications[M].NewYork：JohnWilley&Sons,2003.

[3] 奚李峰. 從平面幾何題中引申出的維數(shù)計(jì)算[C]//2006年分形幾何與動(dòng)力系統(tǒng)研討會(huì).烏魯木齊:新疆師范大學(xué),2006.

[4] 朱志勇,文志雄. 一類廣義Sierpinski地毯的Huasdorff維數(shù)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,24(2):360-365.

[5] 張賢達(dá). 矩陣分析與應(yīng)用[M].第2版.北京:清華大學(xué)出版社,2013:71-74.

[6]LlorenteM,MattilaP.Lipschitzequivalenceofsubsetsofself-conformalsets[J].Nonlinearity,2010,23:875-882.

[7] 朱莉紅,陳紹明,龍倫海. 平面上廣義McMullen集的Hausdorff維數(shù)[J].海南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2012，30(4)：320-324.

[8]FengDJ,WenZY,WuJ.SomedimensionalresultsforhomogeneousMoransets[J].ScienceofChina:SeriesA,1997,40(5):475-482.

[9]GuiYX,LiWX.TheHausdorffdimensionofsetsrelatedtothegeneralSierpinskicarpets[J].ActamathematicaSinica,EnglishSeries,2010,26(4):731-742.

[10] 龍倫海,梁麗,朱莉紅.由點(diǎn)矩陣的表示生成的分形矩陣的維數(shù)[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2015,44(2):229-238.

Hausdorff Dimension of Two Classes of Modified Sierpinski Carpets

Shan Jiajun, Long Lunhai, Yang Cheng，Wang Sichen

(CollegeofInformationScienceandTechnology,HainanUniversity,Haikou570228,China)

Abstravct：Inthereport,abiLipschitzmapbetweensquareandsectorringwhosecentralanglewaslessthan180°wasconstructed.Firstly,itwasprovedthatifwechangetheinitialsetofSierpinskicarpetfromsquaretosectorring,theHausdorffdimensionareequal.Secondly,itwasalsoshowedthattheHausdorffdimensionoftheModifiedSierpinskicarpetremainthesameeventheinitialsetisreplacedintothesectorwhosecentralangleislessthan180°.

Keywords：fractals;McMullenset;Hausdorffdimension;bi-Lipschitzmap

收稿日期：2015-06-29

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11461016)；海南省自然科學(xué)基金 (113003)

作者簡(jiǎn)介：?jiǎn)渭铱?1992—)，男，江西南昌人，海南大學(xué)2013級(jí)碩士研究生，研究方向：分形幾何及其應(yīng)用，E-mail:15501863129@163.com 通信作者： 龍倫海(1965—)，男，教授，研究方向：分形幾何，E-mail：13118900189@163.com

文章編號(hào)：1004-1729(2016)01-0007-05

中圖分類號(hào)：O174.12

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：ADOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2016.0002